学×思面授班高三数学寒假腾飞计划班讲义第7讲期末测试教师版x
时间：2020-10-27 12:20:43 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
学而思
2013 数
年寒假班综合测试
学（文科）
（满分
姓名
150 分，考试时间 60 分钟）
成绩 __________
<教师备案 >本讲综合测试测试时间一小时，题目后面有的补充有些是对原题的变形，有些是同类型问
题的拓展，有些问题会在三轮复习时有后续详细展开的讲次，在解析后有备注，老师可以在讲解时给学生说明．学生版只有考试题，没有补充与备注．
本讲共 10 道选择题， 6 道填空题， 1 道解答题．
因为是二轮复习，主要针对知识点之间的综合与知识的灵活应用，试卷题目的难度比例大
致为 1： 2： 1，比普通试卷难度高，希望老师作个说明．
一、选择题：本大题共
10 小题，每小题
8 分，共
80 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1、
已知
A , B
均为集合
U
1 , 3 , 5 , 7 , 9
的子集，且
A I B
3 ，
eU B
I
A
9 ，则
A
（
）
A ．
1 , 3
B．
3 , 7 , 9
C．
3 , 5 , 9
D．
3 , 9
【解析】
D；
【补充】 设非空集合
A , B 满足
A
B，则（
）
A ．
x0
A ，使得
x0
B
B ．
x
A ，有
x
B
C．
x0
B ，使得
x0
A
D ．
x
B ，有
x
A
【解析】
B ．
2、
已知直线
l1 ： x
my
6
0 与 l2 ：
( m
2) x
3 y
2m
0 互相平行，则
m 的值为（
）
A ．
1或 3
B ． 1 或
3
C． 1
D．
1
2
【解析】
D；
【补充】 过点 ( 1，2) 的直线
【解析】 x 1或 3x 4 y 5
l
截圆 0 ．
x2
y2
4 所求得弦长为
2 3 ，则直线
l
的方程为
________．
3、
已知 { an } 是由正数组成的等比数列，
Sn 表示 { an } 的前 n 项的和，若 a1
3 ， a2 a4
144 ，
则 S5 的值是（
）
A ． 69
B．69
C． 93
D ． 189
2
【解析】 C；
4、
设 ，
，
是三个不重合的平面，
l 是直线，给出下列命题：
①若
，
，则
；
②若 l 上两点到
的距离相等，则 l ∥
；
③若 l
， l ∥ ，则
；
④若 ∥ ， l
，且 l ∥ ，则 l ∥ ．
其中正确的命题是（
）
A ．①② B．②③ C．②④ D．③④
【解析】 D ．
5、
已知函数 f
x2
2 x
1, x≥ 0
x2 ，下列不等式成立的
x
2 x
1, x
，则对任意 x1 , x2 R ，若 0 x1
x2
0
是（ ）
A ． f ( x1)
f (x2 ) 0
B ． f (x1)
f (x2 ) 0
C． f ( x1)
f (x2 ) 0
D． f (x1)
f (x2 ) 0
【解析】 D
6、
记等差数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，若 | a3 |
| a11 | ，且公差 d
0 ，则当 Sn 取最大值时， n （
）
A ． 4 或 5
B． 5 或 6
C． 6 或 7
D ． 7 或 8
【解析】 C；
7、
已知 P 是边长为
uuur uuur
uuur
2 的正 △ ABC 的边 BC 上的动点，则 AP ( AB
AC )
（
）
A ．最大值为 8
B ．是定值 6
C．最小值为 2
D ．与 P 的位置有关
【解析】 B；
A
B P M C
【补充】 在 △ ABC 中，
BAC
90 ， D 是 BC 中点， AB 4 ， AC
uuur uuur
3 ，则 AD BC
（
）
A ． 7
B ． 7
C． 7
D． 7
2
2
【解析】 B；
8、
有四个关于三角函数的命题：
p1 :
x
2
x
2 x
1
； p2
:
x ， y
R ， sin(x
y)
sin x sin y；
R ， sin
2
cos
2
2
p3 :
x
0 ，π ，
1
cos2 x
sin x； p4 :sin x
cos y
x
y
π．
2
2
其中假命题的是（
）
A ． p1 ， p4
B ． p2 ， p4
C． p1 ， p3
D． p2 ， p3
【解析】 A；
9、
已知双曲线 C1 : x2
y2
1(a
0, b
0) 的离心率为
2，若抛物线 C2 : x2
2 py( p 0) 的焦点到
a 2
b2
双曲线 C1 的渐近线的距离为
2，则抛物线 C2 的方程为（
）
A ． x2 8 3 y
B ． x2
16 3 y
C． x2
8 y
D． x2
16 y
3
3
【解析】 D
10、 设定义在 R 上的函数 f x 是最小正周期为 2π的偶函数， f x 是 f x 的导函数，当
x
0 ，π
0
f
x
1
x
0 ，π
π
π
，则函数 y
f
x sin x
；当
且 x ≠
时， x
f
x
0
2
2
在
2 π，2π 上的零点个数为（
）
A ．2
B． 4
C． 5
D． 8
【解析】 B
【补充】 函数 f x
x cos x2 在区间 0,
4 上的零点个数为（
）
A ． 4
B ． 5
C． 6
D ． 7
【解析】 C；
二、填空题：本大题共
6 小题，每小题
8 分，共
48 分，把答案填在题中的横线上．
11、
r
r
r
2 ，0
r
r
r
平面向量 a 与 b 的夹角为
60 ， a
， b
1 ，则 a
2b
．
【解析】
2 3；
12、
如图，在正方体
ABCD
A1B1C1 D1 中，点 P 是上底面 A1B1C1 D1 内一动点，则三棱锥
P
ABC 的
主视图与左视图面积的比值为
_________．
D 1
C1
【解析】 1；
A1
P
B1
左视
D
C
A
B
主视
13、
已知 x 0 ，y
0 ，且满足 x
y
1 ，则 xy 的最大值为
．
3
4
【解析】
3；
14、
已知 △ABC 中， a
1， b
2 ， B 45
，则角 C 等于
．
【解析】
105
；
15、
已知 f x
是周期为
2 的奇函数，当 0
x
1时， f
x
log 4 x ，则 f
2011
．
2
【解析】
1；
2
16、
已知等差数列
an 首项为 a ，公差为 b ，等比数列
bn 首项为 b ，公比为 a ，其中 a ，b 都是大
于 1 的正整数，且 a1
b1 ，b2
a3 ，那么 a
；若对于任意的 n
N ，总存在 m
N ，使
得 bn
am
3 成立，则 an
．
【解析】
2；
5n
3；
三、解答题：本大题共
1 小题，共
22 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
已知椭圆 C : x
2
2
17、
2
y2
1(a b
0)
经过点 A(2 ，1)
，离心率为
2 ．
a
b
2
⑴ 求椭圆 C 的方程；
⑵ 过点 (3 ，0) 的直线 l 与椭圆
C 交于不同的两点 M ， N ，设直线 AM 和直线 AN 的斜率分别
为 kAM 和 kAN ，求证： kAM
kAN 为定值．
4
1
1，
y
a 2
b2
【解析】 ⑴ 由题意得
a2
b2
c2 ，解得 a
6 ， b
3 ．
A
c
2
l
.
O
x
a
2
x2
y2
N
故椭圆 C 的方程为
1 ．
M
6
3
⑵ 由题意可知直线
l
的斜率一定存在，故可设
l 的方程为 y
k( x
3) ，
y k( x
3)
，
2k2 )x2
12k2 x 18k 2
由 x2
y2
， 得 (1
6
0
．
6
3
1
因为直线
l 与椭圆 C 交于不同的两点
M ， N ，
所以
144k 4
4(1
2k 2 )(18k2
6)
24(1
k2 )
0 ，解得
1 k
1．
设 M ， N 的坐标分别为 ( x1 ，y1 ) ， (x2 ，y2 ) ，
2
2
则 x1 x2
12k
，
x1 x2
18k
6
， y1
k( x1
3)
， y2
k( x2
3) ．
1
2k2
1
2k2
所以 kAM
kAN
y1
1
y2
1
( kx1 3k
1)(x2
2)
(kx2
3k
1)(x1
2)
x1
2 x2
2
(x1
2)( x2
2)
2kx1 x2
(5k
1)(x1
x2 ) 12k
4
x1x2
2( x1
x2 ) 4
2k(18k2
6)
(5k
1) 12k 2
(12k
4)(1
2k2 )
18k2
6
24k2
4(1
2k 2 )
2
4
4k
2 ．
2k2
2
所以 kAM
kAN 为定值
2 ．
【点评】其实本题中的定点
3, 0 为过点 A 的椭圆的切线与
x 轴的交点，同样可以研究其与
y 轴的交点，
此切线方程为
2 x
y
1
（可类比圆的切线得到） ，进而与 y 轴交点为 P
0, 3 ，
6
3
过点 P 的直线与椭圆交于两点
M , N ，可研究直线
MA, MB 的斜率之和满足的关系．
同样可探究是否对于椭圆上任意一点，如上操作之后能否得到相应的结论．
