学×思面授班高三数学暑假腾飞计划班讲义2013高三暑期第10讲.综合测试.尖子班x
时间:2020-10-27 12:20:40 来源:勤学考试网 本文已影响 人
第 10 讲 综合测试
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
一、选择题(每小题
5 分,共
40 分)
1、
集合 U
1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , S 1, 4 , 5
, T
2 , 3 , 4 ,则 S I eUT
(
)
A . 1, 4 , 5 , 6
B . 1, 5
C. 4
D. 1, 2 , 3 , 4 , 5
【解析】 B .
本小题考查集合的交并补运算.
2、
命题 p : x
0 ,都有 sin x ≥
1 ,则(
)
A . p : x
0 ,使得 sin x
1
B.
p :
x ≤ 0 ,都有 sin x ≥ 1
C. p : x
0 ,使得 sin x≥ 1
D.
p : x≤ 0 ,都有 sinx 1
【解析】 A .
3、
以下关于奇函数和偶函数的零点的说法,正确是(
)
.奇函数的零点一定为奇数个,偶函数的零点一定为偶数个
.奇函数或者不存在零点,或者存在奇数个零点
C.若偶函数的零点为奇数个,那么 x 0 一定是它的零点 D .对奇函数而言, x 0 一定是它的零点
【解析】 C.
本小题考查函数的奇偶性与零点.
4、
已知 y log a 2
ax 在 0 , 1
是 x 的减函数,则 a 的取值范围是(
)
A . 0 , 1
B. 1 , 2
C. 0 , 2
D. 2 ,
【解析】 B .
本小题考查基本初等函数及复合函数的单调性.
5、
等差数列
an 满足 3a8 5a13 ,且 a1
0 , Sn
a1 a2 L an ,则 Sn 中最大的是(
)
A . S10
B . S11
C. S20
D. S21
【解析】 C.
本小题考查等差数列的性质.
6、
已知 a 、 x
、 b 成等差数列, a 、 y 、 b 成等比数列,则以下判断正确的是(
)
A . x ≥ y
B.若 a b ,则 x y
C. x ≥ y
D.若 a b ,则 x y
【解析】 D .
本小题综合考查等差中项、等比中项、均值不等式.
2
7、
已知直线 l1
、l2 是双曲线 x2
y
1
的两条渐近线, P 是双曲线上一点, 过 P 作 l1 、l 2 的垂线,
uuur
uuur3
垂足分别为 A 、 B ,则 PA
PB
(
)
A . 3
B. 3
C.
3
D.
3
4
8
4
8
【解析】 B .
本小题考查双曲线的基本量.
8、
已知圆的方程为 x2
y2
6 x 8 y
0 .设该圆过点
3 , 5
的最长弦和最短弦分别为
AC 、 BD ,
则四边形 ABCD 的面积是(
)
A . 10 6
B . 20 6
C. 30 6
D. 40 6
【解析】 B .
本小题考查直线与圆中弦长的计算.
二、填空题(每小题
5 分,共 30 分)
9、
等比数列
an 的前 n 项之和为 Sn ,若 S10
10 , S30
70
,则 S40
.
【解析】 150.
本小题考查等比数列的性质.
10、
关于 x 的不等式 x
2
的解集为
1 , 4 ,则 2a b
.
ax b 0
【解析】 14 .
本小题考查解一元二次不等式.
11、
直线 l1 、 l 2 的斜率分别为 k1
、 k2 ,则“ k1
k2 ”是“ l1 ∥ l 2 ”的
条件;“ k1 k2
1 ”
是“ l1
l2 ”的
条件.
【解析】 必要不充分,充要.
x
2
, x
1
12、
设函数 f
1
f (m)
1 成立的 m 值所组成的集合中的元素个数为
x
,则使得
4
x
1 , x≥ 1
____ .
【解析】 3.
13、
如图,在等腰梯形
ABCD 中, AB∥ CD ,且 AB
2AD .设 DAB
,
0 , π ,以 A 、
2
B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为
e1 ,以 C 、 D 为焦点且过点
A 的椭圆的离心率为
e2 ,
则 ee12
D
C
θ
A
B
【解析】 1 .
本小题考查圆锥曲线的基本量.
14
设 f
式 f
x 是定义在 x a ≥ 2 f
R 上的奇函数,且当 x 恒成立,则实数
x≥ 0 时, f
a 的取值范围是
x
x2 .若对任意的
.
x
a , a
2 ,不等
【解析】
2 ,
.
本小题综合考查函数的奇偶性与单调性.
三、解答题
15、
(本小题共
12 分)
n2 .数列 { bn } 为等比数列,且 b1
已知数列 {
an} 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn
1 , b4 8 .
⑴ 求数列
{ an } , { bn} 的通项公式;
⑵ 若数列
{ cn } 满足 cn abn
,求数列 { cn } 的前 n 项和 Tn .
【解析】 ⑴ an 2n
1 , (n N*) .
bn 2n 1
(n
N*) .
Tn 2n 1 2 n .
16、
(本小题共
14 分)
已知 m
R
,直线 l : mx
m2
1 y
4m 和圆 C : x2
y2
8 x
4y 16
0 .
⑴
求直线 l
斜率的取值范围;
⑵
求证:直线 l 恒过定点;
⑶
直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为
1 的两段圆弧?为什么?
2
【解析】 ⑴
1
,
1
;
2
2
⑵
直线
l
的方程可以整理为:
ym2
(4
x) m
y 0 ,
当 y
0 且 x 4 时,上面的不等式对所有的
m 恒成立,即直线
l 恒过点 P 4 , 0 .
⑶
圆的标准方程为
2
y
2
4
.
x 4
2
法一:
如图,当直线 l
的斜率为
1 或 1 时,分圆所成两段弧长比值(劣弧比优弧)最大,
2
2
此时 tan
PCM
1 ( M 为垂足),因此该直线分圆所成两段弧长比值小于
1 .
2
2
因此直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为
1 的两段圆弧.
2
法二:
若直线 l 将圆 C 分割成弧长的比值为
1 ,则圆心 (4 , 2) 到直线 l 的距离为 r ,即
| 4 m 2( m2
2
2
1) 4m |
1 ,即 3m4
5m2
3 0 ,此方程无解,
m2
(m2
1)2
故直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为
1 的两段圆弧.
2
17、
(本小题共
13 分)
已知函数 f
(x)
ax2
2bx(a 0 ,b
0) ,
⑴ 若 a b
1,解不等式 log 2 f ( x)
≤ 3;
⑵ 若 f (1) 1 ,求: 1
1 的最小 .
a
b
【解析】 ⑴
[ 4 ,
2) U (0 ,2] .
⑵
3 2
2
18、
(本小 共 14 分)定 在 R 上的函数 f
x 足:
①当 x
0 , f x 1;
② f 0
0;
③ 任意 数 x , y 均有 f x
y
f x
f y .
⑴
当 x
0 ,求 : 0
f
x
1;、
⑵ 求 : f x 是 R 上的减函数;
⑶
已知函数 g
x
f x 4
f
x2
2x
在定 域 D 上的最小
1 , D 中元素的可能的最
大 和最小 分
a 和 b ,求
a
b .
【解析】 ⑴
由③,取 y
x , f
0
f
x f
x
,
再取 x
0
,就有 f
0 1 ,∴ f
x
1
.
x
f
由①,可 得命 .
4 分
⑵ 当 y
0 , f x y
f x
f x f y 1 0
∴ f
x
是
R 上的减函数.
8 分
⑶
a
b
3 .
14 分
19、
(本小 共 14
分)
已知双曲 x2
y2
1 的左、右 点分
A1 , A2 ,点 P x1 ,y1
, Q x1 , y1 是双曲 上
2
不同的两个 点.
⑴
求双曲 的离心率;
⑵
求直 A1 P 与 A2Q 交点的 迹 E 的方程;
⑶
若 点
0 ,
h , h 0 的两条直 l1 和 l 2 与 迹 E 都只有一个交点,且 l1
l2 , h 有多少
种不同的取 ?
【解析】 ⑴ e
6
;
2
2
⑵
x
y
2
1 ( x
2 ).
2
⑶ 由 l1 与 l2 与轨迹 E 都只有一个交点包含三种情况:
① l1 、 l2 均与椭圆相切;
② l1 、 l2 中一条过点
A1
或 A2 另外一条与椭圆相切,这两种图形对应的
h 相同;
③ l1 、 l2 中一条过点
A1
另外一条过点 A2 .
y
y
y
A1
O
A2x
A1
O
A2 x
A 1
O
A2x
20、
(本小题共
13 分)
设 X
1,
2, 3 , L
, 100 ,对
X
的任意非空子集
,
中的最大数与最小数的平均数称为
M
M M
的极均值,记为 d
M .
⑴
求 d
M
的最大值;
⑵
对 X 的非空子集 M ,记 M
101 x | x M
,求证: d M
d M 为定值;
⑶
求 X 的所有非空子集的极均值的平均数.
【解析】 ⑴
d M 的最大值为 100;
⑵
d M
d M
101 为定值;
1 101n 101 .
2n2