南通市2017-2018学年度高三第三次调研测试数学试题（28页）

/ 25

/ 25

/ 25

/ 25

2

2

南通市2017-2018学年度高三第三次调研测试数学试题

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题）.满 分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答 题卡交回。

答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色 字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

3 作答试题必须用书写黑色字迹的 05 毫米签字笔写在答题

数学I

参考公式:

柱体的体积公式V柱体二Sh，其中S为柱体的底面积，h为

高.

锥体的体积公式V锥体Jsh ,其中S为锥体的底面积，h为

3

高.

n

样本数据x, , x2，…，xn的方差S = （Xi - X），其中

n y

x Xi .

n i吕

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答 案填写在答题卡相应位置上.

1 ?已知集合 A = { -1, 0 , 3, 5 }, B=<x x-2a0> ,则 aP|B = ▲ 2 .已知（1 - 3i）（a - bi） = 10i，其中i为虚数单位，a , b R则ab的值为

已知一组数据82 ,91 , 89 , 88 , 90，则这组数据的方差为

根据如图所示的伪代码，已知输出值 y为3，则输入值xx为0

/ 25y — x 4

/ 25

TOC \o "1-5" \h \z 函数y = lg（4-3x-x2）的定义域为 ▲.

袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全 相同.

现从中随机摸出1只球，若摸出的球不是红球的概率为 0.8，不

黄球的概率为0.5，则摸出的球为蓝球的概率为丄

在^ ABC 中，若 sin A:sin B :sin C = 4:5:6，贝U cosC 的值为 ▲

2 2

在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线￡专=何0）的焦点到

渐近线的距离为2,则该双曲线的离心率为_▲

已知是等比数列，S.是其前n项和.若a^=2, S2=4S6，则39的

10.值为丄 现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的 8

10.

成一个底面积不变的正四

棱锥形铁件（不计材料损耗）.设正四棱柱与正四棱锥的侧面

积分别为S, S2,则詈的值

为厶

11 .已知实数a , b , c成等比数列，a 6 , b 2 , c 1成等差数列，则b的

最大值为 ▲.

12.如图，在平面四边形 ABCD中，AB = 4 , AD = 2,/ DAB =60

AC =3BC，则边CD长的最小值为 ▲

的同侧作半圆，M, N分别为两半圆上的动点(不含端点 A , B , C ), 且BM _ BN，则AiT CN的最大值为 ▲.

fax—1, x",

14.已知函数f(X)才3 c c的图象恰好经过三个象限，

x —ax+ x — 2 ,x>0

则实数a的取值范围是 ▲.

/ 25

/ 25

、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域

内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步 骤.

15.(本小题满分14 分)

如图，在直四棱柱 ABCDABGU中，底面ABCD为

平行四边形，GB-GD .

求证：(1) BD//平面GBD；

(2 )平面CBD丄平面

AAGC.

(本小题满分14分)

如图是函数f(x)二Asin(? ' x)(A ? ,0 ? ? >,0 _才在一个周期内的

图象.已知

点P (-6,0) , Q(-2, -3)是图象上的最低点，R是图象上的最高点.

求函数f (x)的解析式；

记/ RPO二：,QPO二:(壽，一：均为锐角)，求tan(2卅亠F)的值.

（本小题满分14分）

如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD , AB // CD ,

AB_BC, AB =3百米，CD =2百米.该区域内原有道路 AC ,现 新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P

在道路AC上（异于A C两点）,/bac =丄，/DPA f

6

（1） 用，表示直道DP的长度；

（2） 计划在△ ADP区域内种植观赏植物，在△ CDP区域内种 植经济作物.已知种植

观赏植物的成本为每平方百米 2万元，种植经济作物的成 本为每平方百米1万元，

新建道路DP的成本为每百米1万元，求以上三项费用总 和的最小值.

（本小题满分16分）

2 2

2 2

若椭圆的离心率为丄，短轴长为2 3.

2

求椭圆的方程；

若直线OQ , PQ的斜率分别为K,匕

求ki k2的值.

若在x轴上方存在P, Q两点，使O, F , P, Q

四点共圆，求椭圆离心率的取值范围.

(本小题满分16分)

已知数列穿满足an.i ?(-1)nan二七F(n. N “)，数列 4的前n项和为 sn.

求ai 83的值；

若 q a5 = 283.

求证：数列 为等差数列；

求满足S2p =4S2m(p, m N )的所有数对(P, m).

/ 25

/ 25

/ 25

/ 25

(本小题满分16分)

对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在正整数k，使不等式 -< f (x) ::: k 恒成立，

k

则称f (x)为D(k)型函数.

设函数 f(x)=ax，定义域 D = [—3,-1 星 H,3].若 f (x)是 D(3)型 函数，求

实数a的取值范围；

设函数g(x)=ex-x2-x -定义域d =(o -).判断g(x)是否为d(2) 型函数，

并给出证明.(参考数据：7 e2 ::: 8 )

/ 25

/ 25

/ 25

/ 25

/ 25

扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港七市 2017-2018学

年度高三第三次调研测试数学试题

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

本试卷共2页，均为非选择题（第 21~23题）.本卷满分为 40分.考试时间为30分钟.

考试结束后，请将答题卡交回.

答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字

迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用 2B铅笔正确填

涂考试号.

3?作答试题必须用书写黑色字迹的―0.5毫米签字笔写在答题卡~ 数学（附加题）

【选做题】本题包括 A B、C、D四小题，请选定其中两题，并 在相应的答题区域 内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

［选修4— 1:几何证明选讲］（本小题满分10分）

如图，△ ABC 中，已知 AB=3 , BC=6 , AC=4 , D 是边 BC 上一 点，AC与过点A, B, D的圆O相切，求AD的长.

［选修4— 2:矩阵与变换］（本小题满分10分）

已知矩阵 A = ［； 0' , B = I ? , C=AB.

（1） 求矩阵C；

（2） 若直线h：x y=O在矩阵c对应的变换作用下得到另一直线

12，求12的方程.

［选修4— 4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为x = 3 * 3t,

ly = 1-4t

为参数），圆C的参数方程为/Feos：，（日为参数，「AO）,若

、y = r sin^

直线I被圆C截得的弦长为4，求r的值.

［选修4— 5:不等式选讲］（本小题满分10分）

已知a, b, c是正实数，且a b ^5，求证：a2 2b2 c^10 .

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡

? ? ?

指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或

演算步骤.

（本小题满分10分）

将4本不同的书随机放入如图所示的编号为 1, 2 , 3, 4的四个抽

屉中.

求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；

随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数，求 X的分布列

和数学期望E(x).

1 2 3

〔第22题)

(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点F为抛物线y2 = 2px(p 0)的焦

点，直线l过点F与抛物线相交于A, B两点(点A在第一象限)

若直线I的方程为y = 4x — 2，求直线OA的斜率；

3 3

已知点C在直线x = -p上，△ ABC是边长为2p+3的正三角

形，求抛物线的方程.

扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港七市

2017-2018学年度高三第三次调研测试

数学学科参考答案及评分建议

填空题:

1 . .3,5} 2 . 3

4 . -.2

5 .(-4,)

9 . 2 或 6 10

11

3 12

4

13

i 14

解答题:

15. ｛证明】（1）在四棱柱九3加-貝出1（?16中*

所以四边形BDDxBx为平行四边形,

所以BD、

又血u平面匚卫。‘ 眄＜Z平而C0Q -

■9 V ■ ■■ * 4 \\

〔第15题）

所以平面C^D.

■*

（2）设貝＜?与月D交于点6 连结00

因为底廊A5C7）为平行四边形, 所以。为丑D的中点,

X Ci5= CtD?所以 C^OIBD.

在直四棱柱ABCD-A\B\C\D\中.殆匚丄平面ABCD.

PBDu平而/LS8?

所以 C}C±BD. 10 分

又因为 cxo rcxc=c^ qo, ot?u平面 aacg

所以他丄平而AAlCiC. 12分

/ 25

/ 25

/ 25

/ 25

/ 25

又月Du平面G芳D，

所以平谊j CXBD丄平面曲i C}C.

16.<D因肉图象在一亍周期内的最低点为Q (-2. - 3)?与x轴的交点为尸卜6P),

16.

所以)= 3* T-4(-2 + 6) = 16.

将点0<-2.-3)代入，得-3

将点0<-2.-3)代入，得-3

又T = ^t所以^ = |,

所咲/W = 3 sin(訐+外

所以一手+段二一耳十戈加^eZ(

4 2

予分

又钏冬牛所以中

所以 f(x) = <2)点J?的橫坐标心二勺+扌/1：—2 + 8 = 6.所以R(6,引*

又因为6 #均为钱角.从而tana = ^, tan"%

2鼻丄 _所 皿加=]_4=]_(寸=丙

2鼻丄 _

所 皿加=]_4=]_(寸=丙

2tau ff

所以tan(2氐+ “} =

tail 2tz + tan/?

I — tan 2a tan /?

14分

(1)过点D作功F垂直于线段曲.垂足为QI

在直^LlABC中，因为』丑丄EG ABAC = , AB=3 f所以Rf =爲.

o

在直ft ^ADDr中，因为ADr = l. DD'b 所以.W = 2t则嗣/加”二卑

又 Z5JC = ^,所以ZDAP = ^

o o

2分?第17题、在△QP

2分

?第17题、

在△QP中F由正弦定理得绘-QP

smu

（2〉在中，由正弦定理得sin ZADP sin 0所以廿亠Z严严（亍s?i & srn B1 I 2血(竽-旬^s,m=-ap pd ^e=-―——-翻-沁&=sin*沁(普_&)

（2〉在中，由正弦定理得

sin ZADP sin 0

所以廿亠Z严严（亍

s?i & srn B

1 I 2血(竽-旬

^s,m=-ap pd ^e=-―——-翻-沁&=

sin*

沁(普_&)

sin^

又兀心=|^Z) BC sinZZDC = lx2x2Sm^ = VI

sin

所以丄吸=Sg - =运

J2)C

sin &

设三顼费用总和为fg

则皿「啦士刃小（屁呎土铁小

sm^

=v?+

— 6?) +1

Slll^

stn^

?…10分

所以f（硯二

—-j—CO5 0

sinV

令十⑹“，则—争

3

(i-T)

2ir

T

（T-T）

—

0

+

\

2启

Z

所以—寻时.[A0L =2^3 .

方法1’设P（4小则芋+￥ = 1 ’所以兄“-討. 所以而=（托-!」』，帀=（3⑴，

因为FP丄F0 所]^FQ FP = 3^-l） + tyG=Qf 所以一恤=3% -1）

旳片一f _X-巩 _3-jx^+3（x0-l）

石馳_4 _爲_4帀 琉一佔）

方法N设0（曲?片）?则寸"+当"=1 1所以■了 1寸卅* 当心“时.直线尸。存在斜率* W^e=-^r?

托_]

又FP1FQ.所以直线HP的方程为严-鱼二1仗-1）.

所以点尸的坐标为（4,-^^）? 6分

/ 25

/ 25

/ 25

陷 T） ,,

叭VS =兽巴

x0-4

当毛"时，点总的坐标为（1?±申?点卩的坐标^（4.0）,也満足际屉=-寻?

所以勾内的值为-扌.

〔2）方法h设F 因为EP丄F0

则△FP0的外接圆即为以PQ为直径的圆（X-°l）（x-xo） + （j-^-^） = 0 .

12分

由题意.黑点凤原点O均在该圆上，所以（

消去悯得(*7-^)(<7-^)-^=0,所以况之-￡

C C C

14分

因为点H总均在工轴上方.所W-o<c--^<c?即c2^aC-a2>0f

所以# 1>0,又因为所沁导J<\.

方法2：因为O, F. P, Q四点共圆且FP丄F0所LlPp为圆的直径,

所以圆心必为尸。中点射,

又圆心在弦OF的中垂线工=号上?

所以圆心M的横坐标为為■亍

12分

所以点Q的横坐标为p =宀加

一牛■（以/下同方法I） *?14分

19. （1）由条件"得

（2）①证明：內为如+（_厅叫二号

所叫

④^? 得吆-1 +aM = + 1

/ 25

/ 25

/ 25

/ 25

/ 25

丁 昼 1 = * + ￡ = (“I + 碍)4■(码 + 碍)=4码?

所以碍二寺.从而坏专. 書分

所以％i -討 ?“-》=-=(_1)"'1 (珂-》=0'

所以"斗将其代入③式，得^=N + |f

TOC \o "1-5" \h \z 所以叫讪-临"(常数h所以数列｛%｝为等差数列? 10分

②注意到 at —色*+] ■所—a^ +da +■■■ +

= (^+a1) + (ci1+as)+--F g + 口亦 |)

= 2^r^ = -v + 3^? i2 分

t~\ - -

由% = 4九知牛+ Bp = 4(与+ 3樹)*

所W (2m 4-6)a =(^ + 3)2+27 ?

即(2w + /? + 9)(2rrr — jj + 3) = 27 ?又 ?n eN* ■

所以2m + j?+ 9^12且2m + p + 912m — p +弓均为正整数.

所\^[2m + p + 9 = 211 解?^ = 10> ^ = 4f

2m -p + 3 = l

所以所求数对为(10.4). 16分

20. ⑴因为/(x) = ^|x|是D⑶型函数，所以寺＜6沐3在HTUZ]上恒成立.

<a<在[T,T]U[1，习上恒成立,乂|耳|的取值范围为卩?

<a<

在[T,T]U[1，习上恒成立,

乂|耳|的取值范围为卩?3]+所以丿

所以应的取值范围为停1).

(2)答* ECO是D(2)型函数.证明如下F

①先证明g(x)<2.

方法1;记机工)=——…-二h 0<x<2 f

_ v -j- n (x _ 4)2 + -j

所以 h\x)= ” (-工 “ _1 < 0 ,

e1 er

所以城力在(0,2)上为减函数+ &分

所以矶幻"(2) =耳A1,所以J+h+J]

e~ ex

即 e1 - t' - x < 2 f

所以gC0*=2成立* g分

方7去 2：记 J7T(X)= X —工‘ 一 H 11 f 0 < X< 2 *

iEnW = mXx) = er-2x-lT 则畑"-2,令时(工)二0 +

所以x = bi2 t

当 Ae(0，ln2)时* wf(r) < 0 t 当 xe(ln2t2)时，nf(x) > 0 .

所\^^{x) = e-2X-l在((Mn2)上为减函数*在(ln2,2)上为增函数.…6分 又曲'(0) = 0, mF(ln2) = l-21n2<0 , = -5>0 ,

又讥町的图象连续不间断"

所以mf(x) = ^x-2x-l在(0⑵上存在唯一零点心Eg2?2)*

且当 xe(0 ?心)时.mr(x)<0t 当 xe(^ .2)时.mf(x) > 0 t

所以m(x) = ^-x2-x-2在(0低)上为减函数，在缶4)上为增函数+

所以m(x) < max (m(0) f m(2)} = max { -1 -?) ? X 7 < e1 < 8 ,

所W ?ff(x) < 0 i所以贞工)<2得证”… g分

②再证明eSa,

x1 十丄 —（x2 — X — —1

记心比一^” 0<x<2t 所以rV）= ,- >

e e

令巩珀二0?得x = l^e（0.2）t记冷二呼?则xo + l = ^,

3 0 < x < x0 时* r^（x） > 0 * 当 x（j < x < 2 时* r\x） < 0 *

所tlr（x）在0 %）上为塘函数.在（x, , 2） ±为減函数，

1

心 +xQ+~ 2.V?

所以=^） = 一=-^-< 12 分

要证童（力》+「只耍证r（x） < 1 t订要证$（力骨<1,即证^-<1

H卩证（迈心亍 <亡刊f即证21nV2+ 2ln^ < r0 1 *）*

为证明（*）式，我们先证工>1时.有岂二1?

LX

记巩町二血工一2^^. -T>1>所以；/（丫）=丄一寺_土 = _'工_? cQ.

工上 2jt 2x

￥

所以pCO在（1* +血）上为减函数F所以7?（兀）€卩⑴=0，即lnx < 得证-

_卫

所以21ndc2 耳=4 Jin% c2宴二=死一丄，

2^2 V2 2花。％

故要证明（*）式「只需证明士 +心-*<：耳'即证尽<0，

而心=1 +咅 < 忑‘从而5（^） > 4 *

由得^<g（x）<2t结论获证》 16分

数学学科参考答案及评分建议

数学□（附加题）

22. （1）将4本不同的书放入编号为I, 2, 3, 4的四个抽屜中.共有44=256种不同放法.

1

2

3

4

（第22魁）记“4

（第22魁）

事件A共包含兀=24牛基本事件尸

所以％）=釜=寻

所以4本书恰好放在四亍不同抽屣中的概率为旦- 3分

（2）方法1；尤的可能取值为G?L 2, 3?4,

P(Y 皿 3* si h ?T 27 片厂诙p(—) = r^二貧

尸尸(x±4)±g二丄.

4* 64 f 44 256

所以X的分布列为:

X

0

1

2

3

4

P

81

256

27

&4

27

128

3

64

1

256

所以X的敌学期望为：

10分呼）亠芫小寻宀磊?右宀疵

10分

方法2’每本书放入2号抽屉的概率为= 凤鬲=1-头沢 ……，分

4 4 4

根据题意X?团务扑所以戸徑"）皿（打甘）:"0"2氛4?

所以X的分布列为’

X

0

I

3

4

P

E1

256

27

27

128

3

64

1

256

********** g分

所以X的数学期望为E(X) = 4^ = 1. U)分

因为ij + b + c=5* 所以@’+ 0+F)-〒耳 25 +

10分所以/十需+/孑10,当且仅^a = 2b = c

10分

23. （1）曲题意*焦点（ 0）在直线F上,

所wlxi'i=Ot解得戸

所以拋物线的方程为y2=2x.

4 _2

y=^x--t 消去工得2y2-3y-i=^, J'2 =抵‘

所以尸2或坪-苏 因为点/在第一象限.

所以直线。/的斜率为1.

怨）依题意，直线f的斜率存在，且不为零”

设直线/的方程?srj = A-（x-y） 1设』（曲，旳）* R（和 旳），C（-p^ yj）t

曲中点M (xfl * jo)

由”

>'=2 坪

? 消去F 得Px' -(Pp + 2p)x + 4^'p' = 0 ” 尸也-爭 4

(^ + 2p}±VA

F F 一 2^

所以 AB = xi+x2 4-护=2p4■驾

5 +九即孕亠

k~

因为心二冲二分空二严孕，

2k1

所 mvc=ji+

烷（討堆）=#〔切坯 解得尸屁

烷（討堆）=#〔切坯 解得尸屁

所以

将吉唸代入得「哙

又闵为￡^ABC是边长为2戸+ 3的正三角形*

所以 MC^(2p + 3)t

10

10分

所以抛物线的方程为］亠2屈.