2019-2020学年湖北省荆门市高三（上）元月调研数学试卷（文科）

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2019-2020学年湖北省荆门市高三（上）元月调研数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案填涂在答题卡上．

1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（　　）

A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＜1} D．A∩B＝?

2．（5分）设i是虚数单位，则|（1﹣i）﹣|等于（　　）

A．0 B．4 C．2 D．

3．（5分）下列各式中错误的是（　　）

A．0.83＞0.73

B．lg1.6＞lg1.4

C．log0.5 0.4＞log 0.5 0.6

D．0.75 ﹣0.1＜0.75 0.1

4．（5分）设双曲线的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为（　　）

A． B．

C． D．

5．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω?φ＝（　　）

A． B． C． D．

6．（5分）若tanθ+＝4，则sin2θ＝（　　）

A． B． C． D．

7．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝（　　）

A． B． C． D．

8．（5分）太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点（x，y）∈A，则z＝2x+y的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

9．（5分）灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色．春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；

丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

10．（5分）函数f（x）＝eln|x|+的大致图象为（　　）

A． B．

C． D．

11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则PQ两点之间距离的最小值为（　　）

A． B．1 C． D．2

12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（如表为随机数表的前2行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为　 　

7816

6514

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

14．（5分）已知向量满足，且，则的夹角为　 　．

15．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为　 　．

16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为100π，PA⊥平面ABC，PA＝8，∠BAC＝60°，则三棱锥体积的最大值为　 　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3﹣2成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的前n项和Sn．

18．（12分）如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，BC＝6，AB＝4，∠ABC＝30°．

（Ⅰ）求证：AC⊥BE；

（Ⅱ）若二面角B﹣AC﹣E为45°，求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值．

19．（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组[0，0.5），[0.5，1），…，[3，3.5）制作了频率分布直方图，

（Ⅰ）用该样本估计总体：

（1）估计该市居民月均用水量的平均数；

（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？

（Ⅱ）在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少？

20．（12分）已知椭圆E：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线x+y﹣2＝0相切．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）A，B，C为椭圆E上不同的三点，O为坐标原点，若，试问：△ABC的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）记两个极值点为x1，x2，且x1＜x2，求证：x1?x2＞1．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：．

（Ⅰ）求直线l与曲线C1公共点的极坐标；

（Ⅱ）设过点P（0，﹣1）的直线m交曲线C1于A，B两点，求|PA|?|PB|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．

（Ⅰ）试比较ab+1与a+b的大小；

（Ⅱ）设maxA表示数集A中的最大数．h＝max，求h的最小值．

2019-2020学年湖北省荆门市高三（上）元月调研数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案填涂在答题卡上．

1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（　　）

A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＜1} D．A∩B＝?

【分析】可以求出集合B，然后进行交集和并集的运算即可．

【解答】解：A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x＜0}，

∴A∩B＝?，A∪B＝{x|x＜0或0＜x＜1}．

故选：D．

【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．（5分）设i是虚数单位，则|（1﹣i）﹣|等于（　　）

A．0 B．4 C．2 D．

【分析】根据复数的四则运算进行化简即可．

【解答】解：∵1﹣i﹣＝1﹣i+2i＝1+i，

∴|1+i|＝，

故选：D．

【点评】本题主要考查复数的四则运算以及复数模长的计算，比较基础．

3．（5分）下列各式中错误的是（　　）

A．0.83＞0.73

B．lg1.6＞lg1.4

C．log0.5 0.4＞log 0.5 0.6

D．0.75 ﹣0.1＜0.75 0.1

【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性对每个选项的式子进行判断即可．

【解答】解：根据幂函数的单调性可知0.83＞0.73正确；根据对数函数的单调性可知lg1.6＞lg1.4和log0.50.4＞log0.50.6都正确；

根据指数函数的单调性可知0.75﹣0.1＞0.750.1．

故选：D．

【点评】考查幂函数、指数函数和对数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．

4．（5分）设双曲线的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出a，b然后求解双曲线方程．

【解答】解：双曲线的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，所以c＝2，

双曲线C的一条渐近线方程为，可得b＝，a2+b2＝4，解得a＝1，b＝，

所以所求的双曲线方程为：．

故选：B．

【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．

5．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω?φ＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据函数f（x）的部分图象与五点法画图，求出A、φ和ω的值，再求ω?φ的值．

【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，

A＝2，f（0）＝2sinφ＝1，sinφ＝，∴φ＝；

又f（）＝2sin（ω×+）＝0，

∴ω+＝2π，解得ω＝2；

∴ω?φ＝2×＝．

故选：C．

【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

6．（5分）若tanθ+＝4，则sin2θ＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．

【解答】解：sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝＝

故选：D．

【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．

7．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1＝2d，再代入中化简求值即可．

【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由等差数列的求和公式可得且d≠0，

∴，

故选：A．

【点评】本题主要考查等比数列的求和公式，难度一般．

8．（5分）太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点（x，y）∈A，则z＝2x+y的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【分析】结合图形，平移直线z＝2x+2y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值；当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值；分别求出对应的z值即可．

【解答】解：由题意可知：z＝2x+y与x2+（y﹣1）2＝1相切时，切点在上方时取得最大值，如图：

可得：≤1，解得1﹣≤z≤1+，

z＝2x+y的最大值为：1+．

当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，

同理≤2，即z的最小值为：﹣2，

所以z∈[﹣2，1+]．

故选：C．

【点评】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．

9．（5分）灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色．春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；

丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【分析】做出由四人的预测表，然后分析四个人的话，能够求出结果．

【解答】解：由四人的预测可得下表：由四人的预测可得下表：

中奖人

预测结果

甲

乙

丙

丁

甲

?

?

?

?

乙

?

?

?

?

丙

?

?

?

?

丁

?

?

?

?

1）若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意

2）若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意

3）若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意

4）若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意

故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确．

故答案为：甲．故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确．

故选：A．

【点评】本题考查了逻辑推理能力，属于中档题．

10．（5分）函数f（x）＝eln|x|+的大致图象为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，结合函数值的变化趋势可排除B，得到答案．

【解答】解：∵f（x）＝eln|x|+

∴f（﹣x）＝eln|x|﹣

f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，

故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，

可排除A，D，

当x→0+时，y→+∞，故排除B

故选：C．

【点评】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于基础题．

11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则PQ两点之间距离的最小值为（　　）

A． B．1 C． D．2

【分析】做面的垂线，过垂足做棱的垂线，由题意求出长度，所以由勾股定理PQ的长的表达式，当A与Q重合时最小．

【解答】解：由题意如图所示：做PA⊥β于A，QB⊥α于B，AC⊥棱于C，QD⊥棱于D，

连接PC，BD，∠ACP＝∠BDQ＝60°，PA＝，PC＝2，QB＝，

∴AC＝QD＝1，PQ2＝QA2+PA2＝3+QA2≥3，

所以当Q与A重合时QP最小为，

故选：A．

【点评】考查二面角的应用，属于中档题．

12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，并且，在△F1PF2中根据余弦定理可得到：，所以．

【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：

；

∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，，则：

在△PF1F2中由余弦定理得，；

∴化简得：，该式可变成：

；

∴．

故选：D．

【点评】考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定义，余弦定理．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（如表为随机数表的前2行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为　43　

7816

6514

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

【分析】根据随机数表抽取样本数据时，数据范围在01～50，且重复的数据不再抽取，由此抽出样本．

【解答】解：根据应用随机数表取样本数据的特征知，依次抽取的5个数据分别为：

14，08，02，07，43；

所以第5个编号为43．

故答案为：43．

【点评】本题考查了简单随机抽样的应用问题，是基础题．

14．（5分）已知向量满足，且，则的夹角为　　．

【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可．

【解答】解：设的夹角为θ，

向量满足，且，

可得＝0，即9+3×cosθ＝0，

可得cosθ＝﹣，

所以：θ＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，向量的夹角的求法，属于基础题．

15．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为　　．

【分析】正方形的边长构成以为首项，以 为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．

【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以 为公比的等比数列，

现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝1023，∴n＝10，

∴最小正方形的边长为＝．

故答案为：．

【点评】本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．

16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为100π，PA⊥平面ABC，PA＝8，∠BAC＝60°，则三棱锥体积的最大值为　18　．

【分析】推导出三棱锥P﹣ABC外接球半径R＝5，△ABC外接圆半径为r＝＝3，从而S△ABC＝＝＝9，当sinB＝sinC＝时，（S△ABC）max＝，由此能求出三棱锥体积的最大值．

【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为100π，PA⊥平面ABC，PA＝8，∠BAC＝60°，

∴三棱锥P﹣ABC外接球半径R＝5，△ABC外接圆半径为r＝＝3，

∴S△ABC＝＝＝9，

∵sinB＞0，sinC＞0，

∴当sinB＝sinC＝时，（S△ABC）max＝9＝，

∴三棱锥体积的最大值为：

V＝×8＝＝18．

故答案为：18．

【点评】本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查三棱锥的外接球、三角形外接圆半径、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3﹣2成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的前n项和Sn．

【分析】本题第（Ⅰ）题先设等比数列{an}的公比为q，然后根据等差中项的性质列出方程，得出q的值，即可得到数列{an}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据an．＝2n，求出数列{bn}的一般项，然后根据一般项的特点采用分组求和的方法即可得到数列{bn}的前n项和Sn．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等比数列{an}的公比为q．

∵a1，a2，a3﹣2成等差数列，

∴2a2＝a1+（a3﹣2）＝2+（a3﹣2）＝a3．

∴q＝＝2，

故数列{an}的通项公式为：an＝2n，n∈N*．

（Ⅱ）由（Ⅰ），得：

，＝+2log22n＝（）n+2n，

∴Sn＝b1+b2+…+bn

＝（+2）+[（）2+4]+…+[（）n+2n]

＝[+（）2+…（）n]+（2+4+…+2n）

＝+n（n+1）

＝n2+n+1﹣（）n．

【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用和求和公式的应用，以及分组求和法的应用．本题属中档题．

18．（12分）如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，BC＝6，AB＝4，∠ABC＝30°．

（Ⅰ）求证：AC⊥BE；

（Ⅱ）若二面角B﹣AC﹣E为45°，求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）在△ACB中，利用余弦定理求出AC，推出AC2+BC2＝AB2，得到AC⊥BC．，证明BC⊥AC，得到AC⊥平面BCDE．即可证明AC⊥BE．

（Ⅱ）说明∠BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角，∠BCE＝45°．推出BE⊥平面ACE．∠EAB是直线AB与平面ACE所成的角．然后求解即可．

【解答】（Ⅰ）证明：在△ACB中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcos∠ABC＝3，

所以AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC．

因为平面平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC，BC⊥AC，

所以AC⊥平面BCDE．

又因为BE?平面BCDE，所以AC⊥BE．

（Ⅱ）解：因为AC⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，所以AC⊥CE．

又BC⊥AC，平面ACE∩平面ABC＝AC，

所以∠BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即∠BCE＝45°．

因为BE⊥EC，AC⊥BE，EC∩AC＝C，所以BE⊥平面ACE．

所以∠EAB是直线AB与平面ACE所成的角．

因为在Rt△BCE中，BE＝BCsin45°＝，

所以在Rt△BAE中，sin∠BAE＝＝．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．

19．（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组[0，0.5），[0.5，1），…，[3，3.5）制作了频率分布直方图，

（Ⅰ）用该样本估计总体：

（1）估计该市居民月均用水量的平均数；

（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？

（Ⅱ）在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少？

【分析】（Ⅰ）（1）利用频率分布直方图的性质能求出月均用水量．

（2）由直方图知：a∈（2.5，3），由（3﹣a）×0.3+0.5×0.1＝1﹣86%，能求出月均用水量a的标准．

（Ⅱ）由直方图可知：月均用水量在[0，0.5）的人数为：40×0.1×0.5＝2人，记为a，b，月均用水量在【0.5，1）的人数为：40×0.2×0.5＝4人，记为A，B，C，D，从此6人中随机抽取两人，利用列举法能求出两人月均用水量都不低于0.5吨的概率．

【解答】解：（Ⅰ）（1）月均用水量为：

＝0.25×0.05+0.75×0.1+1.25×0.15+1.75×0.2+2.25×0.3+2.75×0.15+3.25×0.05＝1.875．

（2）由直方图知：a∈（2.5，3），

由（3﹣a）×0.3+0.5×0.1＝1﹣86%，

解得a＝2.7吨，

故月均用水量a的标准定为2.7吨．

（Ⅱ）由直方图可知：月均用水量在[0，0.5）的人数为：40×0.1×0.5＝2人，记为a，b，

月均用水量在【0.5，1）的人数为：40×0.2×0.5＝4人，记为A，B，C，D，

从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有：

ab，aA，aB，aD，aC，bC，bD，AC，AD，BC，BD，CD，共15种，

其中月均用水量都在[0.5，1）的情况有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，

故两人月均用水量都不低于0.5吨的概率：P＝．

【点评】本题考查平均数、最低标准、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

20．（12分）已知椭圆E：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线x+y﹣2＝0相切．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）A，B，C为椭圆E上不同的三点，O为坐标原点，若，试问：△ABC的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）由一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线x+y﹣2＝0相切及a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；

（Ⅱ）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB，再求O到直线AB的距离d，由得C到直线AB的距离为3d，进而求出△ABC的面积，结果为定值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，

解得b2＝1，a2＝2，

则椭圆C的方程是：．

（Ⅱ）①当AB斜率不存在时，设C（﹣，0），A（，），B（，﹣），

S＝＝，

②设AB：y＝kx+m 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

直线AB与椭圆联立整理得：由（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣1）＝0，

则 x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，

由，得 ，代入椭圆中得：（）2+2（）2＝2 得4m2＝1+2k2，

原点O到AB的距离d＝，

|AB|＝＝＝2，

故S＝＝ ＝3＝．

综上：△ABC的面积为定值．

【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．

21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）记两个极值点为x1，x2，且x1＜x2，求证：x1?x2＞1．

【分析】本题第（1）题根据题意令lnx+1﹣2ax＝0，然后采用参变量分离的方法，构造函数g（x）＝，然后对函数g（x）求导并进行单调性分析，画出函数g（x）的大致图形，最后根据数形结合法得到实数a的取值范围；第（2）题根据题意有lnx1+1﹣2ax1＝0，lnx2+1﹣2ax2＝0，则可得lnx1＝2ax1﹣1，lnx2＝2ax2﹣1，2a＝．再根据分析法证明结论，整理后令（0＜t＜1），化二元为一元函数，构造函数，0＜t＜1．再利用导数法证明h（t）＞0成立即可证明命题．

【解答】（Ⅰ）解：由题意，f′（x）＝lnx+1﹣2ax，x＞0．

∵函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点，

∴方程f′（x）＝lnx+1﹣2ax＝0在（0，+∞）有两个不同的根，

即2a＝在（0，+∞）有两个不同的根．

令g（x）＝，x＞0．则g′（x）＝﹣，x＞0．

故当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0．

∴函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

在x＝1处取得极大值g（x）max＝g（1）＝1．

又x→0，g（x）→﹣∞；x→+∞，g（x）→0．

故函数g（x）大致图象如下：

根据题意及图，可知：0＜2a＜1，

∴0＜a＜．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，x1，x2即为方程lnx+1﹣2ax＝0在（0，+∞）有两个不同的根，

则有lnx1+1﹣2ax1＝0，lnx2+1﹣2ax2＝0，

故lnx1＝2ax1﹣1，lnx2＝2ax2﹣1，2a＝．

由题意，要证明：x1?x2＞1，只要证明：lnx1+lnx2＞0，

即证：（2ax1﹣1）+（2ax2﹣1）＞0，

即证：2a（x1+x2）＞2，

即证：＞．

∵0＜x1＜1＜x2，∴上式可转化为：lnx1﹣lnx2＜，

即为：ln＜．

令（0＜t＜1），则上式即为：lnt＜．

构造函数，0＜t＜1，

则，

即函数h（t）在（0，1）上单调递减，

故，

故，即ln＜．

故x1?x2＞1．

【点评】本题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性以及利用导数法证明不等式，考查了参变量分离法，转化和化归思想，本题属偏难题．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：．

（Ⅰ）求直线l与曲线C1公共点的极坐标；

（Ⅱ）设过点P（0，﹣1）的直线m交曲线C1于A，B两点，求|PA|?|PB|的值．

【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为：（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1．

直线l的极坐标方程为：．转换为直角坐标方程为x﹣y＝0．

联立方程，解得或

所以，直线l与曲线C1的公共点的极坐标为（0，0），（）．

（Ⅱ）依题意，设直线m的参数方程为（θ为倾斜角，t为参数），

代入（x﹣1）2+y2＝1，整理得t2﹣2（sinθ+cosθ）t+1＝0．

设A、B对应的参数分别为t1和t2，

则|PA||PB|＝|t1t2|＝1．

【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．

（Ⅰ）试比较ab+1与a+b的大小；

（Ⅱ）设maxA表示数集A中的最大数．h＝max，求h的最小值．

【分析】（Ⅰ）解绝对值不等式求出M＝（ 0，1），可得 0＜a＜1，0＜b＜1，再由（ab+1）﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0可得ab+1与a+b的大小；

（Ⅱ）（II）由题意可得 h≥，h≥，h≥，可得 h3≥，从而证得 h≥．

【解答】解：由|2x﹣1|＜1得﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，∴M＝{x|0＜x＜1}．

（Ⅰ）由a，b∈M，得0＜a＜1，0＜b＜1，

∴（ab+1）﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，故ab+1＞a+b．

（Ⅱ）由h＝max{，，}，得h≥，h≥，h≥，

∴h3≥＝≥＝，故h≥．

当且仅当＝＝＝，即a＝b＝时等号成立．

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题．