江苏省南京市20182019学年高中高一上学期期末调研数学
时间：2020-08-31 20:11:24 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
南京市 2018-2019 学年度第一学期期末调研
高一数学 2019 ．01
注意事项：
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 10 题）、选择题（第 11 题~第 14 题）、解答题（第
15 题~第 20 题）三部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
．．． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡
上对应题目
的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
．．．．．．．
一、填空题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上．
1．已知全集 U＝{0 ，1，2，3，4} ，集合 A＝{0 ，3} ，B＝{1 ，3} ，则 ?U (A∪B)＝ ▲ ．
x－4 的定义域为 ▲ ．2．函数 f(x)＝ 2
3．已知角 α的终边经过点 P(－5，12)，则
sinα
tanα
的值为 ▲ ．
C
4．已知向量 a＝(4，－3)，b＝(x，6)，且 a∥b，则实数 x 的值为 ▲ ．
x 的值为 ▲ ．
5．已知 x＝log612－log63，则 6
D
6．如图，在直角三角形 ABC 中，AB＝2，∠B＝60°，
→
AD⊥BC，垂足为 D，则 AB
→
· AD
的值为 ▲ ．
A B
（第 6 题图）
7．将函数 f (x)＝2sin2x 的图象向左平移
π
6
个单位后，得到函数 g (x) 的图象，则 g (0) 的值
为 ▲ ．
8．已知 a＞0 且 a≠1，若函数 f (x)＝
3－x，x≤2，
logax，x＞2
的值域为 [1，＋∞ )，则 a 的取值范围
是 ▲ ．
→
9．已知向量 OA
→
与 OB
→
满足 | OA
→
| ＝2，| OB
→
| ＝1．又 OM
→
＝t OA
→
，ON
→
＝(1 －t ) OB
，
→
且| MN
2
7
| 在 t＝
→
时取到最小值，则向量 OA
→
与 OB
的夹角的值为 ▲ ．
πx
2－x，g(x)＝sin
．若使不等式 f (x)＜g(x) 成立的整数 x 恰有 1 个，则实 10．已知函数 f(x)＝kx
2
数 k 的取值范围是 ▲ ．
二、选择题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．． 上．
0.7，c＝0.71.4，则 a，b，c 的大小关系是（ ）11．已知 a＝log1.4 0.7，b＝1.4
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
12．函数 f(x)＝xsinx，x∈[－π，π] 的大致图象是（ ）
y
－π
O π
x
y
x －π O π
A ． B．
yy
－π
O π
－π
O x
π x
C． D．
→
13．在平行四边形 ABCD 中， AB＝4，AD＝3，若 AC
→
·AD
→
＝11，则 AC
→
·AB
的值是（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
14．已知函数 f(x)＝2cosx (x∈[0，π]) 的图象与函数 g(x)＝3tanx 的图象交于 A，B 两点，则△
OAB（O 为坐标原点）的面积为（ ）
π
A．
4
B．
3π
4
C．
π
2
D．
3π
2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，向量 c 满足 a·c＝b·c＝5．
（1）求向量 c 的坐标；
（2）求向量 a 与 c 的夹角 θ．
16．（本小题满分 14 分）
已知 α是第二象限角，且 sinα＝
2 5
5
．
（1）求 tanα的值；
（2）求
sin(π＋ α)＋cos(π－ α)
π π
－α)＋cos( ＋α)
sin(
2 2
的值．
17．（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)( A＞0，ω＞0，| φ| ＜π)的图象如图所示．
（1）求函数 f(x) 的解析式；
y
2
●
（2）求函数 f(x) 的单调增区间；
π
（3）当 x∈[－ ，0] 时，求函数 f(x) 的值域．
2
π
O x
11π
6
12
（第 17 题图）
18．（本小题满分 16 分）
某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共 14 吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利 0.2 万
元；如果进行精加工后销售，每吨可获利 0.6 万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费
P（万元）与精加工的蔬菜量 x（吨）有如下关系： P＝
1
2， 0≤x≤8，
20x
3x＋8
，8＜x≤14．
10
设该农业合作社将 x（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润
（扣除加工费）为 y（万元）．
（1）写出 y 关于 x 的函数表达式；
（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．
19．(本小题满分 16 分)
如图，在△ ABC 中， AB＝2，AC＝5，cos∠CAB＝
3
5
→
，D 是边 BC 上一点，且 BD
→
＝2 DC
．
→
（1）设 AD
→
＝x AB
→
＋yAC
，求实数 x，y 的值；
→
（2）若点 P 满足 BP
→
与 AD
→
共线， PA
→
⊥ PC
，求
→
| BP
→
| AD
|
|
的值．
C
D
P
A B
（第 19 题图）
20．（本小题满分 16 分）
给定区间 I，集合 M 是满足下列性质的函数 f (x) 的集合：任意 x∈I，f (x＋1)＞2f (x)．
x，求证： f(x)∈M； （1）已知 I＝R， f (x)＝3
（2）已知 I＝(0，1]， g (x)＝a＋log2x．若 g (x)∈M，求实数 a 的取值范围；
2＋ax＋a－5 (a∈R)，讨论函数 h (x) 与集合 M 的关系．（3）已知 I＝[－1，1]，h (x)＝－x
南京市 2018-2019 学年度第一学期期末调研
高一数学参考答案 2019 ．01
一、填空题（ 10 小题，每题5 分，共 50 分）
1． {2 ，4} 2．[2，＋ ) 3．－
5
13
4．－ 8 5．4
π
1
， 2)
6． 3 7． 3 8． (1，2] 9．3 10．[
2
二、选择题（ 4 小题，每题5 分，共 20 分）
11．B 12． A 13．C 14．D
三、解答题（ 6 小题，共 90 分）
15．（本小题满分 14 分）
解：（ 1）设c＝(x，y)．
因为a＝(2，1)， b＝(1，－ 2)， a· c＝ b· c＝ 5，
所以
2x＋y＝5，
x－2y＝5，
4 分
解得
x＝3，
所以 c＝(3，－ 1)．
7 分
y＝－ 1，
（2）因为a＝(2，1)，c＝(3，－ 1)，
所以 | a| ＝ 5，| c| ＝ 10．
9 分
又 a· c＝2×3＋1× (－1)＝5，
a· c
所以 cosθ＝
| a|| c|
＝
5
＝
5× 10
2
，
11 分
2
π
又 θ∈[0， π]，所以 θ＝ ．
14 分
4
注：（ 1）最后没有写成 c＝(3，－ 1)不扣分．
（ 2）不写 θ范围或 θ范围写错，扣 1 分．
16．（本小题满分 14 分）
2 5
解： （1）因为α是第二象限角，且 sinα＝
，
5
2 5
2＝－ 5
2
所以 cosα＝－ 1－sin ，
4 分 α＝－ 1－(
5 )
5
2 5
sinα 5
所以 tanα＝ ＝－ 2．
7 分
＝
cosα
5
－
5
（2）
sin(π＋ α)＋cos(π－ α)
π π
－α)＋cos( ＋α)
sin(
2 2
＝
－sinα－cosα
cosα－ sinα
11 分
＝
－tanα－1
1－tanα
＝
tanα＋1
tanα－1
＝
(－2)＋1
(－2)－1
＝
1
3
．
14 分
注：（ 1）计算要能体现公式 ． 如未能体现公式，直接写出 cosα＝－
5
，扣 1 分；
5
如未能体现公式，直接写出 tanα＝－ 2，扣 1 分；不写 α角的范围，扣 1 分；
（ 2）只看化简结果
－sinα－ cosα
sinα＋cosα
或 ，得 4 分；最后只看最终结果
cosα－sinα sinα－cosα
1
3
，3 分．
17．（本小题满分 14 分）
4 11π
π
解： （1）由图象知， A＝ 2，T＝ ×(
－6)＝π， 3 12
所以 ω＝
2π
＝2，从而 f(x)＝2sin(2 x＋φ)．
2 分
T
π π π又因为f(x )的图象经过点 ( ，2)，所以 2sin( ＋φ)＝2，即 sin( ＋φ)＝1， 6 3 3
从而
π
＋ φ＝2kπ＋
3
π π
，k∈ Z，即 φ＝2kπ＋ ．
2 6
又因为| φ| ＜π，所以 φ＝
π
，故 f(x)＝2sin(2x＋
6
π
)．
5 分
6
π
（2）令 2kπ－ ≤ 2x＋
2
π π
≤ 2kπ＋ ，k∈Z，
6 2
解得 kπ－
π π
≤ x≤ kπ＋ ，
3 6
所以函数 f(x)的增区间为[kπ－
π π
，kπ＋
3
6]， k∈Z ．
9 分
（3）令 t＝ 2x＋
π
．
6
因为x∈[－
π
， 0]，所以 t∈[－
2
5π
，
6
π
]，
6
1
从而 sint∈[－1，
]，
12 分
2
即 2sin t∈[－2，1]．
π
所以当 x∈[－ ，0]时，函数 f (x)的值域为[－2，1]．
14 分
2
注：（ 1） A，ω各 1 分；φ算对得 3 分；
（ 2）结果没有写成区间的扣 1 分；
18．（本小题满分 16 分）
解： （1）由题意知，当 0≤ x≤ 8时，
1 2＝― 1 2＋2 14 ，
3 分y＝0.6x＋0.2(14―x)― x x x＋
20 20 5 5
当 8＜x≤ 14时，
3x＋8
y＝0.6x＋0.2(14―x)―
＝
10
1
x＋2，
5 分
10
即 y＝
1 2＋2 14
，0≤ x≤ 8，
x x＋
20 5 5
―
1
x＋ 2， 8＜x≤ 14．
10
7 分
（2）当 0≤ x≤ 8时， y＝―
1
2＋2
20x 5x＋
14
5
＝―
1
2＋18
20( x―4) ，
520( x―4) ，
所以 当 x＝4时， ymax＝
18
5
．
10 分
当 8＜x≤ 14时， y＝ 1 x＋2，
10
所以当 x＝14时， ymax＝
17
5
．
12 分
18
＞
因为
5
17
5
，所以当 x＝4时， ymax＝
18
5
．
答： 当精加工蔬菜 4 吨时，总利润最大，最大利润为
18
5
万元．
? ? ? 16 分
注：（ 1）若无过程直接得到分段函数，且正确，不扣分；
（ 2）按标准 ．
19．（本小题满分 16 分）
→
解： （1）因为BD
→
＝2DC
→
，所以 AD
→
― AB
→
＝2( AC
→
― AD
)，
→
即 AD
1
3
＝
→
AB
＋
2
3
→
AC
．
→
又 AD
→
＝x AB
→
＋ yAC
→
，且 AB
→
， AC
不共线，
所以 x＝
1
3
，y＝
2
3
．
4 分
→
（2）（方法一 ）因为BP
→
与 AD
共线，
→
所以存在实数 λ，使得 BP
→
＝λAD
．
6 分
→
因为AD
1
3
＝
→
AB
＋
2→
AC
3
→
，所以 BP
＝
λ→
AB
3
2λ
→
＋
AC
3
，
→
从而 PA
→
＝ PB
→
＋ BA
＝―
λ→
AB
3
―2λ
→
AC
3
→
― AB
λ →
＝― ( ＋1) AB
3
―2λ→
AC
3
，
→
PC
→
＝ PA
→
＋ AC
λ →
＝― ( ＋1) AB
3
2λ
→
＋(1―
3 ) AC
，
8 分
→
所以 PA
→
·PC
＝(
λ λ 4λ
→ 2
→
2 AB
＋1) ＋( ＋1)( ―1) AB
3 3 3
→
·AC
―
2λ 2λ→ 2
(1― ) AC
3 3
．
10 分
3 → 2 → 2
→
因为AB＝2，AC＝ 5，cos∠CAB＝ ，所以 AB ＝4， AC ＝25， AB
5
→
·AC
＝2×5×
3
5
＝ 6，
→
所以 PA
→
·PC
λ 4λ 2λ
λ
＝ ( ＋1) ＋1)( ― 1)×6― 2×4＋(
2×4＋(
3 3 3
3 (1―
2λ
3 )×25
＝
128
9
2―8λ―2，
14 分
λ
→
因为PA
→
⊥ PC
→
， 所以 PA
→
·PC
＝0，即 128 2―8λ― 2＝0，解得 λ＝3或 λ＝― 3
．
λ
9 4 16
因此
→
| BP
→
| AD
|
|
3
4
＝| λ| ＝
或
3
．
16 分
16
（ 方法二 ）如图，以 A为坐标原点， AB 所在直线为x轴建立直角坐标系 xOy．
3
5
因为AB＝2，AC＝ 5，cos∠CAB＝
，
y
C
所以 A(0，0)， B(2，0)，C(3，4)．
D
→
又 AD
1
→
＝
3 AB
2
→
＋
3 AC
， P
→
所以 AD
1
＝ (2，0)＋
3
2 8 8
(3，4)＝( )．
，
3 3 3
8 分
A B
O
x
→
因为BP
→
与 AD
共线，
→
所以存在实数 λ，使得 BP
→
＝λAD
→
，即 BP
8λ 8λ
＝( ，
)．
10 分
3 3
→
所以 AP
→
＝ AB
→
＋ BP
8λ 8λ 8λ＋6 8λ
＝(2， 0)＋( ，
3 )＝( ，
3 3
3 )，
→
CP
→
＝ AP
→
― AC
8λ＋6 8λ 8λ―3 8λ―12
＝( ，
)―(3，4)＝ ( ，
)．
3 3 3 3
12 分
→
因为PA
→
⊥ PC
→
，即 AP
→
⊥ CP
→
，所以 AP
→
·CP
＝0，
所以
8λ― 3
×
3
8λ＋ 6 8λ―12 8λ
＋ × 2―36λ―9＝0．
? ? ? 14 分
＝0，即 64λ
2―36λ―9＝0．
? ? ? 14 分
3 3 3
解得 λ＝
3
或 λ＝―
4
3
，
16
因此
→
| BP
→
| AD
|
|
＝| λ| ＝
3
4
或
3
．
16 分
16
20．（本小题满分 16 分）
解： （1）证明：因为f (x)＝3
x，所以 f (x＋1)―2f (x)＝3x+1―2×3x＝3x＞0，即 f (x＋1)＞2f (x)，
所以 f (x)∈M．
2 分
（2）因为g (x)＝a＋log2x，x∈(0， 1]，且 g (x)∈M，
所以 当 x∈(0，1]时， g (x＋1)＞2g ( x)恒成立，即 a＋log2(x＋1)＞2a＋2log2x 恒成立，
1
所以 a＜ log2(x＋ 1)― 2log2x＝log2(
＋
x
1
2)恒成立．
4 分
x
1 1
因为函数 y＝log2( ＋
2) 在区间(0，1]上单调递减，所以当 x＝1时， ymin＝1．
x x
所以 a＜ 1．
7 分
（3） h ( x)＝－ x
2＋ax＋a－5，x∈(0， 1]．
若 h ( x)∈M，则当 x∈[―1，1]， h(x＋1)＞2h (x)恒成立，
2＋a(x＋1)＋a－ 5＞－ 2x2＋2ax＋2a－10 恒成立即－ (x＋ 1)
2－(a＋2)x＋ 4＞0 恒成立．
9 分即 x
2－(a＋2) x＋4，x∈[―1，1]．记H(x)＝x
① 当
a＋ 2
≤ ― 1，即 a≤ ― 4时， H(x)min＝H (―1)＝a＋7＞0，即 a＞― 7．
2
又因为a≤ ― 4，所以― 7＜a≤ ― 4；
11 分
a＋2
② 当－ 1＜ ＜1，即－ 4＜a＜0时，
2
a＋2 (2－a)(6＋a)
H (x)min＝H ( ＞0，恒成立， 2 )＝
4
所以 －4＜ a＜0；
12 分
③ 当
a＋2
≥ 1，即 a≥ 0时， H (x)min＝H (1)＝3－ a＞0，即 a＜3．
2
又 a≥ 0，所以 0≤ a＜ 3．
综上所得 －7＜a＜3．
14 分
所以 当－ 7＜a＜3时， h (x)∈M；
当 a≤ － 7 或 a≥ 3时， h(x)∈/ M．
16 分
注：（ 1）按标准；
（ 2）得到 a＋log2(x＋ 1)＞2a＋2log2x 恒成立，得 2 分；
2＋a(x＋1)＋a－5＞－ 2x2＋2 ax＋2a－10 恒成立，不得分，（ 3）得到－ (x＋1)
化简后得 x
2－(a＋2) x＋4＞0 恒成立，得 2 分．
