2020年概率统计例题

　　第一章

　　随机事件及其概率

　　本章介绍概率的基础概念与理论，重点内容是

　　（1）古典概型、几何概型和贝努里概型的概率计算； （2）利用事件的关系与独立性进行概率计算； （3）利用加法定理、条件概率公式、乘法定理、全概率公式及贝叶斯公式进行概率计算

　　例题分析

　　本章的重点是事件概率的计算

　　1． 用古典概型，几何概型的定义计算概率 例

　　随机地将 15 名新生平均分配到三个班级中去，这 15 名新生中有 3 名优秀生，求

　　（1）

　　每个班各有一名优秀生的概率； （2）

　　3 名优秀生分在同一个班的概率。

　　解

　　将 15 名新生平均分配到三个班级中的总分法数为

　 C C n

　　（1）

　　事件 A={将 15 名新生平均分配到三个班级中去，且每个班各有一名优秀生}，完成事件 A 可分两步，先把 3 名优秀生各班分 1 名共有 ! 3 种分法，再把 3 名新生平均分配到三个班级共有4448412C C C 种分法，由乘法原理知中完成事件 A 的方法数即事件 A 包含的基本事件数4448412! 3 C C C m A 。故 9125 ! 3) (555105154448412 C C CC C CnmA PA。

　　(2)

　　事件 B={将 15 名新生平均分配到三个班级中去，其中 3 名优秀生分在同一个班}。完成事件 B 可分两步，先把 3 名优秀生分在同一个班，共有 3 种分法，对于这每一种分法，其余 12 名非优秀生的分法（一个班 2 名，另两个班各 5 名）共 C C 种分法，由乘法原理知中完成事件 B 的方法数即事件 B 包含的基本事件数555102123 C C C m B 。故

　　916 3) (5551051555510212 C C CC C CnmB PB

　　例（852）

　　从 10 , , 2 , 1 共 10 个数中，每次取一个数，假定每个数被抽取的可能性都相等，取后放回，先后取出 7 个数，试求下列各事件的概率； 1o

　　 A {7 个数中不含 1 和 10}；

　　2o

　　 B {数 10 恰好出现 2 次}

　　解

　　由于是有放回地抽取，故基本事件总数为 107 ，因此 1o

　　777)54(108) ( A P

　　2o

　　75 27109) (CB P

　　例

　　在区间（0，1）中随机地取出两个数，则事件{两数之和小于56}的概率为

　　。

　　解

　　如图 2 知 25171)54(2112 P

　　2．利用概率的基本性质计算事件概率 例（859）

　　设 B A, 为随机事件， 3 . 0 ) ( , 7 . 0 ) ( B A P A P ，则 ) (AB P ＝

　　解

　　因为 ) ( ) ( ) ( ), ( 1 ) ( B A P AB P A P AB P AB P ，所以 6 . 0 3 . 0 7 . 0 1 ) ( ) ( 1 ) ( B A P A P AB P

　　例（860）

　　设事件 A 与 B 相互独立且互不相容，则 min )) ( ), ( ( B P A P

　　。

　　解

　　由 A 与 B 相互独立知 ) ( ) ( ) ( B P A P AB P ，又因 A 与 B 互不相容，故 0 ) ( AB P ，所以 0 ) ( ) ( ) ( AB P B P A P

　　因此， min 0 )) ( ), ( ( B P A P

　　3．利用条件概率、乘法公式进行计算 例（868）

　　某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为 3／10，第二次落地打破的概率为 4／10，第三次落地打破的概率为 9／10，求透镜落地三次被打破的概率。

　　分析

　　第二次落地打破的概率，实际上是指在第一次落地未打破的条件下，第二次落地才打破的条件概率，同样，第三次落地打破的概率是指在第一、二次落地都未打破的条件下，第三次落地才打破的条件概率。

　　解

　　设iA “透镜第 i 次落地被打破” 3 , 2 , 1 i

　　A“落地三次，透镜被打破”， 依题意3 2 1 2 1 1A A A A A A A ，且2 1 1 ,A A A ，3 2 1A A A 两两互不相容，故有 算法 1 958 . 0109)1041 )(1031 (104)1031 (103) | ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (2 1 3 1 2 1 1 2 1 13 2 1 2 1 1 A A A P A A P A P A A P A P A PA A A P A A P A P A P 算法 2

　　先求 ) (A P

　　,100042)1091 )(1041 )(1031 (

　　) | ( ) | ( ) ( ) ( ) (2 1 3 1 2 1 3 2 1 A A A P A A P A P A A A P A P 所以， 958 . 0 ) ( 1 ) ( A P A P

　　例（854）

　　从装有红、白、黑球各一个的口袋中任意取球（取后放回），直到各种颜色的球至少取得一次为止。求

　　1o

　　摸球次数恰好为 6 次的概率；

　　2o摸球次数不少于 6 次的概率。

　　解

　　设kA “直到各种颜色的球至少取得一次为止所需摸球次数为 k 次”， , 4 , 3 k ，则事件` kA 发生必为第 k 次首次摸到红球、或白球、或黑球，其概率为3131 C ，剩下 ) 1 ( k 次摸到的必是其余两种颜色的球，且每种颜色至少出现一次，至多重复 ) 2 ( k 次，每次出现的概率都是31，因此 , , 4 , 3

　　)31( )31( )31(31) (2111121113 k C C C A Pkik iki k ikiik k 1o 4155 68110)31( ) (iC A P

　　2o 8131)] ( ) ) ( ) ( [ 15 4 3 A P A P A P P

　　注此题也可用古典概型计算 , 4 , 3 , 3 / ) 2 2 ( ) (1 13 k C A Pk kk 4．利用全概率公式，贝叶斯公式计算概率

　　例（870）

　　有两个箱子，第一个箱子有 3 个白球 2 个红球，第二个箱子有 4 个白球 4 个红球，现从第一个箱子中随机地取出 1 个球放在第二个箱子里，再从第二个箱子中取 1 个球，此球是白球的概率为

　　，已知上述从第二个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为

　　。

　　分析

　　本题第一问是考查全概率公式，第二问是求条件概率，故应用叶贝斯公式 设 1A { 从 第 i 个 箱 子 中 取 出 的 球 是 白 球 } ， i ＝ 1 ， 2 ， 由 条 件 知 ，9 / 5 ) | ( , 5 / 3 ) (1 2 1 A A P A P ，故由全概率公式得 4523)951 )(531 (9553) | ( ) ( ) | ( ) ( ) (1 2 1 1 2 1 2 A A P A P A A P A P A P

　　第二问由贝叶斯公式有 231595532345) () | ( ) () | (21 2 12 1 A PA A P A PA A P

　　解

　　应分别填4523和2315 例

　　有两个箱子，第一个箱子有5个白球10个红球，第二个箱子有5个白球10个红球，现从第一个箱子中任取出1个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取1个球放于第一个箱子里，最后从第一个箱子中任取2个球,求2个球全是红球的概率. 分析

　　本题是考查全概率公式. 解 设iA={从第一个箱子中任取出1个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取1个球放于第一个箱子后第一个箱子中含有 i 个红球}， i ＝4,5,6， B{最后从第一个箱子中任取2个球全是红球} 由条件知， ) (4A P=P (先从第一个箱子中任取出红球, 后从第二个箱子中取出白球)

　　485165155 ) (5A P=P (先从第一个箱子中任取出红球, 后从第二个箱子中取出红球)

　　+ P (先从第一个箱子中任取出白球, 后从第二个箱子中取出白球)

　　482316615101611155 ) (6A P=P (先从第一个箱子中任取出白球, 后从第二个箱子中取出红球)

　　48 / 20 16 / 10 15 / 10

　　105 / 6 / ) | (21524 4 C C A B P , 105 / 10 / ) | (21525 5 C C A B P ,105 / 15 / ) | (21526 6 C C A B P

　　故由全概率公式得

　　911051548201051048231056485) | ( ) ( ) (64 iiiA B P A P B P 5．利用贝努里概型公式进行计算 例

　　某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有 m 根火柴，求这时另一盒还的 r 根火柴的概率。

　　解

　　假若甲盒已空而乙盒还剩 r 根火柴，则在这之前一定已经取过 ) 2 ( r m 次火柴，每次取甲、乙盒的概率为21 q p ，在 ) 2 ( r m 次中，恰有 m 次取于甲盒， ) ( r m 次取于乙盒，第 ) 1 2 ( r m 次必然抓了甲盒，否则不会发现甲盒是空的，因此这种情况的概率为 1 2222 1)21( )21(21 r m mr mr m mr mC C P

　　故求一盒空而另一盒还剩 r 根火柴的概率为 r m mr mC P P P 22 2 1)21(

　　例（877）

　　假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以出厂，以概率 0.20 定为不合格仪器不能出厂，现该厂新生产了 ) 2 ( n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求

　　1o全部仪器能出厂的概率 ； 2o其中恰好有两台不能出厂的概率 ； 3o其中至少有两台不能出厂的概率 。

　　分析

　　由于各台仪器的生产过程相互独立，故生产的 n 台仪器中能出厂的仪器数服从参数为 ) , ( p n 的二项分布，问题的关键是 p 的确定 解

　　设 A {仪器需要进一步调试}， B {仪器能出厂}；则 A {仪器能直接出厂}， AB {仪器经调试后能出厂}。由条件知 94 . 0 80 . 0 30 . 0 70 . 0) | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (80 . 0 ) | ( , 30 . 0 ) ( , A B P A P A P AB P A P B P pA B P A P AB A B 记 X 为所生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则 ) 94 . 0 , ( ~ n B X 分布，故 nn X P 94 . 0 } {

　　n nn nnn n X P n X P n X PC n X P94 . 0 06 . 0 94 . 0 1 ) ( ) 1 ( 1 } 2 {06 . 0 94 . 0 } 2 {12 2 2 6．关于最小样本容量 n 的简单求法 例（878）

　　已知步枪射击命中目标的概率 4 . 0 p ，问至少需要多少支步枪才能保证击中目标的概率不少于 0.9？ 分析

　　此类问题首先设所需步枪数为 n ，再根据题意写出计算有关事件的概率式子，把对概率的要求用不等式表示出来，从而解出 n 。

　　解

　　设 X 为 n 支步枪中命中目标的次数，则 nX P X P 6 . 0 1 ) 0 ( 1 ) 1 (

　　由条件知 5 , 9 . 0 ) 6 . 0 ( 12 n ，故最少步枪数为 5 支 7．配对模型 例

　　从 5 双不同的手套中任取 4 只，求至少有两只配成一双的概率。

　　解

　　记 A {4 只手套中至少有两只配成一双}，有二种解法

　　1o利用对立事件计算

　　21137 8 9 104 6 8 101 ) ( 1 ) ( A P A P

　　2o用配对法计算。记 iA {取得了第 i 双手套}， 5 , , 2 , 1 i

　　21 13 0 0 1 5) ( ) ( ) ( ) ( ) (4102541028515 1 5 2 1／ ＝ ＋ ）＋ ／ （ ）－ ／ （ ＝ C C C CA A A P A A P A P A A A P A Pi j ij i i

　　例

　　将 n 封信从信封中取出后随机地装入，求至少有一封放进它原来信封内的概率 ) (n p ，并计算 ) ( lim n Pn 解

　　此题用逆事件难以得到一般公式，故选用配对法计算，记 iA {第 i 封信装入第 i 个信封中}， n i , , 2 , 1 ，则 1 1 2 112 112 12 11!1) 1 (! 211!1) 1 (11 1 1) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (!1) (

　　,11 1) (

　　, , , 2 , 1 ,1) ( en n n nCnCA A A P A A P A P A A A P n PnA A A P j in nA A P n inA Pn nn nni j innj i i nn j i i 小结

　　本章重点是随机事件的计算，考生除应熟记有关的公式，根据题目的条件作出正确的计算外，还要熟练地掌握一些技巧（如利用逆事件等），以简化解法，提高效率。

　　第二章

　　随机变量及其分布

　　1． 离散型随机变量的分布律和分布函数 例（882）

　　设随机变量 X 的分布律为（ 0 为参数）

　　2 , 1 ,1) ( kak X Pk 求（1）

　　) 3 ( ) 2 ( ); 5 ( 的倍数 为 X P X P 。

　　解 因为 111)11 /(1) ( 1ka a ak X P ＝ ，所以 2 a ， （1） 5161211 /21) 5 (kkX P； （2）

　　X P( 为 3 的倍数）＝712113 kk 例（886）

　　假设飞机在飞行中引擎不损坏的概率为 ) 1 0 ( p p ，且各引擎是否损坏相互独立，若有半以上的引擎正常运行，飞机就可以成功地飞行，问 p 值多大时，5 引擎飞机比3 引擎飞机更安全。

　　解

　　设 X 表示飞行中飞机引擎不损坏数，对 5 引擎机，可视为 5 重贝努利试验，对 3 引擎机，可视为 3 重贝努利试验，于是对 5 引擎机， X 的可能值为 0，1，2，3，4，5， {5 引擎机成功飞行}这一事件等价于 } 3 { X ，故 5 引擎机成功地飞行的概率为 5 4 452 3 35) 1 ( ) 1 () 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 3 (p p p C p p CX P X P x P X P 同理，3 引擎机成功地飞行的概率为

　　3 2 23) 1 ( ) 2 ( p p p C X P

　　故 5 引擎机比 3 引擎机更安全的充分条件 3 2 235 4 452 3 35) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( p p p C p p p C p p C ， 化简后得 0 ) 1 2 )( 1 ( p p

　　故得，当 2 / 1 p ，5 引擎机比 3 引擎机飞行更安全。

　　例（888）

　　某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80，10 和 10 件，现从中随机地抽取一件，记 其它等品 若抽到，）

　　， ， ＝ （ ， ，03 2 1 1 iZii 试求随机变量1Z 和2Z 的联合概率分布。

　　解 （1Z ，2Z ）为二维离散型随机变量，其可能取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），故 0 ) ( ) 1 , 1 (8 . 0 100 80 ) 0 , 1 (1 . 0 100 10 ) 1 , 0 (1 . 0 100 10) 0 , 0 () () () () (2 12 12 12 1＝ ＝＝ ／ ＝＝ ／ ＝＝ ／ ＝ ＝等品 该产品为一等品且为二该产品为一等品该产品为二等品（该产品为三等品）是二等品 该产品不是一等品且不 P P Z Z PP Z Z PP Z Z PPP Z Z P 例 设某班车起点站上的乘客数 X 服从参数为 ) 0 ( 的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 ) 1 0 ( p p ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车的人数，求二维随机变量 ) , ( Y X 的分布律。

　　解 , 2 , 1 , 0 , 0 ,!) 1 () ( ) | ( ) , ( n n mnep p Cn X P n X m Y P m Y n X Pn m n n mn 例

　　一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红、绿信号灯的路口，每个信号灯为“红或绿”与其它信号灯为“红或绿”相互独立，且红绿两种信号显示时间相等，以 X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求 X 的分布律。

　　解

　　此题是有限几何分布模型，求 X 的分布律。

　　818141211 ) 3 ( , ) 0 (2 , 1 ,2121121) (1 X P p X Pk k X Pk k 2．连续型随机变量的分布密度和分布函数 例（892）

　　设随机变量 X 的分布函数为 x Barctgx A x F , ) (

　　试求1o系数 A 与 B；2o ) 1 1 ( X P；3o X 的分布密度 解

　　1o由分布函数的性质 1 ) ( , 0 ) ( F F ，知 1 ) 2 (; 0 ) 2 (B AB A 解方程组得

　　 / 1 , 2 / 1 B A

　　即

　　 x arctgx x F ,121) (

　　21)4(1214121)) 1 (121( ) 1121( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( 2 arctg arctg F F X P 3o xxarctgx x F x f ,) 1 (1)121( ) ( ) (2 例（894）

　　设随机变量 X 在[2，5]上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率。

　　解

　　由条件知 X 的分布密度为

　　 其它 , 0; 5 2 , 3 / 1) (Xx f

　　令3 表示三次独立观测是中观测值大于 3 的次数，则3 服从 ) , 3 ( p B ，其中 p 为 533231) 3 ( dx X P p

　　故有

　　2720)32( )321 ( )32( ) 2 (3 332 23 3 C C p

　　例（20021）

　　设随机变量 X 服从正态分布 N（2, ），且二次方程 0 42 X y y 无实根的概率为本 1/2，则 ___ __________。

　　解

　　由二次方程 0 42 X y y 无实根的条件知

　　, 0 4 4 2 X

　　故

　　4 , 2 / 1 ) 0 4 ( , 2 / 1 ) 0 4 16 ( X P X P

　　例（896）

　　设随机变量 ) , ( Y X 的概率密度为 2 2 22 2 2 2 2, 0; ), () , (R y xR y x y x R cy x f

　　试求 1o系数 c；2o ) , ( Y X 落在圆 ) 0 (2 2 2R r r y x 内的概率。

　　解

　　3 32) () ( ) , ( 1 13 3302032 2 22 2sin , cos2 2 22 2 2R c Rc R cd d c cRdxdy y x c R cRdxdy y x R c dxdy y x fRR y xR y xy x 令 所以

　　33Rc

　　2o

　　设 , : ,2 2 2r y x y) (x D

　　 )321 (332) ( ) , (22 323 3RrRr rRr cdxdy y x R c D Y X PD 注

　　利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一区域内的概率，值得注意的是计算过程中，由于 ) , ( y x f 通常是分区域函数，故积分区域要特别小心，以免出错。

　　例（898）

　　考虑一元二次方程 02 C Bx x ，其中 C B, 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q 。

　　解

　　方程 02 C Bx x 有实根的充要条件是判别式 0 42 C B 或 4 /2B C ，由条件知，本枚骰子掷两次，其基本事件总数为 36，且 B 1 2 3 4 5 6 使 4 /2B C 的基本事件个数 0 1 2 4 6 6 使 4 /2B C 的基本事件个数 0 1 0 1 0 0 故使方程有实根的基本事件个数为 0＋1＋2＋4＋6＋6＝19 所以 36 / 19 p ，使方程有重根的充要条件是 C B 42 ，满足此条件的基本事件个数为 0＋1＋0＋1＋0＋0＝2 因此

　　18 / 1 36 / 2 q

　　例（900）

　　设随机变量 ) , ( Y X 均匀分布于以(1,0)，(0,1)，(－1,0)，(0,－1)四项点所构成的正方形中，求 X 与 Y 的边缘密度函数。

　　解

　　如图 3 其它 , 01 | | | | , 2 / 1) , (y xy x f

　　1o当 0 1 x － 时， 11121) , ( ) (xxXx dy dy y x f x f

　　当 1 0 x 时， 121) , ( ) (11 x dy dy y x f x fxxX 所以 其它 , 0; 1 1 |, | 1) (x xx f X

　　2o类似 1o可得 其它 , 01 1 |, | 1) (y yy f Y

　　例

　　设随机变量 X 的绝对值不大于 1； ;41} 1 { ,81} 1 { X P X P 在事件} 1 1 { X 出现的条件下，X 在（-1，1）内的任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比。

　　试求（1）

　　X 的分布函数 } { ) ( x X P x F ； （2）

　　X 取负值的的概率 p 。

　　解 （1）由条件知，当 1 x 时 ; 8 1 ) 1 ( ; 0 ( F x F ）

　　8541811 } 1 1 { X P 。

　　故在 } 1 1 { X 条件下，事件 } 1 { x X 的条件概率为

　　21} 1 1 1 { xX x X P

　　于是，对于 1 1 x ,有

　　 } 1 { x X P } 1 1 , 1 { X x X P

　　= } 1 1 1 { X x X P } 1 1 { X P=16) 1 ( 58521 x x;

　　167 5165 581} 1 ( ) 1 ( ) ( x xx X P X P x F

　　对于 1 x ,有 1 ) ( x F .从而 1 , 11 1 ,167 51 , 0) (xxxxx F

　　(2) X 取负值的的概率 167) 0 ( } 0 { ) 0 ( } 0 { F X P F X P p . 3．随机变量函数的分布 例

　　设随机变量1X ，2X 的概率分布为 2 / 1 2 / 11 0~ ,4 / 1 2 / 1 4 / 11 0 1~2 1X X

　　且 1 ) 0 (2 1 X X P ，求 ) , (2 1X X 的联合分布。

　　解

　　) , (2 1X X 为二维离散型随机变量，由条件 1 ) 0 (2 1 X X P 知 0 ) 0 (2 1 X X P

　　故

　　0 ) 1 , 1 ( ) 1 , 1 (2 1 2 1 X X P X X P

　　由联合分布与边缘分布的关系立得 0 ) 0 , 0 ( , 2 / 1 ) 1 , 0 (4 / 1 ) 0 , 1 ( ) 0 , 1 (2 1 2 12 1 2 1 X X P X X PX X P X X P 例（910）

　　设随机变量 X 在(0， 2 )内服从均匀分布，求随机变量 X Y cos 的分布密度。

　　解

　　由条件知 X 的分布密度为 其它 , 0, 2 0 , 2 / 1) ( xx f

　　由于函数 x y cos 在 ) 2 , 0 ( 内为分段单调函数，其反函数分别为 ) 1 , 1 ( ), , 0 ( ,11) 2 , ( , arccos 2 ), , 0 ( , arccos1212 2 1 1 y xyxx y x x y x ) 1 , 1 ( ), 2 , ( ,11222 y xyx

　　故

　　 其它 ， 0); 1 , 1 ( ,11| | ) arccos 2 ( | | ) (arccos ) (22 1yy x y f x y f y f Y

　　注

　　此题也可用分布函数法解。

　　（3）二维连续型随机变量函数的分布 例（916）

　　在 ) , 0 ( a 线段上任意抛两个点（抛掷二点的位置在 ) , 0 ( a 上独立地服从均匀分布），试求两点间距离的分布函数。

　　解

　　设抛掷两点的坐标分别为 X 和 Y (图 5)，则 X 与 Y 相互独立，且都服从 ）

　　（ a , 0 上的均匀分布，故 ) , ( Y X 的联合概率密度为 其它 , 0; 0 , 0 , / 1) , (2a y a x ay x f

　　记两点距离为 Z ，则 | | Y X Z 的分布函数为

　　) | (| ) ( z Y X P x F Z

　　当 0 z 时，显然 0 ) ( z F Z； 当 a z 0 时， z az az yz aZaz a zdy z y aadx dyaz Y X P z F02 20 02) 2 () (2121 ) | (| ) ( 当 a z 时， 1 ) ( z F Z

　　故两点距离 Z 的分布函数为 a aa zaz a zzz F X, 1; 0 ,) 2 (0 , 0) (2 例（918）

　　假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障时间都服从参数为 0 的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间 T 的概率分布。

　　解

　　设 ) 3 , 2 , 1 ( i X i 为第 i 个电子元件无故障工作的时间，则3 2 1, , X X X 是独立同分布的随机变量，其分布函数为 0 , 00 , 1) (xx ex Fx 记 ) (t G 为了 T 的分布函数，则 当 0 t ， 0 ) ( t G； 当 0 t 时， te t Ft X t X t X P t T P t T P t G 3 33 2 11 )] ( 1 [ 1) , , ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 所以

　　 0 , 00 , 1) (3tt et Gt 即电路正常工作时间 T 服从参数为 3 的指数分布。

　　例（920）

　　设随机变量 X 与 Y 独立同分布，其概率密度为

　　 其它 , 00 ,2) (2x ex fx 求随机变量2 2Y X Z 的概率密度。

　　解

　　由于 X 与 Y 独立同分布，故 ) , ( Y X 的联合概率密度为 其它 , 00 , 0 ,4) ( ) ( ) , () (2 2y x ey f x f y x fy xY X

　　当 0 z 时，显然 0 ) ( z F Z

　　当 0 z 时， 2 22 22 2 22 2144) , ( ) (020) (zzz y xz y xy xZe d e ddxd e dxdy y x f z F 故2 2Y X Z 的概率密度为 0 , 2; 0 , 0) ( ) (2z zezz F z fzZ （4）正态随机变量 例（923）

　　设 X 服从正态分布 ) 2 , 3 (2N ，则 ) 5 2 ( X P ＝

　　，) 7 2 ( X P ＝ ，若 ) ( ) ( c X P c X P ，则 c

　　。

　　解

　　记正态分布 ) , (2 N 的分布函数为 ) (x F ,标准正态分布 ) 1 , 0 ( N 的分布函数为 ) (x ,则 ) ( ) ( xx F

　　5328 . 0 )21( ) 1 ( )23 2( )23 5( ) 2 ( ) 5 ( ) 5 2 ( F F X P

　　)23( 5 . 0 ) ( ) ( ) ( 1 ) (9710 . 0 )212 ( ) 2 ( )23 2( )23 7( ) 2 ( ) 7 ( ) 7 2 ( cc X P c X P c X P c X PF F X P 由标准正态分布的对称性知， 3 023 cc 例（925）

　　设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态 ) 1 , 0 ( N 分布，求 Y X Z 2 的分布密度。

　　解

　　由正态随机变量的性质知 ) , ( ~2 N Z ，由于 5 2 ) 2 (, 0 2 ) 2 (2 2 DY DX Y X D DZEY EX Y X E EZ 故 ) 5 , 0 ( ~ N Z ，其概率密度为

　　 x e x fx,5 21) (10 /2`

　　第三章

　　随机变量的数字特征及极限定理 例题分析

　　一．随机变量的数字特征 1．一维随机变量的数字特征 解题步骤 1o正确写出随机变量 X 的分布律或分布密度； 2o利用定义计算 ) ( ), ( X D X E ，注意方差 DX 的简化公式2 2) (EX EX DX 的使用。

　　例（927）

　　一整数等可能地在 1 到 10 中取值，以 X 记除得尽这一整数的正整数的个数，求 DX EX, 。

　　解

　　记 ) (n d 表示除尽 ) 10 , 2 , 1 ( n n 的正整数的个数，则 4 ) 10 ( ) 8 ( ) 6 ( , 3 ) 9 ( ) 4 (2 ) 7 ( ) 5 ( ) 3 ( ) 2 ( , 1 ) 1 ( d d d d dd d d d d 故 X 的分布列为 103102104101) (4 3 2 1k X PX 所以 10011 ) (10831034102310421011102710341023104210112 22 2 2 2 2 EX EX DXEXEX 例（932）

　　将 n 个球放于 M 个盒子中，设每个球放于各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的数学期望和方差。

　　解

　　记随机变量

　　M i iiX i, , 2 , 1 , 0, 1 ， 个盒子中无球 第， 个盒子中至少有一个球 第 则iX 两两独立，且同分布 n nMiiMiiMiniMiin ni i ininininiMMMMM DX X D DXMMM EX X E EXMMMMEX EX DXMMEXMMEXMMX PMMX P)1( )1( 1 ) ()1( 1 ) ()1( )1( 1 ) ()1( 1 , )1( 1)1( ) 0 ( , )1( 1 ) 1 (1 11 12 22 例（936）

　　设随机变量 X 的概率密度为 其它 , 0; 1 0 ,) (2x c bx axx f

　　已知 15 . 0 5 . 0 DX EX ， ＝ ，求系数 c b a , , 。

　　解

　　1 ) ( , 1 ) (102 dx c bx ax dx x f

　　即

　　12131 c b a

　　（1）

　　又

　　 1025 . 0213141, ) ( ) ( c b a dx bx ax x dx x xf EX

　　（2）

　　4 . 0314151, 5 . 0 ) ( ) (102 2 2 2 2 c b a dx c bx ax x EX Ex DX

　　` （3）

　　解方程组(1)，(2)，(3)得

　　3 , 12 , 12 c b a

　　2．二维随机变量的数学特征 （1）解题步骤 1o计算 ) , ( Y X 关于 Y X, 的边缘分布密度； 2o利用公式计算数字特征XYDY EY DX EX , , , , 。

　　（2）注意 1o DY DX DY DX Y X DY Y X DXY 2 ) , cov( 2 ) (

　　2o若 Y X, 相互独立，则 EY EX XY E ) (； 若 X 与 Y 互不相关，则 DY DX Y X D ) (； 3o若 X 和 Y 独立，则 X 与 Y 互不相关；反之不成立，对正态随机变量 ) , ( Y X ，则 X 与 Y互不相关等价于 X 与 Y 相关独立。

　　4o相互独立正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量 例（942）

　　设二维随机变量 ) , ( Y X 在矩形 } 1 0 , 2 0 | ) , {( y x y x G 上服从均匀分布，记 Y XY XVY XY XU2 , 12 , 0,, 1, , 0若若若若 （i）求 ) , ( V U 的联合分布；（ii）求 U 与 V 的相关系数 r 。

　　解

　　) , ( V U 为二维离散型随机变量，其可能值为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）；由条件知) , ( Y X 的联合概率密度为 G y xG y xy x f) , ( , 0) , ( ,21) , (

　　（i）41) ( ) 2 , ( ) 0 , 0 ( Y X P Y X Y X P V U P

　　21) 1 , 1 ( ,41) 0 , 1 (0 ) ( ) 2 , ( ) 1 , 0 ( V U P V U PP Y X Y X P V U P （ii），由（i）知 2 / 1 2 / 11 0~4 / 3 4 / 11 0~ V U

　　4 / 1 , 2 / 1 , 16 / 3 , 4 / 3 DV EV DU EU

　　2 / 1 2 / 1 1 1 4 / 1 0 . 1 0 1 0 4 / 1 0 0 ) ( UV E

　　33,) , cov ( ) , cov( DV DVV Ur EUEV UV E V U

　　例 (938)

　　设 5 . 0 , 9 , 4 , 4 , 2 XYDY DX EY EX ， 1 o 试 求3 2 32 2 Y XY X Z 的数学期望；2o 5 3 Y X W 的方差。

　　分析

　　此题条件中没有给出有关随机变量 Y X, 的分布信息，故其函数 Z 与 W 的数学特征只能运用性质来计算。

　　解

　　68 3 ] ) ( [ ] ) )( [( 2 ] ) ( [ 33 ) ( 2 3 12 22 2 EY DY DY DX EY EX EX DXEY XY E EX EZXY2o 63 6 45) , cov( 6 9 4 9 ) , 3 cov( 2 9 DY DXY X Y X DY DX DWXY 3．随机变量函数的数字特征 计算公式

　　一维随机变量 X 函数 ) (X g Y 的数字特征的计算公式 ii ix X P x g EY ) ( ) ( 或 dx x f x g EYX) ( ) (

　　2 2) (EY EY DY

　　二维随机变量 ) , ( Y X 的函数 ) , ( Y X g Z 的数字特征的计算公式 ji iii iy Y x X P y x g EZ ) , ( ) , (

　　或

　　dxdy y x f y x g EZ ) , ( ) , ( ， 2 2) (EZ EZ DZ

　　例

　　已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为1 22 1) ( x xe x f，则 X 的数字期望为

　　；方差为

　　。

　　解

　　此题简单解法是利用正态分布的均值与方差已知直接写出，即把 ) (x f 变形为标准型，从而有 2 / 1 , 1 DY EX 。

　　例（947）

　　一零件的横截面是圆，对截面的直径进行测量，设其直径服从区间[0，2]上的均匀分布，则横截面积的数学期望为

　　，而面积的方差为

　　。

　　分析

　　此题是计算均匀分布随机变量函数的期望与方差，由公式得 454)3(5) (5 2116) ( )4(,3 214) (42222 2202422222022 ES ES DSdx x dx x fxESdx x dx x fxES 解

　　分别填3和4542。

　　例（948）

　　设随机变量 | | ), 1 , 0 ( ~ X Y N X ，求 Y 的概率密度及 DY EY, 。

　　解

　　此题计算 Y 的期望与2EY 时可直接用公式

　　 21 )22( 1 ) (1 0 1 ) ( | |;2222| | | |2 2 22 2 2 222 EY EY DYEX DX EX X E EYdx e x X E EYx 例（954）

　　假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周 5 个工作日里无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元；发生二次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元，求一周内期望利润是多少？

　　分析

　　若以 X 表示一周 5 天内机器发生故障的天数， Y 表示一周利润，则 Y 为 X 的函数，故问题化为求随机变量 Y 的数学期望。

　　解

　　由条件知 ) 2 . 0 , 5 ( ~ B X ，即 5 , , 1 , 0 , 8 . 0 2 . 0 } {55 k C k X Pk k k 3 , 2; 2 , 0; 1 , 5; 0 , 10) (XXXXX g Y

　　) ( 216 . 5 057 . 0 2 410 . 0 5 328 . 0 10}] 5 { } 4 { } 3 { [ 2} 2 { 0 } 1 { 5 } 0 { 10} { ) ( ) (50万元 X P X P X PX P X P X Pk X P k g X Eg EYk 三．大数定律和中心极限定理 1）

　　用切比雪夫不等式来估计事件的概率及试验次数 n 。

　　要点1o合理选择随机变量 X；2o求出 DX EX,；3o根据题意利用切比雪夫不等式进行计算。

　　例（960）

　　已知随机变量 X 的数学期望 100 EX ，方差 10 DX ，试用切比雪夫不等式估计 X 落在（80，120）内的概率。

　　解

　　由切比雪夫不等式 975 . 020101 ) 20 | 100 (| ) 120 80 (2 X P X P

　　例(964)

　　在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75，利用切比雪夫不等式求1o在 1000次独立试验中，事件 A 发生的次数在 700－800 之间的概率；2o n 为多大时才能保证在 n 次重复独立试验中事件 A 出现的频率在 0.74－0.76 之间的概率至少为 0.90。

　　解

　　1o设 X 表示在 1000 次独立试验中事件 A 发生的次数，则 ) 75 . 0 , 1000 ( B X ，且 5 . 187 ) 1 ( 750 p np DX np EX

　　将事件 } 800 700 { x 化成切比雪夫不等式中的标准形式 } | {| EX X ，得 } 50 | {| } 750 800 750 750 700 { } 800 700 { EX X X X

　　在切比雪夫不等式中取 50 ，则有 9925 . 0 075 . 0 125005 . 1871501 } 50 | {| } 800 700 {2 DXEX X P X P 2o因事件 A 出现的频率为 n X / ，故将事件 } 76 . 0 / 74 . 0 { n X 化成标准形式} | {| EX X

　　} 01 . 0 | {|} 01 . 0 01 . 0 {} 75 . 0 76 . 0 75 . 0 75 . 0 74 . 0 {} 76 . 0 74 . 0 { } 76 . 0 74 . 0 {n EX Xn EX X nn n n X n nn X nnX ) 1875 . 0 , 75 . 0 ( n DX n EX

　　在切比雪夫不等式中取 n 01 . 0 ，则有

　　n nnnDXn EX X PnXP18751) 01 . 0 (1875 . 01) 01 . 0 (1 } 01 . 0 | {| } 76 . 0 74 . 0 {22 由题意取 90 . 018751 n可解得 18750 n ，即至少做 18750 次重复独立试验，可使事件 A 出现的频率在 0.74 至 0.76 之间的概率至少为 0.90。

　　例(961)

　　设 X 为连续型随机变量， c 为常数， 0 ，求证 | |} | {|c X Ec X P

　　分析

　　此类概率不等式的证明，一般考虑用切比雪夫不等式或直接从定义用类似切比雪夫不等式的方法来证。

　　证

　　设 X 的密度函数为 ) (x f ，则 | |) ( } | {|c xdx x f c X P

　　| |1) ( | |1) (| |) (| || |c X E dx x f c xdx x fc xdx x fc xc x

　　2）中心极限定理的应用 1）

　　求总和nS 落在某区间内的概率。

　　例

　　一加法器同时收到 20 个噪声电压 ) 20 , , 2 , 1 ( , i V i ，设它们是相互独立且都服从区间（0，10）上的均匀分布，求总和噪声电压超过计划 105（伏）的概率。

　　解 记201 iiV V ，因20 2 1, , , V V V 是相互独立且都服从（0，10）上的均匀分布，且 20 , , 2 , 1 ,12100) ( , 5 ) ( i V D V Ei i i

　　由独立同分布中心极限定理知 ),3500, 100 ( )1210020 , 5 20 (201N N V Vnii 故

　　. 3483 . 0 ) 39 . 0 ( 1)3 / 500100 105( 1 ) 105 ( 1 ) 105 ( V P V P 例（963）

　　一个复杂的系统，由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间。每个部件损坏的概率为 0.1，为使整个系统起作用，至少需要 85 个部件工作，求整个系统工作的概率。

　　解

　　设 X 表示整个系统中处于工作状态的部件数，由题设 X 服从 ) 9 . 0 , 100 ( B ，由德莫佛－拉普拉斯定理

　　977 . 0 ) 2 (1 . 0 9 . 0 1009 . 0 100 8411 . 0 9 . 0 1009 . 0 100 841 . 0 9 . 0 1009 . 0 1001) 84 ( 1 ) 85 ( XPX P X P 即系统工作的概率为 0.977。

　　例 （ 965 ）

　　假 设nX X X , . ,2 1 是 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本； 已 知), 4 , 3 , 2 , 1 ( k EXkk 证明当 n 充分大时，随机变量 nii nXnZ121 近似服从正态分布，并指出其分布参数。

　　分析

　　此题主要考查考生对中心极限定理的理解与运用。

　　解

　　依题意知nX X X , , ,2 1 独立同分布，从而其函数2 2221, , ,nX X X 也是独立同分布，且 ) (1 1)1(,1, ) ( ,22 41221221222 42 2 4 222 2 nDXnXnD DZEXnEZEX EX DX EX EXniinii nnii ni i i i 由中心极限定理 nZUnn/ ) (22 42

　　的极限分布为标准正态分布，即当 n 充分大时，nZ 近似地服从参数为 ) , (22 42n 的正态分布。

　　2）

　　已知nS 取值概率，求最小的 n。

　　例 某电视机厂每月生产一万台电视机，但它的显像管车间的正品率为 0.8，为了以 0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，问该车间每月应生产多少只显像管？ 解 设该车间每月应生产 n 只显像管，这 n 只显像管中正品的只数为 X ，则) 8 . 0 , ( ~ n B X 。本题即求满足 997 . 0 ) 10000 ( X P

　　的最小的 n 。由徳莫佛-拉普拉斯定理中心极限定理知， X 近似服从

　　) 16 . 0 , 8 . 0 ( ) 2 . 0 8 . 0 , 8 . 0 ( n n N n n N

　　于是 997 . 0 )4 . 08 . 0 10000( 1)]16 . 08 . 0 0( )16 . 08 . 0 10000( [ 1) 10000 0 ( 1 ) 10000 ( nnnnnnX P X P

　　即

　　997 . 0 )4 . 010000 8 . 0( nn 查表可得 75 . 24 . 010000 8 . 0nn，解之得 58 . 12654 n ，取 12655 n 即克满足要求。

　　第四章

　　数理统计初步 例题分析

　　1．选择题 例

　　设 ) , ( ~2 N X ， 已知，2 未知， ) , , (3 2 1X