南通市2011高三第一次调研数学试卷及答案x

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试卷

A.必做题部分

一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分?请把答案填写在答题卡相应的位置上..

TOC \o "1-5" \h \z 已知集合 M={ — 1 , 1}, N ={x|1 < 2x W 4}，则 mDN= ▲ .

2 .已知射手甲射击一次，命中 9环以上(含9环)的概率为0.5,命中8环的概率为0.2，命中7环

S— 0For I from 1 to 10 S ：— SEnd for

S— 0

For I from 1 to 10 S ：— S

End for

Print S

End

的概率为 ▲ .

设(1,2i)Z=3-4i (i 为虚数单位)，则 |z|= ▲ .

根据右图的算法，输出的结果是 ▲ .

某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法 (第4题)

抽取一个容量为200的样本.已知女生抽了 85人，则该校的男生数应是 ▲ 人.

若’X2 -2x-3 0 ”是’X：：：a ”的必要不充分条件，则 a的最大值为 ▲ .

设a, b为空间的两条直线，a, B为空间的两个平面，给出下列命题：

(1 )若 a// a, a// 3 贝U all B； (2)若 a丄 a, a_L 贝U all B；

(3)若 a // a, b // a,贝U a // b; (4)若 a丄 a, b丄 a,贝U a // b.

上述命题中，所有真命题的序号是 ▲ .

2 2

&双曲线 —-y 1上一点M到它的右焦点的距离是 3,则点M的横坐标是 ▲ .

4 12

函数f x =sin「x ■ 3cos x R，又f(:J -_2 , f - = 0，且：「卩的最小值等于寸，则正 数?■的值为 ▲.

若圆C: (x -h)2 (y -1)2 =1在不等式x y 1 > 0所表示的平面区域内，则 h的最小值

为 ▲

在平面直角坐标系 xOy中，已知 A (0, — 1) , B (— 3, — 4)两点，若点 C在.AOB的平分线

上，且OC =寸10，则点C的坐标是 ▲ .

1

已知函数f(x) x3 x2 (2a -1)x a2 -a 1，若f (x) =0在(1, 3］上有解，则实数a的取值范

3

围为 ▲

13 .已知 f (x) =x2,g(x)=(丄)x - m,若对 一“〔-1,3 1, Tx?，b,2 1, f (x,) > g(x?)，则实数 m 的取

2

值范围是 ▲

14?已知等腰三角形腰上的中线长为 3，则该三角形的面积的最大值是 ▲ .

二、解答题：本大题共 6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.

(本题满分14分)

已知向量 a, b 满足 |a|=2, |b|=1, |a— b|=2.

求a b的值；

求 |a+ b|的值.

(本题满分14分)

如图，已知□ ABCD，直线BC丄平面 ABE, F为CE的中点.

求证：直线AE//平面BDF ;

若.AEB =90'，求证：平面 BDF丄平面 BCE.

(本题满分15分)

如图，某市准备在道路 EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段 FBC，该曲线

段是函数y =Asin(?，x ?当 A 0^ 0 , x 1-4,0」时的图象，且图象的最高点为 B (— 1 ,2)。

赛道的中间部分为长? 3千米的直线跑道 CD ,且CD// EF。赛道的后一部分是以 0为圆心的一段

圆弧DE .

(1 )求的值和.DOE的大小；

（JK nV）(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE区域内建一个“矩形

（JK nV）

草坪”，矩形的一边在道路 EF 上, 一个顶点在半径 OD 上,

另外一个顶点P在圆弧DE上，且.POE -「求当“矩形 草坪”的面积取最大值时 二的值.

(本题满分15分)

2 2

如图，已知椭圆C：x y 1的左、右顶点分别为 A、B，右焦点为F，直线I为椭圆的右准线,

16 12

N为I上一动点，且在x轴上方，直线 AN与椭圆交于点 M .

若AM=MN，求/ AMB的余弦值；

设过A, F , N三点的圆与y轴交于P, Q两点，当

线段PQ的中点坐标为(0, 9)时，求这个圆的方程.

(本题满分16分)

设f(x)是定义在［一1,1］上的奇函数，函数g(x)与f(x)的图象关于

设f(x)是定义在［一1,1］上的奇函数，函数

g(x) = In x「ax2.

求函数f (x)的解析式；

若对于区间 0,1 ］上任意的x，都有|f(x)|_1成立，求实数a的取值范围.

(本题满分16分)

已知数列:an ［为各项均为正的等比数列，其公比为 q.

当q =-时，在数列:a/?中：

2

最多有几项在1?100之间？

最多有几项是1?100之间的整数？

当q> 1时，在数列 角/中，最多有几项是100?1000之间的整数?

(参考数据：Ig3=0.477 , Ig2=0.301).

B ?附加题部分

【选做题】本题包括A , B, C, D共4小题，请从这4题中选做2小题。每小题10分，共20分.请

在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

A .选修4— 1:几何证明选讲

(第21-A题)锐角三角形 ABC内接于O O, / ABC=60 , / BAC=40，作0E丄

(第21-A题)

交劣弧AB于点E,连接EC,求/ OEC.

曲线Ci： x2 2y^1在矩阵m

曲线Ci： x2 2y^1在矩阵mJ1

0

的作用下变换为曲线

求C2的方程.

C.选修4 — 4:坐标系与参数方程

x =1 _cos ' x = 1 _2t

P为曲线G : .一 (二为参数)上一点，求它到直线 C2: (t为参数)距离

|y =si n y = 2

的最小值.

D .选修4— 5:不等式选讲

设 N *，求证：-.C 120, 9 : 40这三个时刻随机发出，且在 9 : 00发出的概率为",9 :

1

20, 9 : 40这三个时刻随机发出，且在 9 : 00发出的概率为",9 : 20发出的概率为1, 9 : 40发出

【必做题】本题满分 10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

用数学归纳法证明：

1 2 3 2 3 4 川 n (n 1) (n 2) =n(n 1)(n 2)(n 3) (n N*).

4

【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在 8 : 00, 8 : 20, 8 : 40这三个时刻随机发出，且在

111

8 : 00发出的概率为1, 8 : 20发出的概率为1, 8 : 40发出的概率为匚；第二班客车在 9 : 00, 9 :

4 2 4

2

2

1

的概率为4?两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计 8： 10到站?求:

(1 )请预测旅客乘到第一班客车的概率；

旅客候车时间的分布列；

旅客候车时间的数学期望.

南通市2011届高三第一次调研测试

数学参考答案

A.必做题部分、填空题:

A.

必做题部分

、

填空题:

本大题共

14小题，每小题5分

，共70分.

1.

{1}

2. 0.2

3. z = .5

4. 55 5. 690

6.

&

5

9. 1

10. .2-2

11

2

12.

-7 < a <1

1

13. m > -

14. 2

4

、

解答题:

本大题共

6小题，共90分.

15.(本题满分14分)

-1

.C -1,-3

7. (2), (4)

解: (1)由

解: (1)由 |a— b|=2,得 |a— b|2=a2-2abF2=4?1-2 ab=4 , /

(2) |a + b|2 二a2 2ab b^4 2 1 ^6 , ? |a + b| .

14分

16.(本题满分

16.(本题满分14分)

证明：(1)设ACQBD = G,连接FG .

由四边形ABCD为平行四边形，得 G是AC的中点.

又 F是EC中点，在厶 ACE中，FG// AE.

?/ AE 平面 BFD , FG?平面 BFD , ? AE //平面 BFD ;

n

(2) ^AEB AE _ BE .

6565

65

65

又直线 BC丄平面ABE , AE_BC ?

TOC \o "1-5" \h \z 又BCdBE=B，?直线AE _平面BCE ? 8分

由(1)知，FG // AE，?直线 FG _ 平面 BCE ? 10 分

又直线FG 平面DBF，?平面DBF丄平面BCE ? 14分

17.(本题满分15分)

解：(1)由条件，得A =2 , I =3

4

..十 2冗^ n

-T ，… ?

o 6

n 2 n

?曲线段FBC的解析式为y =2sin( —x -—) ?

6 3

当 x=0 时，y =0C = 3 .又 CD= 3 , . COD =n,即.DOE =n.

4 4

(2)由(1),可知 OD = ?

又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点 P在弧DE上，故OP==6 ? 8分

设.POE =二,0「w二 “矩形草坪”的面积为

4

S =、6sin V .6 cos t1 - 6sin v - 6 sinvcosv-sin2?1

111^ = 6(—sin2二 一cos2v =3.2sin(2= n) -3 ? 13 分

2 2 2 4

?- 0 ：：： n，故当2二时，二=上时，S取得最大值. 15分

4 4 2 8

18.(本题满分15分)

解：(1)由已知， A(4,0), B(4,0), F(2,0)，直线 l 的方程为 x=8 ?

设 N (8, t) (t>0),因为 AM = MN，所以 M (4, - )?

2

由M在椭圆上，得t=6 .故所求的点 M的坐标为M (4, 3).

所以MA =(

所以

MA =(-6, -3),MB =(2, -3),

cos AMB 二冲B 3 _

|MA ||MB | <36+9 #4+9

(用余弦定理也可求得)

(2)设圆的方程为x2 y2 Dx Ey F =0，将A, F, N三点坐标代入，得

1

116 —4D F =0, D =2,

?

? f (x)的值域为［a,；)与|f(x)|_1矛盾. 11分

19.724 2D F ^0, 二 E - -t ,I 2 | t64 +t +8D +Et +F =0, 『

19.

72

4 2D F ^0, 二 E - -t ,

I 2 | t

64 +t +8D +Et +F =0, 『__8

T 圆方程为 x2 y2 2x -(t 千乃-8 = 0，令 X = 0，得 y2 -(t ￥)y - 8 = 0 .…11 分

72 72、2

t+〒土J(t+〒)+32 设 P(0,y1),Q(0,y2)，则 ％、二一t t

2

由线段PQ的中点坐标为(0, 9),得yt +y2 =18 , t +空=18 .

t

此时所求圆的方程为 x2亠y2亠2x-18y -8=0 .

(本题用韦达定理也可解)

(2)(法二)由圆过点 A、F得圆心横坐标为一1,由圆与y轴交点的纵坐标为(0,

得圆心的纵坐标为 9,故圆心坐标为(一1 , 9).

易求得圆的半径为310 ,

所以，所求圆的方程为 (x 1)2 (y -9)2 =90 .

(本题满分

16分)

15分

11分

13分

15分

解: (1) g(x)的图象与f (x)的图象关于

解: (1)

f (x)的图象上任意一点 P(x, y)关于y轴对称的对称点 Q(-x, y)在g(x)的图象上.

当 x

当 x ?[―1,0)时，—x (0,1],

r r 2

则 f(x) =g(-x) =1 n( -x) -ax .

?/ f(x)

?/ f(x)为上的奇函数,

则 f(0) =0 .

当 x (0,1]

当 x (0,1]时，-x [-1,0),

f (x) = -f (_x) = _ln x ax2.

x ：：0),ln( -x) -ax2 (_1 w ?- f (x)

x ：：0),

I 2

-ln x ax (0 ：： x w 1).

(1)由已知,f (x)

(1)

由已知,

f (x)二—丄 2ax .

x

①若f (x) w 0在0,1 1恒成立，则

此时，a w丄，f (x)在(0,1］上单调递减，

2

(0,1],时,f (x) ：：;0 , f (x)单调递减,当x,1]时，

(0,1],

时,

f (x) ：：;0 , f (x)单调递减,

当x

,1]时，f(x) .0, f(x)单调递增,

f(X)min = f

-- In

a

2 Jin(2a) 1 .

2 2

1 1

②当 a 时，令 f(x) 2ax =0= x =

2 x

1 1 e

15分由 | f (x) 1，得一 ln(2 a) > 1 二 a

15分

2

16分综上所述，实数a的取值范围为a>e

16分

2

(本题满分16分)

解：(1)①不妨设a1 > 1,设数列\a^有n项在1和100之间，则a1(|)

解：(1)①不妨设a1 > 1,

设数列\a^有n项在1

和100之间，则

a1

(|)nl W 100.

3

所以，(?)

n-W100.

两边同取对数，得

(n — 1)

(lg3 — lg2)

< 2.解之，得 nW 12.37.

故n的最大值为12,

即数列

中，最多有12项在1和100之间.

②不妨设1 w a—：： a1

3

a1

2

(3)2 — a1 (-)nl w 100,其中 a1 , a1 3 ,

2 2 2

a1 g)2，…,

a1 (|)nl

n」

均为整数，所以 a1为2 的倍数.所以3 W 100，所以nW 5.

又因为16, 24, 36, 54, 81是满足题设要求的 5项.

10分所以，当q = 3时，最多有5项是1和100

10分

2

(2)设等比数列 1aq2?满足 100w a ：：：aq :::…：:：aqn」< 1000,

其中a,

其中a, aq,…，aqn1均为整数,

n，N ,q 1，显然，q必为有理数.

11分

设 q= 1, t >s> 1, t 与 s 互质,

s

因为aqnA=a(-)nA为整数，所以

s

a是sn‘的倍数.

12分

令t=s+1，于是数列满足 100 W av a ? v…v a ?(■

s

s +1

如果 s> 3,贝y 1000> a ? )2 >( q+1) n— 1 >4n— 1，所以 nW 5.

s

如果 s=1，则 1000> a -2n4 > 100 -2n^，所以，n w 4.

TOC \o "1-5" \h \z 如果 s=2，贝U 1000> a -（3）n- > 100?（？严，所以 n< 6. 13 分

2 2

另一方面，数列 128, 192, 288, 432, 648, 972满足题设条件的 6个数，

所以，当q > 1时，最多有6项是100至U 1000之间的整数. 16分

B ?附加题部分

【选做题】每小题 10分?共20分.

A ?选修4— 1:几何证明选讲

解： 连 OC . / ABC=60，/ BAC=40 ,二 / ACB=80 . 4 分

0E丄AB,「. E为AB的中点， BE和BC的度数均为 80 .

/ EOC=80 +80 =160 . 8 分

? / OEC=10 . 10 分

B .选修4— 2:矩阵与变换

解：设P（x,y）为曲线C2上任意一点，P （x , y ）为曲线x2 4xy 2y2 =1上与P对应的点，

则；2Y+F，即广 M+2y：n#）x-2y, 5 分

|[0 1. [y . |ly . y=y, .y

P是曲线C1上的点，? C2的方程（x-2y）2 ? y2 =1 . 10分

C.选修4 — 4:坐标系与参数方程

解：将曲线 G化成普通方程是（x-1）2 y^1，圆心是（1, 0）,

直线C2化成普通方程是 y -2 =0，则圆心到直线的距离为 2. 5分

?曲线G上点到直线的距离为 1,该点为（1, 1）. 10分

D .选修4— 5:不等式选讲

证明：由柯西不等式，得

（? C：：；哮C： ?山? C： ）2 < （1 1 ? "（C： ? C： ? |卄? C：） 5 分

=n（（什 1 L 4： ： 4 2.

山.C：』, ：（2~1） . 10 分

【必做题】本题满分 10分.

证明：（1 ）当n=1时，左边=1 2 3=6，右边=——2——3_ =6 =左边，

等式成立.

等式成立. 2分

(2)设当n二k(k ? N*)时，等式成立，

即 1 2 3 2 3 4 k (k 1) (k 2) =k(k—2)(k―3) . 4 分

4

则当n =k 1时，

左边=1 2 3 2 3 4 ((I k (k 1) (k 2) (k 1)(k 2)(k 3)

」(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)

4

丄 x i k 丄 (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

TOC \o "1-5" \h \z =(k 1)(k 2)(k 3)( 1)二

4 4

(k 1)(k 1 1)(k 1 2)(k 13)

— 4 .

? n =k 1时，等式成立. 8分

10分由（1）、（ 2）可知，原等式对于任意 N*成立.

10分

【必做题】本题满分 10分.

解：（1）第一班若在8 : 20或8 : 40发出，则旅客能乘到，其概率为

1 1 3

P=2+4=4

（2）旅客候车时间的分布列为:

答：这旅客候车时间的数学期望是 30

答：这旅客候车时间的数学期望是 30分钟.

9分

10分

候车时间(分)

10

30

50

70

90

概率

1

1

1 1

-X-

1 1

-X-

1 1

-X-

2

4

4 4

4 2

4 4

(3 )候车时间的数学期望为

10X1 + 30x - + 50冷 + 70x1+ 90 x ￡

2 4 16 8 16

15 25 35 45

=5 + 亍+ 25+35+ ?=30-