2020高考数学--统计与概率专题强化训练x

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【 2020 高考数学】 统计与概率专题强化训练

汽车尾气中含有一氧化碳 (CO)，碳氢化合物 (HC) 等污染物，是环境污染的主要因素之一， 汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象， 所以国家根据机动车使用 和安全技术、 排放检验状况， 对达到报废标准的机动车实施强制报废． 某环保组织为了解公 众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了 100 人，所得数据制成如下列联表：

3

若从这 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为 5，问是否有 95%

的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？

不了解了解

不了解

了解

总计

女性

a

b

50

男性

15

35

50

总计

p

q

100

该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数据，并 制成如图 7 所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过 15 年，可近似认为排放的尾气

n( ad－bc)2 c＋d)( a＋ c)中 CO 浓度

n( ad－bc)2 c＋d)( a＋ c)

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附： K2＝

a＋b)

b＋d)(n＝a＋b＋ c＋d)

n

xi yi nxy

参考公式：

用最小二乘法求线性回归方程系数公式： b? i 1n ，a? y b?x .

n 2 2 x1 nx

某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛， 经过初赛、 复赛，甲、 乙两个代表队 （每队 3人）进入了决赛， 规定每人回答一个问题，

3 答对为本队赢得 10分，答错得 0分，假设甲队中每人答对的概率均为 3 ，乙队中 3人

4

432

答对的概率分別为 4,3,2 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示乙队的

543

总得分．

（ 1）求 的分布列；

（ 2）求甲、乙两队总得分之和等于 30分且甲队获胜的概率．

某单位从一所学校招收某类特殊人才，对 20 位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和

逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

逻辑思维能力 运动协调能力

一般

良好

优秀

一般

2

2

1

良好

4

b

1

优秀

1

3

a

例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 4 人．由于部分数据丢失， 只知 道从这 20 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学

2

生的概率为 ．

5

（1）求 a ， b 的值．

（2）从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维 能力优秀的学生的概率．

（3）从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生 人数为 ，求随机变量 的分布列．

英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词： 每周五对一周内所学单词随

机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）

（1）英语老师随机抽了 4 个单词进行检测，求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概率；

（2）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 4 ，对前两天所学过的单词每个

5

3

能默写对的概率为 3 ，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写

5

对的单词的个数 的分布列和期望。

世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配

收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场 .为了解大学生每年旅游消费支出（单位：

百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的 1000 名学生进行问卷调查，并把所得数据列

成如下所示的频数分布表：

组别

[0,20)

[20,40)

[40,60)

[60,80)

[80,100)

频数

2

250

450

290

8

（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；

（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出 X服从正态分布 N （51,15 2） ，若 该所大学共有学生 65000 人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上； （Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在 [80,100]范围内的 8名学生中有 5名女生， 3名男生，

现想选其中

3 名学生回访，

记选出的男生人数为

Y，

求 Y 的分布列与数学期望

附：

若X:

N( ,

2），则

P(

X

)

0.6826 ，

P(

2

X

2)

0.9544 ，

P( 3

X 3 ) 0.9973.

PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值， 即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为 一级；在 35微克/立方米～ 75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以

空气质量为超标 某市环保局从市区 2017 年全年每天的 PM2.5 监测数据中，随机抽取 15 天的数据作为 标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） .

（ 1）从这 15 天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；

（2）从这 15天的数据中任取 3天的数据， 记 表示其中空气质量达到一级的天数， 求

的分布列；

（3）以这 15天的 PM2.5 的日均值来估计一年的空气质量情况 （一年按 360天来计算）， 则一年中大约有多少天的空气质量达到一级 .

某大型商场今年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行 统计得到下表：

消费金额 （单位：元 ）

购物单张数

25

25

30

由于工作人员失误， 后两栏数据无法辨识， 但当时记录表明， 根据以上数据绘制成的频 率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等 .用频率估计概率，完

成下列问题：

（1）估计今年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率； （2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元 者，可抽奖一次 .抽奖规则为：从装有大小、材质完全相同的个红球和个黑球的不透明 口袋中， 随机摸出个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值， 当时， 消费者可分 别获得价值元、元和元的购物券，求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望

【 2020 高考数学】 统计与概率专题强化训练

汽车尾气中含有一氧化碳 (CO)，碳氢化合物 (HC) 等污染物，是环境污染的主要因素之一， 汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象， 所以国家根据机动车使用 和安全技术、 排放检验状况， 对达到报废标准的机动车实施强制报废． 某环保组织为了解公 众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了 100 人，所得数据制成如下列联表：

3

(1)若从这 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为 5，问是否有 95%

的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？

不了解了解总计女性ab50男性153550总计pq100(3) 该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数据，并 制成如图

不了解

了解

总计

女性

a

b

50

男性

15

35

50

总计

p

q

100

(3) 该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数据，并 制成如图 7 所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过 15 年，可近似认为排放的尾气

中 CO 浓度 y%与使用年限 t 线性相关， 试确定 y关于 t 的回归方程， 并预测该型号的汽车使 用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的多少倍．

n( ad－bc)2 c＋d)( a＋ c)

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附： K2＝

a＋b)

b＋d)(n＝a＋b＋ c＋d)

xi yi nxy

参考公式：

用最小二乘法求线性回归方程系数公式： b? i 1n ，a? y b?x .

n 2 2 x1 nx

n

i1

解析】 (1)设“从 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件 A，

由已知得 P(A)＝ ＝3，所以 a＝ 25，b＝25，p＝ 40，q＝ 60.

100 5

K2 的观测值 k＝

100×（ 25× 35－ 25×15）

40×60× 50×50

2

≈ 4.167>3.841

故有 95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”

11

(2)由折线图中所给数据计算，得 t＝5×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝5×(0.2＋0.2＋ 0.4＋0.6＋

0.7）＝0.42，

故b^＝2.8＝0.07，^a＝ 0.42－0.07×6＝ 0, 所以所求回归方程为 ^y＝0.07t.

40

故预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度为 0.84%，因为使用 4 年排放尾气中 的 CO 浓度为 0.2%，所以预测该型号的汽车使用 12年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4年的 4.2倍.

某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，

经过初赛、 复赛，甲、 乙两个代表队 （每队 3人）进入了决赛， 规定每人回答一个问题， 3

答对为本队赢得 10分，答错得 0分，假设甲队中每人答对的概率均为 3 ，乙队中 3人 4

432

答对的概率分別为 4,3,2 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示乙队的

543

总得分．

1）求 的分布列；

2）求甲、乙两队总得分之和等于 30分且甲队获胜的概率．

解析】（ 1）由题意知， 的可能取值为 0， 10，20， 30，

432

因为乙队 3 人答对的概率分别为 , , ，

543

所以 P（

所以 P（

0)

(1

54)

(1

34)

(1

P(

10)

4

5

(1

34)

(1

23)

(1

4

3

2

4

P(

20)

(1

)

(1

)

5

4

3

5

4

3

2

2

P(

30)

5

4

3

5

所以

的分布列为

2)

1

3)

60

4

3

2

4

3

2

3，

)

(1

)

(1

)

(1

)

，

5

4

3

5

4

3

20

3

2

4

3

2

13 ，

(1

)

4

3

5

4

3

30

92 3 2

9

2 3 2

1

3

， P(B)

C3 ( )

1280

4

4

20

又 P(A) (43)3 610

0”，B表示 “甲队得分等于 20，乙队

81

1280

0

10

20

30

1

3

13

2

P

60

20

30

5

2）设 A 表示 “甲队得分等于 30，乙队得分等于

得分等于 10 ”，易知 A， B互斥，

所 以 甲 、 乙 两 队 总 得 分 之 和 等 于 30 分 且甲 队 获 胜 的 概 率 为

334895

33

48

95

逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

逻辑思维能力 运动协调能力

一般

良好

优秀

一般

2

2

1

良好

4

b

1

优秀

1

3

a

90P(A B) P(A) P(B) 1280某单位从一所学校招收某类特殊人才，对

90

P(A B) P(A) P(B) 1280

某单位从一所学校招收某类特殊人才，对

128

20 位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和

例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 4 人．由于部分数据丢失， 只知 道从这 20 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学

2

生的概率为 2 ．

5

（1）求 a ， b 的值．

（2）从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维 能力优秀的学生的概率．

（3）从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生 人数为 ，求随机变量 的分布列．

解析】（1）设事件 A：从 20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力

优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 （6 a） 人．

则 P（A） 6 a 2 ．解得 a 2．所以 b 4．

20 5

（2）设事件 B：从 20人中任意抽取 2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的 学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有 8 人．

则 P(B) 1 P(B) 162

则 P(B) 1 P(B) 1

62

95

3） 的可能取值为 0，1， 2．

20 位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 8 人．

所以 P( 0)C122C

所以 P( 0)

C122

C220 95， P(

1) CC1222C0 8

20

P(

2)

C82 14

C220 95

意可得 P AC63C6

意可得 P A

C63C61 C64 3

C142 11

2

1 2 2

5 5 125

P

1

14

1

2

1

2

3

19 ，

C2

5

5

5

5

5

125

P

2

2

4

2

1

4

1

3

56

C2

，P

5

5

5

5

5

125

2）由题意可得

ξ可取 0，1， 2，3，则有 P

2

4

3

48

3

5

5

125

所以 的分布列为

0

1

2

P

33

48

14

95

95

95

33 48 14 76 4

所以， E 0 1 2 ．

95 95 95 95 5

英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词： 每周五对一周内所学单词随 机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）

1）英语老师随机抽了 4 个单词进行检测，求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概率；

（2）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 4 ，对前两天所学过的单词每个

5

3

能默写对的概率为 3 ，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写

5

对的单词的个数 的分布列和期望。

A，则由题解析】（1）设英语老师抽到的 4 个单词中， 至少含有 3

A，则由题

所以 的分布列为：

0

1

2

3

2

19

56

48

P

125

125

125

125

故 E 0 2 1 19 2 56 3 48 11

125 125 125 125 5

世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配

收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场 .为了解大学生每年旅游消费支出（单位：

百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的 1000 名学生进行问卷调查，并把所得数据列 成如下所示的频数分布表：

组别

[0,20)

[20,40)

[40,60)

[60,80)

[80,100)

频数

2

250

450

290

8

Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；

Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出 X服从正态分布 N （51,15 2） ，若

该所大学共有学生 65000 人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；

Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在 [80,100]范围内的 8名学生中有 5名女生， 3名男生，

现想选其中3 名学生回访，记选出的男生人数为Y，求 Y 的分布列与数学期望 .附：若

现想选其中

3 名学生回访，记选出的男生人数为

Y，求 Y 的分布列与数学期望 .

附：若 X :

N( , 2) ，则 P(

) 0.6826 ，

P( 2

2 ) 0.9544 ， P(

) 0.9973.

2【解析】（Ⅰ）设样本的中位数为 x

2

【解析】（Ⅰ）设样本的中位数为 x ，则 2 1000 解得 x 51 ，所得样本中位数为 5100.

250 450

1000 1000

(x 40) 0.5 ，

20

51，15，2 81 ，旅游费用支出在8100元以上的概率为

51，

15，

2 81 ，

旅游费用支出在

8100元以上的概率为 P（x

2)

1 P( 2

2 ) 1 0.9544

0.0228 ，

0.0228 65000 1482，

估计有 1482位同学旅游费用支出在8100元以上 .Ⅲ）Y 的可能取值为 0

估计有 1482位同学旅游费用支出在

8100元以上 .

Ⅲ）

Y 的可能取值为 0，1， 2，

3，

P(Y

0) CC53 258， P(Y 1) C83 28

C8

CC3C835

15 ，

28，

P(Y2) C

P(Y

2) CC3 C3 5 1556， P(Y 3) CC33

C83 56 C83

1

28，

Y0123P515151282828

Y

0

1

2

3

P

5

15

15

1

28

28

28

56

∴Y 的分布列为

5

1

15

2

15

1

EY

28

28

56

56

PM2.5

PM2.5

PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国

3

3

标准采用世卫组织设定的最宽限值， 即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为 一级；在 35微克/立方米～ 75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以

上空气质量为超标 .

某市环保局从市区 2017 年全年每天的 PM2.5 监测数据中，随机抽取 15 天的数据作为 标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） .

1）从这 15 天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；

2）从这 15天的数据中任取 3天的数据， 记 表示其中空气质量达到一级的天数， 求

的分布列；

3）以这 15 天的 PM2.5 的日均值来估计一年的空气质量情况 （一年按 360 天来计算），

则一年中大约有多少天的空气质量达到一级

解析】（ 1）设 B 这天空气质量为一级， （2） N 15，M 5，

解析】（ 1）设 B 这天空气质量为一级， （2） N 15，M 5，n 3 ，

的可能取值为 0， 1，2，3， 则 P

PB

15

k 3 k

k C5C310 k 0,1,2,3 .

C15

0

1

2

3

24

45

20

2

P

91

91

91

91

分布列为：

5

1

（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为

1

一年中空气质量达到一级的天数为 , 则 : B 360,

15

360 1 120 （天）

3

故一年中平均有 120 天的空气质量达到一级

某大型商场今年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行

统计得到下表：

消费金额 （单位：元 ）

购物单张数

25

25

30

由于工作人员失误， 后两栏数据无法辨识， 但当时记录表明， 根据以上数据绘制成的频 率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等 .用频率估计概率，完

成下列问题：

（1）估计今年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率；

（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元 者，可抽奖一次 .抽奖规则为：从装有大小、材质完全相同的个红球和个黑球的不透明 口袋中， 随机摸出个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值， 当时， 消费者可分 别获得价值元、元和元的购物券，求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望

解析】（ 1）因消费额在区间的频率为，故中位数估计值为 设所求概率为，而消费额在的概率为 .

故消费额在区间内的概率为 .

因此消费额的平均值可估计为 .令其与中位数相等，解得

故单笔消费额超过元的概率为 0.05.

2）根据题意，得 P X 4C5 4C5 1

2）根据题意，得 P X 4

C5 4C5 1 ， P X 2

C140 21

C15C35 C35C15

C140

10

21

C25C

C140

10 .设抽奖顾客获得的购物券价值为，则的分布列为

21

4

2

0

500

200

100

2

5

故 E Y 500 1 200 10 100 10 500 （元 ）.

21 21 21 3