前黄高级中学2008届高三调研数学试卷x
时间：2020-11-24 20:22:53 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
江苏省前黄高级中学 2008届高三调研数学试卷
命题人：孙东升
审核人：张国良
注意：本试卷分必考和选考两部分 .必考内容满分160分，答卷时间120分钟；选考内容满分 40分，
答卷时间30分钟.
第I部分必考内容
（满分160分，答卷时间120分钟）
一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分?不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位 置上.
TOC \o "1-5" \h \z 设集合 M xx 1 0 , N x|x| 2，若 u R，则 euM I N 等于 .
若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于 .
掷一个骰子的试验，事件 A表示“小于5的偶数点出现”，事件 B表示“小于5的点数出现”，则事件
A B发生的概率为 .
已知x, y的取值如下表：
从散点图分析，y
从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为
0.95x a，贝y a
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
cos(25.若(,0),
cos(2
5.若
2
cm）,
cm）,可得这个
3
几何体的体积是 cm .
首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差 d的取值范围是
已知a,b是两条不重合的直线， ,,是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题:
①若a , a ,②若
①若a , a ,
②若
，则//
③若// ,a ,b
,则a//b；
④若//
a,
b,则 a// b
其中正确命题的序号有
yi ( i
yi ( i为虚数单位)，则| z
9.已知实数x, y满足条件
uur uuu _ uuu uuu
10.已知 |OA| 1,|OB| T^OAOB 0,点 c 在 AOB 内，且 AOC 450
2i 1的最小值是
uuu uu uuu
，设 OC mOA nOB，其中
m，n R，则n等于
11.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在0,1上有意义，且
11.某同学准备用反证法证明如下一个问题:
函数
f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1) ,如果对于不同的
为必0，1，都有
f(Xi) f(X2)
12.无论k取何值时，方程
x2 5x
Xi
X2
，求证:
f(X1) f(X2) 2?那么他的反设应该是
k X a的相异实根个数总是 2，则a的取值范围为
(本小题满分12分)下面的茎叶图是某班在一次测验时的成绩，伪代码用来同时统计女生、男生及全 班成绩的平均分?试回答下列问题：
在伪代码中，“ k=0”的含义是什么？横线①处应填什么？
执行伪代码，输出 S, T, A的值分别是多少？
请分析该班男、女生的学习情况.
17.(本小题满分12分)已知函数f(x)m n,其中m (sin x cos x「3cos x),
n (cos x sin x,2sin x),其中 0,若f(x)相邻两对称轴间的距离大于等于 2
求的取值范围；
⑵ 在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a 3,b c 3,当 最大时，f(A) 1求 ABC的面积
2 x
18.（本小题满分16分）已知直线y X 1与椭圆a2
2
卑 1(a b 0)
b
相交于A、B两点，且线段AB的
中点在直线I : x 2y 0上.
（1）求此椭圆的离心率；
2 2
（2）若椭圆的右焦点关于直线 I的对称点在圆x y
4上
求此椭圆的方程?
19.（本小题满分18分）设三次函数f（x） ax'
x m处的切线的斜率为 3a.
2
bx cx d（a b c）在x 1处取得极值，其图象在
0
b 1
（1）求证：
a；
（2）若函数y
f（x）在区间［s,t］上单调递增，求
|s 11的取值范围；
⑶问是否存在实数k（ k是与a,b,c,d无关的常数），当x k时，恒有f（x）3a 0恒成立？若存在,
试求出k的最小值；若不存在，请说明理由
20.(本小题满分20
20.
(本小题满分20分)设数列 an满足：a1 1
且当 n N 时 an an(1 an 1) 1 an 1
比较务与K 1的大小，并证明你的结论;
bn若(12n
bn
若
(1
2
n
~2~ an 1 an
an \ 1 )-
，其中
0
n N，求证：
n
bk 2.
k 1
第n部分加试内容
(满分40分，答卷时间30分钟)
一、解答题：本大题共 2小题，每小题10分，共20分?解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中选做一题 .设4名考生
丄
选做这两题的可能性均为 2 .
其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；
设这4名考生中选做第15题的学生数为 X，求X的分布列及数学期望.
(3
(3)求直线I : x y 1 0在矩阵M作用下所得到的直线 「的方程.
(3
(3)求直线I : x y 1 0在矩阵M作用下所得到的直线 「的方程.
如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，已知AB= 4 , AD =3 , AAi= 2. E、F分别是线段 AB、BC上的点, 且 EB= FB=1．
求直线ECi与FDi所成角的余弦值；
求二面角C-DE-Ci的平面角的正切值.
、解答题：本大题共 2 小题，每小题 10分，共 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3.已知二阶矩阵M
3.已知二阶矩阵M有特征值
e1
8 及对应的一个特征向量
1
1，并且矩阵 M对应的变换将点(1,2)变换
成( 2,4).
1 )求矩阵 M；
(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量 e2的坐标之间的关系;
2
4.在平面直角坐标系xOy中，直线I与抛物线y 4x相交于不同的a，b两点.
uuu uurr
(1 )如果直线I过抛物线的焦点，求 OA 0B的值；
uuu uuu
(2)如果 °A OB
4,证明直线1必过一定点，并求出该定点
江苏省前黄高级中学 2008届高三调研
数学试卷参考答案
72 2
72 2
1.( 2,1) 2. 2 3. 3 4.2.6 5.
11.
“ N，x2
0,1 使得 I f(x1)f(X2)| x2 且 f(X1)
1
2 ” 12.(1,4)13.6 14.9
(12.图 13.作 AH l,BKl,则 AH 12, BF bk,因 BC 2BK ,故 AC 2AH , FC 12
(12.图 13.作 AH l,BK
(1)取AB的中点G则易证得 AG// DF.
又正方形A ABB中，E、G分别是相应边的中点,
AG丄AE 二 DF丄AE
(2)由正方体可知： AD丄面AABB,「. AiD±AE .
又由(1)已证：DF丄AE
AiDn DF= D,「. AE!平面 AFD .
又AE 平面AED二平面 AEDL平面 AFD .
(1)全班32名学生中，有15名女生，17名男生.在伪代码中，根据“ S-S/15 , T-T/17 ”可以推知, “ k=1 ”和“ k=0”分别代表男生和女生； S, T, A分别代表女生、男生及全班成绩的平均分；横线①处
应填“(S+T) /32 ”.
女生、男生及全班成绩的平均分分别为 S=78, T=76.88 , A~ 77.4.
15名女生成绩的平均分为 78, 17名男生成绩的平均分为 77.88 .从中可以看出女生成绩比较集中，
整体水平稍高于男生；男生中的高分段比女生高，低分段比女生多，相比较男生两极分化比较严重.
ur17. (1) f(x) mn eos2 x sin2 x 2 3eos x sin xeos2 x』3sin 2 x2sin(2 x 6)20 函数f(x)的周期T由题意可知解得
ur
17. (1) f(x) m
n eos2 x sin2 x 2 3eos x sin x
eos2 x』3sin 2 x
2sin(2 x 6)
2
0 函数f(x)的周期T
由题意可知
解得0
1,即
的取值范围是｛ | 0
1}
(2)由(I)
可知
的最大值为1,
f(x)
2si n(2x
Q f (A) 1
1
sin(2A 6)2.而 e
2A
13
6
2A
eosA
由余弦定理知
.2 2 2
b e a
2be
b2
be
3.
联立解
1
S abc besin A
2
18. (1 )设A B两点的坐标分别为
根据韦达定理，得
x1 x2
A(x1,y1), B(x2,y2)则由
y
2 x
2 a
2a2
—2, % y2 (x1 X2) 2
a b
x
y2
b2
1,
2b2
Ti，
a b
得(a"
■ 2、 2 2
b )x 2a x
a2b2
1
1
1
1
2 a
.线段AB的中点坐标为(a b
b2
a b ).
2
a
由已知得a b
2 2 o/ 2 2 x
a 2b 2(a c ),
2 2
a 2c .
故椭圆的离心率为
(2)由(1 )知 b
c,从而椭圆的右焦点坐标为 F(b，0),
设F(b,°)关于直线
l : x 2y
Xo
3 口
X0 5b且 y0
0的对称点为
已 知 得
3
x y0 4, (5b)
4
才)4,b
4
，故所求的椭圆方程为 8 4
19.(1)方法一:
f (x) 3ax2 2bx
c.由题设，得
f (1)
3a 2b c
2
f (m) 3am 2bm c
3a
?/ a b c,
6a 3a 2b c 6c,
a 0,c
由①代入②得
2
3am 2bm 2b 0
4b2
24ab
b
(一)
得a
6b
b
0,-
a
3a
2b代入a
c中,
由③、
④得
方法二： a
6a 3a
2b
6c, /
0,c
同上可得
3a 2b c 0,
2
3m a 2bm 3a
0.
(1)
⑵
为3a
—2b— c代入
(2 )可得
2
小 m c
2 b
m m 1
2
m c
-~~\2 3
(m )-
4
所以
3a 2b c 0, (1)
方法三：同上可得
2
3m a 2bm 3a c 0- (2)将(1 )变为 c 3a 2b 代入(2)可得
b 3m2
2 —
3am 2b（m 1） 0，显然 m 1,所以 a 2（1 m）.
' 2
因为f（X） 3ax 2bx c图象的开口向下，且有一根为 X1=1,
cX
c
Xi X2 一
由韦达定理得 3a
x2 — 0 X-i
3a
c 2
3m
f (m)3a°,所以
f (m)
3a
°,所以
1，则
2(1 m)
b
1
0
b 1
由a
b c得a
,所以
a .
⑵
由（1）知,
f'(x)
3ax2
2
2bx c 的判别式△ =4b 12ac 0
1
方程 f (x)
2
3ax
2bx
c 0有两个不等的实根X1,X2 ,
X1 1,X2
1, X2 0 X-i3a又 f'(1) 3a 2b c 0...当 x x
1, X2 0 X-i
3a
又 f'(1) 3a 2b c 0
...当 x x2 或 X X1 时，f(X)
0；当 X2
X1时,
f (x)
函数y
f （X）的单调增区间是
[X1,X2]
|X1
X2 |
2 2b
3a
1 知 2 1X1 切
函数y
f（x）在区间［s，t］上单调递增,
[S,t]
[X1,X2]
2 |s
t|
f (x) 3a
8
3，即1 s t|的取值范围是
2
0，即 3ax 2bx c 3a
[2 8)
0, x2
2b
3a
2b
3a
1X
1
X
3 或 3 .（自注：视为
a的一次函数）
3x2 2x 2 0
x2 0 ? x
，…
1.
1. (1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事
由题意，得"，)(
1]U[ 7 1
存在实数k满足条件，即
k的最小值为
20. ( 1)由于
3 2 ,
an an(1 a. J
an
an 1
an
3 2
an an 1
-2
an
an
2
an
1
(2)由于
而an 1
bn
n
bk
k 1
n
bk
k 1
0
从而
an
~~2
an
an
3
an
2
an
(an
A
2
an
an 1 an
(1
2
an
2
an 1
1
)-
an
an
2
an
an ?
2
an
2 an
anL
a1
则bn
n
bk
k 1
bi
b2
bn 0
;
(1
2
an
2
an 1
1
)-
an
2(4 1 an)
anan 1
1 1
2[( )
a〔 a2
bi
an
b2 L
且31
2
an
2
anan 1
2』
an
bn
an 1
2(0：
(an
an )(an 1 an )
2
anan
an
1 (an 1
2~
anan 1
an)
)
an 1
n
C bk
，故 an 1 0, ? k 1
丄)]
an 1
因此
n
bk 2
k 1
n
bk 2.
k 1
选做部分
件为“ AB AB ” ,且事件A、B相互独立.
― _ 1
... P(AB AB) P(A)P(B) P(A)P(B) = 2
1
:B(4-) (2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4.且 2 .
P( k) C：(-)k(1 丄厂 C：C)4 (k 0,123,4)
2 2 2
所以变量的分布列为:
0
1
2
3
4
P
1
1
3
1
1
16
4
8
4
16
1
1
3
1
1
1
E
0 —
1 -
2
-3
4 2 E
np 4 2
16
4
8
4
16 .(或
2 )
uuu
uuir
uuir
2.以A为原点，ab,AD,aa分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系 A-xyz，则有
D(0,
3, 0)、D1(0, 3, 2)、E(3,
0, 0)
、F(4, 1, 0)、
C1(4, 3, 2)
.
uuu uuiu
uiur
于是
DE (3, 3,0), EC1 (1,3,2)
fd1
(4,2,2).
uuuu uuuu
cos
EGgFD]
1 uuuu uuLu
II 1 (
4)
3 2 2 2
|
.21
(1)
设EC1与FD1所成角为，贝U
WWW
IEC1I IFD1
I1 1 12 32
22
.(4)2 22 22
14
(2)设向量n (x,y,z)与平面C1DE垂直，则有
uur
n DE 3x 3y 0 1
uiun x y z
n EC1 x 3y 2z 0 2
i,z);(
i,z)
;(1,1,2),
其中z> 0.
取no=(-1 , -1 , 2)，贝U no是一个与平面 GDE垂直的向量.
uuu
向量
AA1 =( 0,0，
2)与平面
CDE!直，
uuu
no与
AA所成的角
B为二面角
C- DE C的平面角.
uLur
1 0 2 2 6
cos
n°gAA unr
1 0
tan号
|n0 | |AA |
1 1
4 0 0 4 3
?
a
b
a
b
1
1
8 a
b
8,
3. (1)
设M=
c
d
，则c
d
1 =8
1 =
8，故c
d
8.
a
b
1
2
a
2b
2,
c
d
2
=
4，故
c
2d
4.
6 2
联立以上两方程组解得(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f()(26)( 4) 8 10 16，故其另一个特征值为设矩阵M的另一个特征向量是 e2x 6x 2yy
联立以上两方程组解得
(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f()(
2
6)( 4) 8 10 16，故其另一个特征值为
设矩阵M的另一个特征向量是 e2
x 6x 2y
y，则 M e2= 4x 4y
y，解得2x
(3)设点(x,y)是直线1上的任一点，其在矩阵
m的变换下对应的点的坐标为 °,y)，则
1 '
1 '
3 '
y ,y
X
y
8
4
8 ,
y' 2 0,即
y' 2 0,即 x y 2 0
4 4 y = y ,即 x 4x
代入直线1的方程后并化简得X
4. ( 1)抛物线焦点为(1，0).
2
设l : x ty 1代入抛物线y 4x,消去x得
y2 4ty 4 0,设A(X1, yd B(X2, y2),
TOC \o "1-5" \h \z 则 y1 y2 4t,y』2 4,
urn uud 2
OA OB X1X2 ym (ty2 1)(ty2 1) ym t 仙 t(% y?) 1 yy
\o "Current Document" 2 2
=4t 4t 1 4 3.
(2)设l : x ty b代入抛物线y 4x消去x，得y 4ty 4b 0 设A(Xi, %), B(X2, y2),则 yi+y2=4t ,y iy2= — 4b.
uuur uuur 2 2
QOA OB xix2 yiy2 (tyi b)(ty2 b) yiy2 t2yiy2 bt(yi y2) b2 yiy2
= 4bt2 4bt2 b2 4b b2 4b.
令 b2 4b 4，b2 4b 4 0, b 2 直线 | 过定点(2 , o).
2
13.过抛物线y 2px(P °)的焦点F的直线交抛物线于点A,B，交其准线于点C ( B在FC之间)，且
BC 2BF , AF 12，则 p 的值为
1
0v t v— f (t)—
14.设 2 , a是大于0的常数， cost 1 cost的最小值是16,则a的值等于
二、解答题：本大题共 6小题，共90分?解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(本小题满分 12分)在正方体 ABCDA1BCD中，E、F分别是BB、CD的中点.
求证：AE! DF;
证明平面AEDL平面AFD.
2 6.640+80 n 7.(3,3] 8.①④ 9.弓 10.丘
