2013-2014学年北京市人大附中八年级(下)期末数学试卷.（23页）
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2013-2014 学年北京市人大附中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）
1．（ 3 分）（ 2014
春?海淀区校级期末）下列各式中正确的是（
）
A．=±4 B．
=﹣2 C．
=﹣ 2
D．=3
2．（ 3 分）（ 2011?上海）下列二次根式中，最简二次根式是（
）
A ．
B．
C．
D ．
3．（ 3 分）（ 2014
春?海淀区校级期末）下列图形中不是中心对称图形的是（
）
A ．等边三角形
B．矩形 C ．菱形 D ．圆
4．（ 3 分）（ 2014
春?海淀区校级期末）下列说法正确的个数是（
）
① 平行四边形的邻边相等；
② 矩形的两条对角线长相等；
③ 菱形的对角线互相垂直；
④ 等腰梯形同一底上的两个角相等．
A ． 4
B． 3
C． 2
D． 1
2﹣2ax+8=0 的一个根，则 a 的值为
5．（ 3 分）（ 2014
春?海淀区校级期末）若 x= ﹣ 2 是方程 x
（
）
A ． 1
B．﹣ 1 C．3
D．﹣ 3
6．（ 3 分）（2002?四川）如果最简根式
和
是同类二次根式，那么
a、b 的
值可以是（
）
A ． a=0， b=2 B ．a=2， b=0 C ． a=﹣ 1， b=1
D． a=1，b=﹣ 2
7．（ 3 分）（ 2014
春?海淀区校级期末）方程
x（x﹣ 2） =2（ 2﹣ x）的根为（
）
A ． x=﹣ 2
B ．x=2 C． x =x =2
D． x
=2， x =﹣ 2
1
2
1
2
8．（ 3 分）（2015 秋 ?济宁校级期末） 用配方法解方程 x
2﹣ x﹣ 1=0 时，应将其变形为 （
）
2
2
C．（ x
2
2
A ．（ x﹣ ）
=
B．（ x+ ） =
﹣ ） =0 D．（ x
﹣ ） =
9．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，矩形
OABC 的顶点 A 在 x 轴
上，点 C 在 y 轴上，把矩形
OABC 绕着原点顺时针旋转
90°得到矩形 OA ′B′C′，若 OA=2 ，
OC=4，则点 B ′的坐标为（
）
A ．（ 2， 4） B ．（﹣ 2， 4） C．（4， 2） D．（ 2，﹣ 4）
10．（ 3 分）（ 2014 春 ?福清市校级期末）如图，在平面直角坐标系中， △ ABC 和 △DEF 为等
边三角形， AB=DE ，点 B，C，D 在 x 轴上，点 A ，E，F 在 y 轴上，下面判断正确的是 （ ）
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A ． △DEF 是 △ ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°得到的
B． △ DEF 是 △ ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°得到的
C． △ DEF 是 △ ABC 绕点 O 顺时针旋转 60°得到的
D． △DEF 是 △ ABC 绕点 O 顺时针旋转 120°得到的
11．（ 3 分）（ 2014 春 ?海淀区校级期末） 如图，△ABC 中，AD 是∠ BAC 内的一条射线， BE ⊥AD ，
且△ CHM 可由 △ BEM 旋转而得，延长 CH 交 AD 于 F，则下列结论错误的是（ ）
A ． BM=CM B ．FM= EH C ． CF⊥ AD
D．FM ⊥BC
12．（ 3 分）（ 2014?濮阳二模）已知反比例函数
的图象如图，则一元二次方程x
2﹣
（2k ﹣ 1） x+k 2﹣ 1=0 根的情况是（
）
A ．有两个不等实根
B ．有两个相等实根
C．没有实根 D ．无法确定
二、填空题（每小题
3 分，共 30 分）
13．（ 3
分）（ 2014
春?海淀区校级期末）计算：
﹣ 2 =
．
14．（ 3
分）（ 2014
春?海淀区校级期末）点
A 的坐标为（ 2，﹣ 3），它关于坐标原点
O 对称
的点的坐标为
．
15．（ 3
分）（ 2011?随州）如图：点 A 在双曲线
上， AB 丄 x 轴于 B ，且 △ AOB 的面积
S△AOB =2，则 k=
．
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16．（ 3 分）（ 2014 春 ?海淀区校级期末） 已知
+
=y+4 ，则 3x﹣ 2y=
．
17．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）已知方程
2
x +（ m﹣ 2） x+ （ n+3） =0 的两根分别是
﹣2、﹣ 3，则 m﹣ n=
．
18．（3 分）（ 2014?沈阳校级模拟）若
+x ﹣ 3=0 是关于 x 的一元二次方程，
则 m 的值是
．
19．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）直线
y=2x+1 与双曲线 y=
有一个交点为（
1， 3），
则它们的另一个交点为
．
20．（ 3 分）（ 2011 秋 ?东丰县期末） 将直角边为 12cm 的等腰三角形
ABC 绕点 A 顺时针旋转
15°后得到 △ AB ′C′，那么图中阴影部分面积是
cm
2．
21．（ 3 分）（ 2012?大兴区二模）已知： 如图，互相全等的平行四边形按一定的规律排列．其
中，第 ① 个图形中有 1 个平行四边形， 第 ② 个图形中一共有 5 个平行四边形， 第 ③ 个图形
中一共有 11 个平行四边形，第 ④ 个图形中一共有 个平行四边形， ，第 n 个
图形中一共有平行四边形的个数为 个．
22．（3 分）（ 2014 春 ?海淀区校级期末）如图， Rt△ABC 中，已知∠ C=90 °，∠ B=48 °，点 D
在边 BC 上， BD=2CD ，把 Rt△ ABC 绕点 D 逆时针旋转 m（ 0°＜ m＜ 180°）度后，如果点 B
恰好落在初始 Rt △ ABC 的边上，那么 m= ．
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三、解答题（共 34 分）
23．（ 6 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）计算：
（1）（ + ）+（ ﹣ ）；
2
（2）（3 ﹣2 ） ．
24．（ 6 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）解方程：
1） 2x2+2x﹣ 1=0 （公式法）；
（2）（
2
2
．
2x﹣1） =（ 3﹣ x）
25．（ 3 分）（2014 春 ?海淀区校级期末）如图，在
10×6 的正方形网格中，每个小正方形的边
长均为单位 1，将 △ ABC 向右平移 5 个单位，得到 △ A′B′C′，再把 △ A ′B′C′绕点 A ′顺时针旋转 90°，得到 △A ″B ″C″，请你画出 △A ′B′C′和 △ A ″B ″C″（不要求写画法） ．
26．（4 分）（ 2011?朝阳区二模）如图，要建一个面积为 40 平方米的矩形花园 ABCD ，为了
节约材料，花园的一边 AD 靠着原有的一面墙，墙长为 8 米（ AD ＜ 8），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为 24 米，求花园一边 AB 的长．
27．（ 4 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E、F 分别在
边 BC、 CD 上，且∠ EAF=45 °，求 △ CEF 的周长．
28．（5 分）（ 2014 春 ?海淀区校级期末）已知关于
2
2
x 的方程 x ﹣ 2
x+（ a+1） =0 有实根．
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（1）求 a 的值；
2
m 的值．
（2）若关于 x 的方程 mx +（ 2﹣ m） x﹣ a﹣ 1=0 的所有根均为整数，求整数
29．（ 6 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）两个矩形如图
1 摆放在直线 MN
上， AD=EH=1 ，
CD=DE=EF=2 ，将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转角
α，同时将矩形 EFGH 绕点 E 逆时针旋
转角 α，其中 0°＜ α＜ 90°．
（1）如图
2，当点 C 和 F 重合时， α=
；
（2）如图
3，当两个矩形的重叠部分为正方形时，
α=
，重叠部分的面积
S=
；
（3）如图
4，当旋转到点
B 与点 G 重合时，设 DC 与 EF 交于 P，BP 的延长线交 DE 于 Q，
线段 BQ 与 DE 的关系是
，利用你的结论（不用证明）
，计算两个矩形重叠部
分的面积．
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2013-2014 学年北京市人大附中八年级（下）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）
1．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）下列各式中正确的是（ ）
A． =±4 B． =﹣2 C． =﹣2 D． =3
【考点】 算术平方根．
【分析】 根据算术平方根的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】 解： A 、 =4，故本选项错误；
B、 =2 ，故本选项错误；
C、 无意义，故本选项错误；
D、 =3 ，故本选项正确．
故选 D．
【点评】 本题考查了算术平方根，熟记概念是解题的关键．
2．（ 3 分）（ 2011?上海）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】 最简二次根式．
【分析】 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法， 就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】 解： A 、 = ，被开方数含分母，不是最简二次根式；故 A 选项错误；
B、 = ，被开方数为小数，不是最简二次根式；故 B 选项错误；
C、 ，是最简二次根式；故 C 选项正确；
D. =5 ，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故 D 选项错误；
故选 C．
【点评】 此题主要考查了最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义， 最简二次根式必
须满足两个条件： （ 1）被开方数不含分母； （ 2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A ．等边三角形 B．矩形 C ．菱形 D ．圆
【考点】 中心对称图形．
【分析】 根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．
【解答】 解： A 、不是中心对称图形．故选项正确；
B、是中心对称图形．故选项错误；
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C、是中心对称图形．故选项错误；
D、是中心对称图形．故选项错误．
故选 A．
【点评】 本题考查了中心对称图形的概念， 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合．
4．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）下列说法正确的个数是（ ）
① 平行四边形的邻边相等；
② 矩形的两条对角线长相等；
③ 菱形的对角线互相垂直；
④ 等腰梯形同一底上的两个角相等．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】 平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；等腰梯形的性质．
【分析】 分别利用平行四边形的性质以及矩形、菱形、等腰梯形的性质判断得出即可．
【解答】 解： ① 平行四边形的邻边不相等，原来的说法是错误的；
② 矩形的两条对角线长相等，正确；
③ 菱形的对角线互相垂直，正确；
④ 等腰梯形同一底上的两个角相等，正确．
故选： B．
【点评】 此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形、菱形、 等腰梯形的性质等知识， 正确掌握相关性质是解题关键．
5．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）若
x= ﹣ 2 是方程 x
2﹣2ax+8=0 的一个根，则 a 的值为
（
）
A ． 1
B．﹣ 1 C．3
D．﹣ 3
【考点】 一元二次方程的解．
【分析】 把 x 的值代入已知方程，列出关于
a 的一元一次方程，通过解一元一次方程来求a
的值．
（﹣ 2） 2﹣ 2×（﹣ 2） a+8=0
【解答】 解：依题意得
解得 a=﹣ 3．
故选： D．
【点评】 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
一元二次方程的根就是一元二
次方程的解， 就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
即用这个数代替未知数所得式子
仍然成立．
6．（ 3 分）（2002?四川）如果最简根式 和 是同类二次根式，那么 a、b 的
值可以是（ ）
A ． a=0， b=2 B ．a=2， b=0 C ． a=﹣ 1， b=1 D． a=1，b=﹣ 2 【考点】 同类二次根式．
【分析】 根据同类二次根式的定义，列方程组求解．
【解答】 解：∵ 和 是同类二次根式
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∴ ，解得，
故选 A．
【点评】 此题主要考查同类二次根式的定义： 化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
7．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）方程 x（x﹣ 2） =2（ 2﹣ x）的根为（ ）
A ． x=﹣ 2 B ．x=2 C． x1=x 2=2 D． x1=2， x2=﹣ 2
【考点】 解一元二次方程 -因式分解法．
【分析】 先把 2﹣ x 化为﹣） x﹣ 2），再移项，提公因式，根据连个因式相乘为 0，可得出每
一个因式为 0，即可得出答案．
【解答】 解：移项，得 x（ x﹣ 2）﹣ 2（ 2﹣ x） =0，
提公因式，得（ x﹣ 2）（ x+2 ）=0，
x﹣ 2=0 ，x+2=0 ，
解得 x1=2，x2=﹣ 2，
故选 D．
【点评】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．
8．（ 3 分）（2015 秋 ?济宁校级期末） 用配方法解方程
x
2﹣ x﹣ 1=0 时，应将其变形为 （
）
2
2
2
2
A ．（ x﹣ ） =
B．（ x+ ） =
C．（ x﹣ ）
=0
D．（ x﹣ ） =
【考点】 解一元二次方程 -配方法．
【分析】 本题要求用配方法解一元二次方程， 首先将常数项移到等号的右侧， 将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】 解：∵ x2﹣ x﹣ 1=0，
x2﹣ x=1 ，
x2﹣ x+ =1+ ，
∴（ x﹣ ） 2= ．
故选 D．
【点评】 配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为 1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍
数．
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9．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴
上，点 C 在 y 轴上，把矩形 OABC 绕着原点顺时针旋转 90°得到矩形 OA ′B′C′，若 OA=2 ，
OC=4，则点 B ′的坐标为（ ）
A．（2，4） B．（﹣ 2， 4）
C．（4， 2）
D．（ 2，﹣ 4）
【考点】 坐标与图形变化 -旋转．
【分析】 旋转 90°后 OC 落在 x 轴上， OA 在 y 轴上，得到 OA ′，OC′的长度可得第一象限内
B′的坐标．
【解答】 解：∵ OABC 是矩形，将矩形 OABC 绕原点 O 按顺时针方向旋转 90°得到矩形
OA ′B′C′，
OC=4， OA=2 ．
∴OA ′=2， OC′=4，
∴B ′坐标为（ 4， 2）．
故选： C．
【点评】 本题考查了由图形旋转得到相应坐标； 注意横纵坐标数值的变化及象限内点的符号特点．
10．（ 3 分）（ 2014 春 ?福清市校级期末）如图，在平面直角坐标系中， △ ABC 和 △DEF 为等
边三角形， AB=DE ，点 B，C，D 在 x 轴上，点 A ，E，F 在 y 轴上，下面判断正确的是 （ ）
A．△DEF 是△ABC B．△DEF 是△ABC C．△DEF 是△ABC D． △DEF 是 △ ABC
绕点 O 顺时针旋转 90°得到的
绕点 O 逆时针旋转 90°得到的
绕点 O 顺时针旋转 60°得到的
绕点 O 顺时针旋转 120°得到的
【考点】 旋转的性质；坐标与图形性质．
【分析】 根据 △ ABC 和△ DEF 为等边三角形， AB=DE ，得出 △ABC ≌△ DEF ，由点 B，C，
D 在 x 轴上，点 A ， E， F 在 y 轴上得出 A 与 D 是对应点，进而得出 △ DEF 与 △ ABC 位置关系．
【解答】 解：∵△ ABC 和 △DEF 为等边三角形， AB=DE ，
∴△ ABC ≌△ DEF ，
∵点 B ，C， D 在 x 轴上，点 A ， E， F 在 y 轴上得出 A 与 D 是对应点，
∴△ DEF 是 △ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°得到的，
故选： A．
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【点评】 此题主要考查了旋转的性质，利用已知得出 A 与 D 是对应点进而得出答案是解题
关键．
11．（ 3 分）（ 2014 春 ?海淀区校级期末） 如图，△ABC 中，AD 是∠ BAC 内的一条射线， BE ⊥AD ，
且△ CHM 可由 △ BEM 旋转而得，延长 CH 交 AD 于 F，则下列结论错误的是（ ）
A ． BM=CM B ．FM= EH C ． CF⊥ AD D ．FM ⊥ BC
【考点】 旋转的性质．
【分析】 由△ CHM 可由 △ BEM 旋转而得，根据旋转的性质得 BM=MC ，∠ CHM= ∠ BEH ， ME=MH ，而 BE ⊥ AD ，即∠ BEF=90 °，∠ CHM= ∠ CFE+∠ HEF ，得到∠ CFE=90 °，又 FM
为 EH 边上的中线，得到 FM= EH ．因此可进行判断得到答案．
【解答】 解：∵△ CHM 可由 △ BEM 旋转而得，
∴BM=MC ，∠ CHM= ∠BEH ， ME=MH ，
而 BE⊥ AD ，即∠ BEF=90 °，
∴∠ BEH=90 °+∠ HEF ，
又∵∠ CHM= ∠CFE+ ∠ HEF，
∴∠ CFE=90 °，
即 CF⊥AD ，又∵ ME=MH ，
∴FM= EH．
所以 A ，B ，C 都正确．
故选 D．
【点评】 本题考查了旋转的性质： 旋转前后的两个图形全等， 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角， 对应点到旋转中心的距离相等． 也考查了三角形外角的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．（ 3 分）（ 2014?濮阳二模）已知反比例函数
的图象如图，则一元二次方程x
2﹣
（2k ﹣ 1） x+k 2﹣ 1=0 根的情况是（
）
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A ．有两个不等实根 B ．有两个相等实根
C．没有实根 D ．无法确定
【考点】 根的判别式；反比例函数的图象．
【分析】 首先根据反比例函数 的图象可以得到 k 的取值范围，然后根据 k 的取值范
围即可判断方程 x2﹣（ 2k﹣ 1）x+k 2﹣ 1=0 的判别式的正负情况，接着就可以判断方程的根的情况．
【解答】 解：∵反比例函数 的图象在第一、三象限内，
k﹣ 2＞ 0，
k＞ 2，
∵一元二次方程 x2﹣（ 2k﹣ 1）x+k 2﹣ 1=0 的判别式为
=b 2﹣ 4ac=（2k﹣ 1）2﹣4（ k2﹣ 1） =﹣ 4k+5，
而 k＞ 2，
∴﹣ 4k+5 ＜0，
∴△＜ 0，
∴一元二次方程 x2﹣（ 2k﹣ 1）x+k 2﹣ 1=0 没有实数根．
故选 C．
【点评】 此题考查了反比例函数的图象和性质及一元二次方程判别式的应用， 一元二次方程
根的情况与判别式 △的关系：
（1） △ ＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；
（2） △ =0 ? 方程有两个相等的实数根；
（3） △ ＜ 0? 方程没有实数根．
二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
13．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）计算： ﹣ 2 = ．
【考点】 二次根式的加减法．
【分析】 先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】 解：原式 =3 ﹣ 2
．
故答案为：．
【点评】 本题考查的是二次根式的加减， 熟知二次根式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
14．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）点 A 的坐标为（ 2，﹣ 3），它关于坐标原点 O 对称的点的坐标为 （﹣ 2， 3） ．
【考点】 关于原点对称的点的坐标．
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【分析】 根据关于原点对称的点的坐标特点： 两个点关于原点对称时， 它们的坐标符号相反
可直接写出答案．
【解答】 解：∵点 A 的坐标为（ 2，﹣ 3），
∴它关于坐标原点 O 对称的点的坐标为（﹣ 2， 3），
故答案为：（﹣ 2， 3）．
【点评】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律．
15．（ 3 分）（ 2011?随州）如图：点 A 在双曲线 上， AB 丄 x 轴于 B ，且 △ AOB 的面积
S△AOB =2，则 k= ﹣ 4 ．
【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义．
【分析】 先根据反比例函数图象所在的象限判断出
k 的符号，再根据
S△AOB=2 求出 k 的值
即可．
【解答】 解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜ 0，
∵S△AOB =2，
|k|=4 ，
k= ﹣ 4．
故答案为：﹣ 4．
【点评】 本题考查的是反比例系数 k 的几何意义， 即在反比例函数的图象上任意一点象坐标
轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．
16．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）已知 + =y+4 ，则 3x﹣ 2y= 11 ．
【考点】 二次根式有意义的条件．
【分析】 根据二次根式有意义的条件求得 x、 y 的值，然后将其代入所求的代数式求值．
【解答】 解：∵ x﹣ 1≥0，且 1﹣ x≥0，
x=1 ，
y= ﹣ 4，
3x ﹣ 2y=3×1﹣ 2×（﹣ 4） =11．
故答案是： 11．
【点评】 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （ a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
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2
17．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）已知方程 x +（ m﹣ 2） x+ （ n+3） =0 的两根分别是
2、﹣ 3，则 m﹣ n= 4 ．
【考点】 根与系数的关系．
【分析】 先根据根与系数的关系得到﹣ 2+（﹣ 3）=﹣（ m﹣ 2），﹣ 2×（﹣ 3） =n+3 ，再求出
m 和 n 的值，然后进行它们的差．
【解答】 解：根据题意得﹣ 2+（﹣ 3） =﹣（ m﹣ 2），﹣ 2×（﹣ 3） =n+3 ，解得 m=7， n=3，
所以 m﹣ n=7 ﹣ 3=4．
故答案为 4．
2
【点评】 本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系： 若方程两个为 x1，
x2，则 x1+x 2=﹣ ， x1?x2= ．
18．（3 分）（ 2014?沈阳校级模拟）若 +x ﹣ 3=0 是关于 x 的一元二次方程，
则 m 的值是 ﹣2 ．
【考点】 一元二次方程的定义．
【分析】 根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0， m2﹣ 2=2，求出即可．
【解答】 解：∵
+x ﹣ 3=0 是关于 x 的一元二次方程，
∴m﹣ 2≠0， m2﹣ 2=2，
解得： m=﹣ 2，
故答案为：﹣ 2．
【点评】 本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，
注意：一元二次方程的一般形式
2
是 ax +bx+c=0 （ a、 b、 c 是常数，且 a≠0）．
19．（ 3 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）直线 y=2x+1 与双曲线 y= 有一个交点为（ 1， 3），
则它们的另一个交点为 ．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】 根据反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组 即可得到它们的另一
个交点坐标．
【解答】 解：解方程组 得 或 ，
所以它们的另一个交点坐标为（﹣ ，﹣ 2）．
故答案为（﹣ ，﹣ 2）．
【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题： 反比例函数与一次函数图象的交点
坐标满足两函数解析式．
第 13 页（共 23 页）
20．（ 3 分）（ 2011 秋 ?东丰县期末） 将直角边为 12cm 的等腰三角形 ABC 绕点 A 顺时针旋转
15°后得到 △ AB ′C′，那么图中阴影部分面积是 cm2．
【考点】 旋转的性质．
【分析】 由等腰三角形 ABC
绕点 A 顺时针旋转 15°后得到 △ AB'C' ，根据旋转的性质得
∠CAC ′=15 °，∠ C′=∠ C=90 °，AC ′=AC=12 ，而△ ABC 为等腰直角三角形，
得到∠ CBA=45 °，
则∠ DAC ′=45 °﹣ 15°=30°，得到 DC′=
AC ′=12 × =4 ，利用三角形的面积公式即可得到
阴影部分面积．
【解答】 解：设 AB 与 B ′C′交于 D 点，
∵等腰三角形 ABC 绕点 A 顺时针旋转
15°后得到 △ AB'C' ，
∴∠ CAC ′=15 °，∠ C′=∠ C=90 °， AC ′=AC=12 ，
而△ ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ CAB=45 °，
∴∠ DAC ′=45 °﹣ 15°=30°，
在 Rt△ ADC ′中， DC ′= AC ′=12 ×
=4 ，
∴S
=
×12×4 =24
（ cm
2）．
△ADC ′
故答案为 24
．
【点评】 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，
对应点到旋转中心的距离相等，对
应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及含
30
度的直角三角形三边的关系．
21．（ 3 分）（ 2012?大兴区二模）已知： 如图，互相全等的平行四边形按一定的规律排列．其
中，第 ① 个图形中有 1 个平行四边形， 第 ② 个图形中一共有 5 个平行四边形， 第 ③ 个图形
中一共有 11 个平行四边形，第
④ 个图形中一共有
19 个平行四边形， ，第 n 个图形中
一共有平行四边形的个数为
2
个．
n +n﹣ 1
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【考点】 规律型：图形的变化类．
【分析】 由于图 ② 平行四边形有 5 个=（ 2+2）（ 2﹣ 1）+1，图 ③ 平行四边形有 11 个 =（2+3 ）
3﹣ 1） +1，图 ④ 平行四边形有 19= （ 2+4）（ 4﹣ 1） +1，第 n 个图形平行四边形的个数是
2+n ）（ n﹣1） +1 ，把 n=4 代入求出即可．
【解答】 解：∵图 ② 平行四边形有 5 个=
﹣ 1，
图③ 平行四边形有 11 个 =
﹣ 1，
∴第 n 个图有
2
﹣1=n +n﹣1 个平行四边形，
∴图 ④ 的平行四边形的个数为
42
+4﹣ 1=19
2
故答案为 19， n +n ﹣1．
【点评】 考查了规律型： 图形的变化类， 本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
22．（3 分）（ 2014 春 ?海淀区校级期末）如图， Rt△ABC 中，已知∠ C=90 °，∠ B=48 °，点 D 在边 BC 上， BD=2CD ，把 Rt△ ABC 绕点 D 逆时针旋转 m（ 0°＜ m＜ 180°）度后，如果点 B 恰好落在初始 Rt △ ABC 的边上，那么 m= 84°或 120° ．
【考点】 旋转的性质．
【分析】 由于 BD=2CD ，则把 Rt△ABC 绕点 D 逆时针旋转 m（ 0°＜ m＜ 180°）度后，点 B
的对应点 B ′可能落在 AB 或 BC 边上，分类讨论：当旋转后点 B 的对应点 B ′落在 AB 边上，
如图 1，根据旋转的性质得 DB ′=DB ，∠ B ′DB=m ，再根据等腰三角形的性质得
∠DB ′B= ∠ B=48 °，然后利用三角形内角和定理可计算出∠ B ′DB=180 °﹣∠ DB ′B﹣∠ B=84 °；
当点 B 的对应点 B ′落在 AB 边上，如图 2，根据旋转的性质得∴ DB ′=DB ，∠ B′DB=m ，由于 BD=2CD ，则 DB ′=2CD，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得∠ CB ′D=30 °，再利用互余计算出∠ CDB ′=60 °，然后利用邻补角的定义得到∠ B ′DB=120 °．【解答】 解：当旋转后点 B 的对应点 B ′落在 AB 边上，如图 1，
Rt △ ABC 绕点 D 逆时针旋转 m（ 0°＜ m＜ 180°）度得到 Rt△A ′B′C′， ∴DB ′=DB ，∠ B ′DB=m ，
∴∠ DB ′B= ∠ B=48 °，
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∴∠ B′DB=180 °﹣∠ DB ′B﹣∠ B=84 °，即 m=84°；
当点 B 的对应点 B ′落在 AB 边上，如图 2，
∵Rt △ ABC 绕点 D 逆时针旋转 m（ 0°＜ m＜ 180°）度得到 Rt△A ′B′C′，
∴DB ′=DB ，∠ B ′DB=m ，
BD=2CD ， ∴DB ′=2CD ，
∵∠ C=90°， ∴∠ CB′D=30 °， ∴∠ CDB ′=60 °，
∴∠ B′DB=180 °﹣ 60°=120°，即 m=120 °，综上所述， m 的值为 84°或 120°．
故答案为 84°或 120°．
【点评】 本题考查了旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线
段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系和等腰三角形的性质．
三、解答题（共 34 分）
23．（ 6 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）计算：
（1）（ + ）+（ ﹣ ）；
2）（3 ﹣2 ）2．
【考点】 二次根式的混合运算．
【分析】（ 1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式计算．
【解答】 解：（ 1）原式 =2 +2 + ﹣
=3 + ；
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（2）原式 =18 ﹣ 12 +12
=30﹣ 12 ．
【点评】 本题考查了二次根式的混合运算： 先把各二次根式化为最简二次根式， 再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
24．（ 6 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）解方程：
1） 2x2+2x﹣ 1=0 （公式法）；
2
2
．
（2）（ 2x﹣1） =（ 3﹣ x）
【考点】 解一元二次方程 -因式分解法；解一元二次方程
-公式法．
【分析】（ 1）先计算判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式求解；
（2）先移项得到（ 2x﹣
1）
2
﹣（
2
3﹣ x） =0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】 解：（ 1） △=22﹣ 4×2×（﹣ 1） =12，
x=
=
，
所以 x1=
，x2=
；
2
2
（2）（ 2x﹣1） ﹣（ 3﹣ x）
=0，
（2x ﹣ 1+3 ﹣x）（ 2x﹣1﹣ 3+x ）=0，
2x﹣ 1+3﹣ x=0 或 2x﹣1﹣ 3+x=0 ，
所以 x1=﹣ 2， x2= ．
【点评】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为
0，然后把方程左
边进行因式分解， 这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，
再解一次方程可得到一元
二次方程的解．
25．（ 3 分）（2014 春 ?海淀区校级期末）如图，在 10×6 的正方形网格中，每个小正方形的边
长均为单位 1，将 △ ABC 向右平移 5 个单位，得到 △ A′B′C′，再把 △ A ′B′C′绕点 A ′顺时针旋转 90°，得到 △A ″B ″C″，请你画出 △A ′B′C′和 △ A ″B ″C″（不要求写画法） ．
【考点】 作图 -旋转变换；作图 -平移变换．
【分析】 根据网格结构找出点 A 、 B、 C 平移后的对应点 A ′、 B ′、 C′的位置，然后顺次连接即可，再作出点 A′、B ′、C′绕点 A′顺时针旋转 90°后的对应点 A ″、B″、 C″的位置，然后顺次连接即可．
【解答】 解： △ A ′B′C′和 △ A ″B ″C″如图所示．
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【点评】 本题考查了利用平移变换作图， 熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
26．（4 分）（ 2011?朝阳区二模）如图，要建一个面积为 40 平方米的矩形花园 ABCD ，为了
节约材料，花园的一边 AD 靠着原有的一面墙，墙长为 8 米（ AD ＜ 8），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为 24 米，求花园一边 AB 的长．
【考点】 一元二次方程的应用．
【分析】 设垂直墙的篱笆的长为 x，那么余下的篱笆长为（ 24﹣2x），x 和（ 24﹣ 2x）就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
【解答】 解：设 AB 长为 x 米，则 BC 长为（ 24﹣ 2x）米．（ 1 分）
依题意，得 x（ 24﹣2x） =40（ 2 分）
整理，得 x2﹣12x+20=0 ．
解方程，得 x1=10 ， x2=2．（ 3 分）
所以当 x=10 时， 24﹣2x=4；
当 x=2 时， 24﹣ 2x=20 （不符合题意，舍去） ．（ 4 分）答： AB 的长为 10 米．（ 5 分）
【点评】 本题考查了一元二次方程的应用． 解题关键是要读懂题目的意思， 根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题是用 24 米的篱笆围成三个边．
27．（ 4 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E、F 分别在
边 BC、 CD 上，且∠ EAF=45 °，求 △ CEF 的周长．
【考点】 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】 先根据正方形的性质得 AB=AD ，∠ BAD= ∠ B=90 °，根据旋转的定义，把 △ ADF
绕点 A 顺时针旋转 90°可得到 △ABG ，根据旋转的性质得 AG=AF ，BG=DF ，∠ GAF=90 °，
∠ABG= ∠ B=90 °，于是可判断点 G 在 CB 的延长线上，接着利用 “SAS”证明在
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△EAG ≌△ EAF ，得到 EG=EF=BE+DF ，然后利用三角形周长的定义得到 △ CEF 的周长
=CE+CF+BE+DF=CB+CD=2a ．
【解答】 解：∵四边形 ABCD 为正方形，
AB=AD ，∠ BAD= ∠ B=90 °，
∴把 △ ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°可得到 △ ABG ，如图，
AG=AF ， BG=DF ，∠ GAF=90 °，∠ ABG= ∠B=90 °，∴点 G 在 CB 的延长线上，
∵∠ EAF=45 °，
∴∠ EAG= ∠ GAF ﹣∠ EAF=45 °， ∴∠ EAG= ∠ EAF ，
在△ EAG 和 △ EAF 中，
，
∴△ EAG ≌△ EAF （ SAS），
EG=EF ，
而 EG=BE+BG=BE+DF ， ∴EF=BE+DF ，
∴△ CEF 的周长 =CE+CF+BE+DF=CB+CD=a+a=2a ．
【点评】 本题考查了旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前、 后的图形全等． 也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
28．（5 分）（ 2014 春 ?海淀区校级期末）已知关于
x 的方程
2
2
x ﹣ 2 x+（ a+1） =0 有实根．
（1）求 a 的值；
2
m 的值．
（2）若关于 x 的方程 mx +（ 2﹣ m） x﹣ a﹣ 1=0 的所有根均为整数，求整数
【考点】 根的判别式．
【分析】（ 1）利用根的判别式的符号来求
a 的值；
2
2
（2）利用（ 1）的结果，将关于 x 的方程 mx +（ 1﹣ m）x﹣ a=0 转化为方程
mx +（ 2﹣ m）
x﹣ 2=0 ，然后分类讨论：二次项系数的取值分两种情况：当
m=0 和 m≠0 时的两种情况．
2
2
有实根，
【解答】 解：（ 1）∵关于 x 的方程 x ﹣ 2
x+ （ a+1） =0
2
∴△ =4a﹣ 4× ×（a+1） ≥0，且 a≥0，
整理，得
﹣（ a﹣ 1）2≥0，
第 19 页（共 23 页）
则 a﹣ 1=0 ，
解得 a=1；
（2）由（ 1）知， a=1，则由原方程，得
2
∵mx +（ 2﹣ m） x﹣2=0，
∴（ mx+1 ）（ x﹣ 2） =0；
① 当 m≠0 时，
x1=﹣ ， x2=1，
∴整数 m 的值为 1 或﹣ 1；
② 当 m=0 时， x=2；
综上所述，整数 m 的值是 0， 1，﹣ 1．
【点评】 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，
在解不等式时一定要注意数值的正
负与不等号的变化关系．
29．（ 6 分）（ 2014 春?海淀区校级期末）两个矩形如图
1 摆放在直线 MN 上， AD=EH=1 ，
CD=DE=EF=2 ，将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转角
α，同时将矩形 EFGH 绕点 E 逆时针旋
转角 α，其中 0°＜ α＜ 90°．
（1）如图
2，当点 C 和 F 重合时， α=
30°；
（2）如图
3，当两个矩形的重叠部分为正方形时，
α=
45° ，重叠部分的面积 S= 6﹣
4；
（3）如图
4，当旋转到点
B 与点 G 重合时，设 DC 与 EF 交于 P，BP 的延长线交 DE 于 Q，
线段 BQ 与 DE 的关系是
垂直平分相等
，利用你的结论（不用证明） ，计算两个矩形重
叠部分的面积．
【考点】 几何变换综合题．
【分析】（ 1）由 CD=FE=DE=2 ，得到 △ CDE 为等边三角形，则∠ DCE=60 °，得到∠ 1=180 ° ﹣∠ ADC ﹣∠ CDE=180 °﹣ 90°﹣ 60°=30 °，得到 α=30 °；
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（2）由四边形 MFNC 为正方形，而矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转和矩形 EFGH 绕点 E 逆
时针旋转相同的角度．得到 NF=NC ，∠ FNC=90 °，则∠ DNE=90 °， ND=NE ，得到
∠NDE= ∠ NED=45 °，所以∠ 1=180°﹣ 90°﹣ 45°=45 °，即 α=45°，由于 △ DFE 是等腰直角三角
形， DE=2 ，可求出 DF= ， CF=2 ﹣ ，即可求出重合正方形面积；
（3）垂直平分相等，可证明 △ BFP≌△ EQP，得到 PF=QE，在 △BFP 中用勾股定理列方程
求出 PF，即可求出重合部分面积．
【解答】 解：（ 1）如图 2，
CD=FE=DE=2 ，
∴△ CDE 为等边三角形， ∴∠ DCE=60 °，
∴∠ MDA=180 °﹣∠ ADC ﹣∠ CDE=180 °﹣ 90°﹣ 60°=30 °，而∠ MDA 等于旋转角，
∴α=30 °；
（2）如图 3，∵四边形 MFNC 为正方形，
而矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转和矩形
EFGH 绕点 E 逆时针旋转相同的角度．
∴NF=NC ，∠ FNC=90 °，
∴∠ DNE=90 °， ND=NE ，
∴∠ NDE= ∠ NED=45 °，
∴∠ ADM=180 °﹣ 90°﹣45°=45 °，
∴α=45 °．
∵△ DEF 是等腰直角三角形， DE=2 ，
∴DF=， CF=2 ﹣
，
∴S 正方形 =（ 2﹣
） 2
=6﹣4
；
3）线段 BQ 与 DE 的关系是：垂直平分相等．如图 4，
在△ BFP 和△EQP 中
∴△ BFP≌△ EQP，
PQ=PF，
设 PF=x ，则 BP=2﹣ x，
2 2 2
∵BP =PF +BF ，
2 2 2
∴（ 2﹣ x） =1 +x
x= ，
∴S 四边形 BFPC=2S△BFP=2× ×1× = ．
故答案为：（ 1） 30°；（ 2） 45°， ；（ 3）垂直平分相等．
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【点评】 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、 正方形的判定与
性质、 全等三角形的判定与性质、 以及勾股定理和图形面积计算等知识， 熟练运用旋转的性
质以及具有较强的逻辑推理能力是解决问题的关键．
第 22 页（共 23 页）
参与本试卷答题和审题的老师有：星期八； gbl210； HJJ； sd2011； nhx600；CJX；438011；
bjy；leikun；zcx； gsls； Liuzhx；ZJX；zjx111；sjzx；HLing；1339885408@（排名不
分先后）
菁优网
2016年5月19日
第 23 页（共 23 页）
