2021届福建省福州市高三数学10月调研B卷试题（解析版）
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2021届福建省福州市高三数学10月调研B卷试题
一、单选题
1．已知复数满足，则的虚部为( )
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】给两边同除以，化简可得结果.
【详解】
解：由，得
所以的虚部为1
故选：B
【点睛】
此题考查复数的运算和复数的有关概念，属于基础题.
2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由对数函数的性质可得，再由集合的交集运算即可得解.
【详解】
因为，，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查了对数函数性质的应用及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
3．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由全称命题的否定规则即可得解.
【详解】
因为命题“，”为全称命题，
所以该命题的否定是“，”.
故选：C.
【点睛】
本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题.
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）(参考数据：)
A．60 B．62 C．66 D．63
【答案】D
【解析】根据可解得的值，即可得答案；
【详解】
，所以，
所以，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数模型求解实际问题，考查阅读理解能力.
5．已知数列满足，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依次求出得解.
【详解】
时，；
时，；
时，.
故选：A
【点睛】
本题主要考查利用递推公式求数列的项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
6．将函数（）的图象上所有的点向右平移个单位长度得到正弦曲线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知图象上所有的点向左平移个单位长度得到，即可求得的解析式，从而求得的值.
【详解】
因为（）的图象上所有的点向右平移个单位长度得到正弦曲线，
所以图象上所有的点向左平移个单位长度得到，
即，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及求三角函数值，属于中档题.
7．已知是边长为2的等边三角形，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算即可得解.
【详解】
由题意画出图形，如图，
因为，，所以，，
所以
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
8．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．记，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令函数，可得函数为上的偶函数，由导数可得函数在上单调递减，结合函数的单调性与奇偶性即可得解.
【详解】
因为是定义域为的奇函数，所以，
令函数，则，所以为上的偶函数，
当时，，
所以函数在上单调递减，
又为偶函数，所以， ，，
所以.
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的判断与应用，考查了利用导数确定函数的单调性及函数单调性的应用，属于中档题.
二、多选题
9．在公比为等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】ACD
【解析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可.
【详解】
因为，所以有，因此选项A正确；
因为，所以，
因为常数，
所以数列不是等比数列，故选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，
因为当时，，所以选项D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.
10．已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
【答案】BCD
【解析】举出反例可判断A；由不等式的基本性质可判断B、D；通过作差法可得，再由不等式的基本性质即可判断C.
【详解】
对于A，当，时，满足且，此时，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，
所以，所以，故C正确；
对于D，若且，则，所以，，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了不等式基本性质的应用及不等关系的判断，属于基础题.
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域是 B．时，图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有一个极值点
【答案】BCD
【解析】求出函数定义域判断A，根据函数值的正负判断B，求出导函数，利用导函数确定原函数的增区间，判断C，由导函数研究函数的单调性得极值，判断D．
【详解】
由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；
由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；
∵，所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；
由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D正确；
故选：BCD.
【点睛】
本题考查求函数的定义域，考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握极值的定义，单调性与导数的关系是解题关键．
12．已知函数，若在区间上是单调函数，且有，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由三角函数的图象与性质可得函数的最小正周期满足，按照、讨论，由函数的对称性即可得，即可得解.
【详解】
因为在上单调，
所以函数的最小正周期满足，即，所以，
若，则，符合题意；
若，因为，
所以直线是函数的图象右侧最靠近轴一条对称轴，
因为，所以函数图象的一个对称中心是，
所以，所以，.
故选：AB.
【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.
三、填空题
13．已知向量的夹角为，，则________．
【答案】
【解析】由平面向量数量积的定义可得，再由结合平面向量数量积的运算即可得解.
【详解】
因为向量的夹角为，，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
14．已知实数满足，则________．
【答案】
【解析】先根据已知条件利用等差数列求和求出的值，再利用等比数列求和公式即可求解.
【详解】
由可得，解得：，
所以，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等差数列求和和等比数列求和公式，属于中档题.
15．若，则________．
【答案】，
【解析】由二倍角公式可得，再由诱导公式即可得解.
【详解】
因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了余弦的二倍角公式及诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
16．定义在上函数满足，且当时，.若当x∈时，，则的最小值等于________．
【答案】．
【解析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，数形结合即可得解.
【详解】
由题意，当时，故，
当时，故，
可得在区间上，，
所以当时，，
作函数的图象，如图所示，
当时，由得，
由图象可知当时，，所以的最小值为．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分段函数解析式的求解及图象的应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.
四、解答题
17．已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得，即可得，再由等差数列的通项公式即可得解；
（2）由题意，结合并项求和法、等差数列的前n项和公式即可得解.
【详解】
（1）因为等差数列满足，且，，成等比数列，
所以 ，因为，所以，
所以；
（2）由（1）得，
所以
．
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了并项求和法求数列前n项和的应用，属于中档题.
18．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosC＝acosB+bcosA．
（1）求角C；
（2）若ABC的面积为，且a+b＝5，求c．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据正弦定理将已知条件中的边化为角，有，再结合正弦的两角和公式与，可知，从而解得，再结合的范围即可得解；
（2）由知，，解出的值后，利用平方和公式求出，最后根据余弦定理即可得解．
【详解】
（1）由正弦定理知，，
因为，
所以．
因为，所以，
因为，所以．
（2）由知，，所以，
又，所以，
由余弦定理知，，
所以．
【点睛】
本题主要考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及正弦的两角和公式，利用正弦定理将边化角是解题的突破口，考查学生的逻辑推理能力和运算能力．
19．已知函数在处取得极小值．
（1）求实数的值，并求函数的单调区间；
（2）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1），的单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）.
【解析】（1）由极值的概念可得，即可得，求得、的解集即可得函数的单调区间；
（2）由导数的几何意义可得切线方程，进而可得切线与坐标轴围成的三角形的面积.
【详解】
（1）由题意，
因为函数在处 取得极小值，所以即，解得，
经检验，是函数的极小值点，所以，
当时，，
由可得或，由可得；
所以的单调递增区间是，，单调递减区间是；
（2）由（1）知，，
则，，
所以曲线在点处的切线的斜率，
所以切线的方程为，即，
令，可得；令可得；
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值、单调性，考查了导数几何意义的应用及运算求解能力，属于中档题.
20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求BC边上的高的长；
（2）求的最大值．
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）由条件结合正弦定理可得，然后可得答案；
（2）设，，则，然后可得，然后可利用基本不等式求出最值.
【详解】
（1）由已知及正弦定理，得
即
因为，所以，所以
所以
又因为，所以
（2）设，，则
①当，或时，
②当时，，
此时
因为，所以
所以，当且仅当时等号成立
所以当时，取得最大值
综上，的最大值为
【点睛】
本题考查了正弦定理、三角恒等变换以及利用基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题.
21．在①；②；③（）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知数列中，，__________．
（1）求；
（2）若数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）选①：转化条件得，再由等差数列的性质可得，即可得解；
选②：转化条件为，再由等差数列的性质可得，即可得解；
选③：由累加法可得当时，，代入即可得解；
（2）由裂项相消法可得，即可得证.
【详解】
（1）选①：
由可得，
即，
又，所以是首项为4，公差为4的等差数列，
所以，所以；
选②：
由，可得，
即，
又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，所以；
选③：
由（）可得：
当时，
，
当时，，符合，
所以当时，；
（2）证明：由（1）得，
所以，
因为，所以，
又因为随着的增大而增大，所以，
综上．
【点睛】
本题考查了数列通项公式的求解及裂项相消法求数列前n项和的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
22．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；
（2）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
【答案】（1）函数在，上是减函数，在，上是增函数，理由见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）设，，由此入手可得函数在和上的单调性，再利用奇偶性可得整个定义域上的单调性;
（2）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数．分n是奇数还是偶数，分别写出函数的单调性，再变形，利用结论可得其单调性，进而可得最值．
【详解】
（1）因为，所以函数的定义域为.
设，.
当时，， 函数在上是增函数；
当时, 函数在上是减函数;
又，
所以函数是偶函数，
于是，该函数在上是减函数，在上是增函数，
综上所述：函数在，上是减函数，在，上是增函数；
（2）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数.
当n是奇数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数, 在上是减函数；
当n是偶数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数, 在上是增函数.
因为
，
所以在上是减函数，在上是增函数.
所以，当或时，取得最大值；当时取得最小值.
【点睛】
本题考查函数单调性的综合运用，主要考查利用对勾函数，研究函数的单调性，并做推广，从而研究函数的最值．
