二元一次方程组应用题总结计划大全x
时间:2020-11-20 20:23:50 来源:勤学考试网 本文已影响 人
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知识点:二元一次方程组的概念及解法 : 代入法和加减法
二元一次方程组解决实际问题的基本步骤:
1、审题,搞清已知量和待求量,分析数量关系 . (审题,寻找等量关系)
2、考虑如何根据等量关系设元,列出方程组. (设未知数,列方程组)
3、列出方程组并求解,得到答案. (解方程组)
4、检查和反思解题过程,检验答案的正确性以及是否符合题意. (检验 , 答)
例】今有鸡兔同笼,数头 35 个,数腿 94 条,问鸡、兔各有多少只?分
析:两个相等关系:①鸡头+兔头=总头数;②鸡腿+兔腿=总腿数。
解析:设鸡有 x 只,兔有 y 只。
35 x
由题意可列方程组 解得
94 y
答:鸡有 只,兔有 只。
相似题:
鸡兔同笼问题( 1)
1、野鸡和兔子共有 39 只,它们的腿共有 100 条,求野鸡和兔子各有多少只。
2、已知板凳和木马共有 33 个,腿共有 101 条。板凳和木马各有多少个?(注:板凳 4 条腿,木马 3
条腿)
3、某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演。其中成人票每张 8 元,学生票每张 5 元,共售出
1000 张票,共筹得票款 6950 元。问成人票与学生票各售出多少张?
分析:两个相等关系:① ;② 。
4、某校买了甲、乙两种型号的彩电共 7 台,花去人民币 15900 元。已知这两种型号的彩电的价格分别
是 3000 元和 1300 元,问该校两种彩电各买了多少台?
鸡兔同笼问题( 2)
1、某校 150 名学生参加数学考试,平均每人 55 分,其中及格的学生人均 77 分,不及格的学生人均 47
分。及格、不及格的学生各有多少人?
2、一队敌军一队狗,两队并成一队走;脑袋共有八十个,数腿却有二百条;请君仔细算一算,多少敌
军多少狗
3、现有大人、幼儿共 100 人,大人一餐吃 4 个面包,幼儿 4 人一餐吃一个面包,一餐刚好吃光 100 个
面包,问大人、幼儿各有几人?
分配问题( 1)
【例】栖树一群鸦,鸦树不知数;三只坐一棵,五只没去处;五只栖一棵,闲了一棵树;请你列式算,鸦树各几何?
分析:两个等量关系:① 3 树的棵数+ 5=乌鸦的只数;② 5 (树的棵数- 1)=乌鸦的只数。
解:设乌鸦有 x 只,树有 y 棵。
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3
x
x
由题意可列方程组
解得
5(
)x
y
答:乌鸦有
只,树有
棵。
1、某单位召开会议,安排参加会议人员住宿,若每间宿
12 人,便有
34 人没有住处;若每间住 14
舍住
人便多处 4 间宿舍没人住。求参加会议的人数和宿舍数。
分析:两个相等关系:①
;②
。
2、将若干只鸡放入若干个笼子中,若每个笼子放
4 只,则有
1 只鸡无笼可放;若每个笼子放
5 只鸡,
则有 1 笼无鸡可放,试问有多少只鸡,多少个笼
子?
3、用一根绳子测水泥柱一周的尺寸,若绳子绕水泥
4 周,则绳子还多
3 尺;若绳子绕水泥
5 周,
柱
柱
则绳子还少
2 尺,求绳子及水泥柱一周的长度。
分配问题( 2)
1、一组学生用一条绳子测一块的长,量
12 次,还余 80m 没有量,量
14 次,超出地段
20m,求绳长
和地段长。
2、在一条马路旁种树,每隔
3 米种一棵,到头还剩
3 棵树;每隔 2.5
米种一棵,到头还缺
77 棵树。问
马路有多长?树有多少棵?
3、有人在林中散步, 听到几个强盗在商量怎样分抢来布匹,
一名强盗说:“没人分 6 匹,但剩下
5 匹。”
另一名强盗说:“每人分
7 匹,可又少
8 匹。”问有几个强盗几匹布?
4、现有一批物资运往三峡工地,
由铁路装运,如果每节车皮装
50 吨,则还缺 2 节车皮才能把全部物资
运走,如果每节车皮多装
5 吨,则还可再装
200 吨其它物资,问原有多少物资,共有多少节车皮?
调配问题
【例】甲乙隔河放牧羊,两人相互问数量;甲说得乙羊九只,我羊是你羊二倍;乙说得甲羊八只。
两人羊数正相当。请你帮忙算一算,甲乙各放多少羊?
分析:两个等量关系:
1)甲羊数+ 9= 2×(乙羊数- 9);( 2)乙羊数+ 8=甲羊数- 8
(
解:设甲放羊
x 只,乙放羊 y
只。
x
9
2
y9
x
由题意可列方程组
解得:
y
8
x
8
y
答:甲放羊
只,乙放羊
只。
1、甲、乙两盒中各放着一些球,一共有 9 个,如果从甲盒中拿出 5 个放入乙盒,乙盒的球数是甲盒的
倍。问甲、乙两盒中原来各放着多少个球?
2、某工厂第一车间人数比第二车间人数的 4 少 30 人,若从第二车间调 10 人到第一车间,则第一车间
5
的人数是第二车间人数 3,求各车间的人数。
4
3、有一大群羊,其中一部分已上山,另一部分还在山下。如果山下的羊中有 3 只上了山,则山下的羊
是整个羊群的 1;如果从山上下来 3 只羊,则山上、山下的羊就一样多了。问原来山上、山下各有羊
3
多少只?
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配套问题
【例】某车间有 28 名工人,加工生产一种螺栓和螺母,每人每天生产螺栓 12 个或螺母 18 个,应分配
多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产的螺栓和螺母刚好配套( 1 个螺栓要配 2 个螺母)。
分析:两个等量关系: (1)加工螺栓的人数+加工螺母的人数= 28; (2)螺母数= 2 倍的螺栓数。
解:设加工螺栓的有 x 人,生产螺母的有 y 人。
x
由题意可列方程组 解得:
y
答:加工螺栓的有 人,生产螺母的有 人。
1、一个工人一天能生产 100 值螺栓或 150 只螺帽,一只螺栓要与 2 只螺帽配套,若有工人 42 名,问怎样分配,才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套?
2、八年级 A 班同学 50 人,为参加学校举办的迎国庆文艺活动,做一批道具,每人每天平均做花 18 朵,面
具 16 个,如果一个面具配两朵花,应分配多少学生做面具,多少学生做花,才能使面具和花刚好配套?
3、某车间有 62 名工人,生产甲、乙两种零件,每人每天平均能生产甲零件 12 个或乙零件 23 个,应分
配多少人生产甲零件, 多少人生产乙零件, 才能使每天生产的甲零件和乙零件刚好配套? (每 3 个甲零
件和 2 个乙零件配成一套)
年龄问题
【例】学生问老师:“您今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时,你才满周岁;你到我这样大时,我已经 37 岁了。”老师和学生的年龄各是多少?
分析:两个等量关系: (1)老师的年龄-两人的年龄差= 1;( 2)学生的年龄+两人的年龄差= 37。
解:设老师的年龄为 x 岁,学生的年龄为 y 岁。
x
由题意可列方程组 解得:
y
答:老师的年龄为 岁,学生的年龄为 岁。
1、甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你才 4 岁。”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁
数时,你将 61 岁。”问甲、乙各多少岁?
2、10 年前,小兰妈妈的年龄是小兰年龄的 3 倍; 10 年后,妈妈的年龄是小兰年龄的 2 倍,问小兰和妈
妈现在的年龄各是多少岁?
3、已知仙鹤和乌龟是动物中的长寿星,一天鹤父、鹤女与龟祖、龟孙在聊天,它们发现鹤父的年龄是
鹤女的 2 倍,龟祖的年龄是龟孙的 5 倍,它们四位的年龄和的 3 倍恰好是 900 岁。十年后,鹤父和鹤女
之和的 5 倍,加上龟祖、龟孙的年龄也是 900 岁,试求它们分别是多少岁?
销售问题( 1)
【例】某书店向学校推销甲、乙两种素质教育用书,如果原价买这两种书共需 1760 元,书店推销时甲
种书打了 8 折,乙种书打了 7.5 折,结果两种书共少要了 400 元。问甲、乙两种书原价各需多少钱?
分析:两个等量关系:( 1 )甲种书原价+乙种书原价= 1760;
( 2)甲种书折后价+乙种书折后价= 1760-400。
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解:设甲种书原价为
x 元,乙种书原价为
y 元。
由题意可列出方程
1760
x
组
解得:
1760400
y
元,乙种书原价
答:甲种书原价为
为
元。
1、新华书店向某校推销甲、乙两种科普书,如以原价买这两种书共需 880 元,甲种书书店按 8 折销售,
乙种书书店按 7.5 折销售,结果这两种书共少要了 200 元,问原来买这两种书各需要多少元?
2、“五一”黄金周,人民商场女装部推出“全部服装八折”,男装部推出“全部服装八五折”的优惠
活动,某顾客买了一套女装和一套男装,优惠前需付 700 元,而她实际付款 580 元。问男装、女装原价
各是多少元?
3、某商场搞优惠促销,决定由顾客抽奖确定折扣,某顾客购买甲、乙两种商品,分别抽到七折和九折,
共付款 386 元,这两种商品原销售价之和为 500 元,问这两种商品的原销售价分别为多少元?
销售问题( 2)
【例】甲、乙两件服装的成本共 500 元,老板为获取利润,决定将甲服装按 50%的利润定价,乙服装
按 40%的利润定价。在销售时,应顾客要求,两件服装均按 9 折出售。这样商店共获利 157 元,求甲、
乙两件服装的成本各是多少元?
分析:两个变量关系:( 1 )甲服装的成本+乙服装的成本= 500;
2)甲服装的售价+乙服装的售价-500=157。
解:设甲服装的成本为 x 元,乙服装的成本为 y 元。
500
x
由题意可列方程组
解得:
500
157
y
答:甲服装的成本为
元,乙服装的成本为
元。
1、华联商场购进甲、乙两种商品后,甲商品加价 50%,乙商品加价 40%作为标价,后适逢元旦商场搞
促销活动,甲商品打八折销售,乙商品打八五折销售。某顾客购买甲、乙商品各一件,共付款
538 元,
已知商场共盈利 88 元,求甲、乙两种商品的进价。
2、某商场购进甲、乙两种服装后,都加价 40%标价出售。“春节”期间商场搞优惠促销,决定将甲、
乙两种服装分别把标价的八折和九折出售。 某顾客购买甲、乙两种服装共付 182 元,两种服装的标价之
和为 210 元,求这两种服装的进价和标价各是多少元?
3、某商场欲购甲、乙两种商品共 50 件,甲种商品每件进价为 35 元,利润率为 20%;乙种商品进价为
20 元,利润率为 15%,共获利 278 元,问甲、乙两种商品各购进多少件?
增长率问题( 1)
总产值 总支出
销售利润=总产值-总支出 销售利润率 100%
总产值
【例】某工厂去年的利润为 200 万。今年总产值比去年增加了 20%,总支出比去年减少了 10%,今年
的利润为 780 万元。去年的总产值、总支出各是多少万元?
解:设去年的总产值为 x 万元,总支出 y 万元。则有
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x
根据上表可列方程组 解得:
y
答:去年的总产值为 万元,总支出 万元。
1、某企业去年的总收入比总支出多 500 万元,今年的总收入比去年增加 10%,总支出节约 15%,因此
总收入比总支出多 800 万元。求去年的总收入和总支出。
2、某工厂第一季度生产甲、 乙两种机器共 480 台,改进生产技术后, 计划第二季度生产两种机器共 544
台,其中甲种机器产量要比第一季度增产 10%,乙种机器产量要比第一季度增产 20%。该厂第一季度
生产甲、乙两种机器各多少台?
3、革命老区百色的某个芒果种植基地,去年结余为 500 万元,估计今年可结余 960 万元,并且今年的
收入比去年高 15 %,支出比去年低 10%,求去年的收入和支出各是多少万元?
增长率问题( 2)
1、某校计划向灾区捐赠图书 3500 册,实际共捐了 4125 册,其中初中生比原计划多捐了 20%,高中生
捐了原计划的 115 %,问该校初、高中生实际各捐赠图书多少册?
解:设初中生实际捐了
x 册,高中生实际捐了
y 册。则有
初中生捐书(册)
高中生捐书(册)
共捐书(册)
实际捐书
x
y
5125
计划捐书
3500
x
根据上表可列方程组 解得:
y
答:设初中生实际捐了 册,高中生实际捐了 册。
2、某工厂去年的总产值比总支出多 500 万元,而今年计划的总产值比总支出多 950 万元,已知今年计
划总产值比去年增加 15%,而计划总支出比去年减少 10%,求今年计划的总产值和总支出各为多少元。
储蓄问题
【例】小明以两种方式储蓄了压岁钱 2000 元,其中一种是年利率为 2.25 %的教育储蓄,另一种是年利
率为 3.06 %的一年期定期存款,一年后共得利息 45.99 元,求这两种储蓄各存了多少钱?
分析:两个等量关系:( 1 )两种储蓄共有 2000 元;
( 2)教育储蓄的利息+定期存款的税后利息= 42.75 元。
解:设存一年教育储蓄的钱为 x 元,存一年定期存款的钱为 y 元。
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xy
2000
x
由题意可列方程组
解得
2.25
x3.06120y45.99
y
元
答:存一年教育储蓄的钱为
元,存一年定期存款的钱为
。
1、某储户存入银行甲、乙两种利息的存款,共计
2 万元,甲种存款的年利率是
3%,乙种存款的年利
率是 1.5 %,不计利息税,该储户一年共得利息
525 元,求甲、乙两种存款各是多少万元?
2、小明以两种方式共储蓄了
3000 元教育储蓄,一种的年利率为
2.25 %,另一种的年利率为
3.06 %,一年
后本息和为 3079.65 元,求每种存款各为多少元?
3、王凯以两种方式分别储蓄了
2000 元和 1000 元,一年后全部取出,扣除利息税后,可得利息
43.9 元,已
知这两种储蓄年利率的和为
3.24 %,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?
数字问题( 1)
【例】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小
1,十位与个位上的数字之和是这个两位数的
1,
5
求这个两位数。
( 1)十位数字=个位数字
1;( 2)十位数字+个位数字=这个两位数
1。
分析:两个等量关系:
-
的
5
解:设十位数字为
x,个位数字为 y。
y
x
1
x
由题意可列方程组
x
y
110xy
解得:
y
5
答:这个两位数为
。
1、一个两位数,十位上的数字是个位上的数字的 3 倍,将个位上的数字与十位上的数字对调后所得的
两位数比原来的两位数小 18,求这个两位数。
2、有一个两位数,个位上的数比十位上的数大 5。如果把两个数字的位置对换,那么所得的新数与原
数的和是 143,求这个两位数。
3、一个两位数的十位数字与个位数字的和为 7,如果这个两位数加 45,那么恰好成为个位数字与十位
数字对调后所成的两位数,求这个两位数。
4、有一个两位数,其值等于十位数字与个位数字之和的 4 倍,其十位数字比个位数字小 2,求这个两
位数。
数字问题( 2)
【例】两个两位数的和是 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大
的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大 2178。
求这两个两位数。
分析:设较大的两位数为 x,较小的两位数为 y。
在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位可表示为 ;
在较大的两位数的左边写上较小的两位数,得到一个四位数可表示为 。
解:设较大的两位数为 x,较小的两位数为 y
x
由题意可列方程组 解得:
y
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答:较大的两位数为 ,较小的两位数为 。
1、两个两位数的和是 85,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两
位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大 1287。求这
两个两位数。
2、一个三位数和一个两位数的差为 225,在三位数的左边写这个两位数,得到一个五位数,在三位数
的右边写上这个两位数,也得到一个五位数。已知前面的五位数比后面的五位数大 225,求这个三位数
和两位数。
3、有一个三位数,现将最左边的数字移到最右边,则比原来的数小 45;又已知百位数字的 9 倍比由十
位数字和个位数字组成的两位数小 3,试求原来的三位数。
相遇问题
我们经常会遇到:甲、乙相向而行,途中相遇的行程问题,这类应用题中存在下面的等量关系:
乙走的路程
甲走的路程
甲走的路程+乙走的路程=总路程
A B
总路程
【例】甲、乙两人分别从
A、B 两地相向而行,甲的速度是乙的速度的
2 倍,如果 A、 B 两地相距 90
千米,同时出发经
2 小时两人相遇,求甲、乙两人的速度。
过
分析:两个等量关系:
1)甲的速度= 2×乙的速度;
( 2)甲走的路程+乙走的路程=
90 千米
(
解:设甲的速度为
x 千米 / 小时,乙的速度为 y 千米 / 小时
x
由题意可列方程组
解得
y
答:甲的速度为
千米 / 小时,乙的速度为
千米 / 小时。
1、甲、乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步,甲的速度是 6 米/ 秒,乙的速度是 4 米 / 秒。两人同
时同地反向跑步,经过 后两人第一次相遇。
2、甲的速度是 5km/h ,乙的速度是 6km/h,甲、乙两人同时出发相向而行, 7h 后相遇,则两地的距
离为 km。
3、甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行, 2 小时后相遇,若甲比乙每小时多骑 2.5
千米,求甲、乙两人的速度。
4、A、 B 两城相距 720km,普快列车从 A 城出发 120km 后,特快列车从 B 城开往 A 城, 6h 后两车
相遇。若普快列车的速度是特快列车速度的 2,求普快列车和特快列车的速度。
3
追击问题
我们还会遇到另一类行程应用题,即同时不同地的追击问题,这类问题存在下面的等量关系:
两者间的距离 先行者走的路程
追击者走的路程-先行者的路程=两者原来相距的路程
追击者走的路程
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【例】甲、乙两人相距 8km,二人同时出发,同向而行,甲 2.5h 可追上乙;相向而行, 1h 相遇,二
人的速度各是多少?
分析:两个等量关系:( 1 )同向而行时,甲走的路程-乙走的路程= 8km
( 2)相向而行时,甲走的路程+乙走的路程= 8km
解:设甲的速度为 xkm/h ,乙的速度为 ykm/h 。
x
由题意可列方程组 解得
y
答:甲的速度为 km/h,乙的速度为 km/h。
1、小明每秒跑 6 米,小彬每秒跑 5 米,小彬站在小明前 10 米处,两人同时起跑,小明 秒能追
上小彬。
2、甲以 5 千米 / 小时的速度先走 16 分钟,乙以 13 千米 / 小时的速度追甲, 则乙追到甲需要 小时。
3、甲、乙两人同时同地同向出发沿 400 米的环形跑道跑步,当甲第二次追上乙时,甲跑的路程比乙跑
的路程多 米。
4、甲、乙两人在一条长 400m的环形跑道上跑步,若同向跑步,则每隔 200s 相遇一次;若反向跑步,
则每隔 40s 相遇一次,已知甲比乙跑得快,求甲、乙两人的速度。
5、甲、乙两人同时绕 400 米的环形跑道行走,如果他们同时从同一起点背向而行, 2.5 分钟相遇;如果
他们同时从同一起点同向而行, 12.5 分钟甲能追上乙。求甲、乙每分钟各走多少米?
航行问题
顺水速度=静水速度+水速; 逆水速度=静水速度-水速
【例】两地相距 280km,一艘轮船在其间航行,顺流用了 14h,逆流用了 20h。求船在静水中的速度
和水流的速度。
分析:两个等量关系:( 1)顺水速度×顺流用的时间= 280km;( 2)逆流速度×逆流用的时间= 280
km。
解:设船在静水中的速度为 xkm/h ,水流速度为 ykm/h 。
x
由题意可列方程组 解得
y
答:船在静水中的速度为 km/h,水流速度为 km/h。
1
1、一艘船航行于甲、乙两地之间,顺水需 3h,逆水要比顺水多走 h,若水流速度为 2km/h,求船在
2
静水中的速度和甲、乙两地间的路程?
2、一艘船航行于 A、 B 两个码头之间,顺水航行需要 3 小时,逆水航行需要 5 小时,已知水流速度是
千米 / 小时,求这两个码头间的距离和船在静水中的速度?
3、轮船顺水行驶 36 千米,用了 3 小时;逆水行 24 千米,也用了 3 小时。求船在静水中的速度和水流
的速度?
山水是一部书,枝枝叶叶的文字间,声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点,在茂密纵深间,一条曲径,是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页,桃花面,杏花眼,柳腰春细;夏阳读一页,蔷花满架,木槿锦绣、合欢幽香、蜀葵
闲澹,一派峥嵘;秋风传一页,海棠妆欢,野菊淡姿,高远深邃;冬雪润一页,水仙临水一舞,腊梅素心磬口,向爱唱晚。
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