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解三角形题型总结

ABC 中的常见结论和定理：

一、

内角和定理及诱导公式：

1．因为 A

B

C，

所以 sin( A

B)

sin C ,

cos( A

B)

cosC ,

tan( A

B)

tan C；

sin( A

C )

sin B,

cos( A

C )

cos B,

tan( A

C )

tan B；

sin( B

C )

sin A,

cos(B

C )

cos A,

tan(B

C )

tan A

因为 A

B

C

,

2

2

所以 sin A

B

cos C ， cos A

B

sin C ，

2

2

2

2

2．大边对大角

3.在△ ABC

中，熟记并会证明 tanA+tanB+tanC=tanA tanB· ·tanC;

(2)A 、 B、 C 成等差数列的充要条件是

B=60°；

△ABC 是正三角形的充要条件是 A 、 B 、C 成等差数列且 a、 b、 c 成等比数列 .

二、 正弦定理 ：

文字：在 ABC 中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。

符号：

a

b

c

R

sin A

sin B

2

sin C

公式变形：① a 2R sin A

b 2R sin B

c

2R sin C (边转化成角）

a

b

sin C

c

② sin A

sin B

（角转化成边）

2R

2R

2R

a : b : c sin A : sin B : sin C

④

a

b

c

a

b

c

sin B

sin C

sin A

2R

sin A

sin B sin C

三、

余弦定理 ：

文字：在

ABC 中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的

余弦值的乘积的两倍。

符号： a 2

b2

c 2

2bc cos A

b2

a2

c 2

2ac cos Bc2

a2

b2

2ab cosC

b2

c2

a2

a2

c 2

b2

a2

b2

c2

变形： cos A

2bc

cos B

2ac

cosC

2ab

四、 面积公式 ：

（ 1） S

1 aha

（ 2） S

1 r (a b c) （其中 r 为三角形内切圆半径）

2

2

（ 3） S

1 ab sin C

1 bc sin A

1 ac sin B

2

2

2

五、 常见三角形的基本类型及解法：

（ 1）已知两角和一边（如已知

A, B, 边 c ）

解法：根据内角和求出角

C

( A B)；

根据正弦定理

a

b

c

2R 求出其余两边 a,b

sin A

sin B

sin C

（ 2）已知两边和夹角（如已知

a,b,C ）

解法：根据余弦定理

c2

a2

b2

2ab cosC 求出边 c；

根据余弦定理的变形

cos A

b 2

c2

a2

2bc

求 A；

根据内角和定理求角

B

( A

C ) .

（ 3）已知三边（如：

a,b, c ）

解法：根据余弦定理的变形

cos A

b 2

c2

a2

求 A；

2bc

根据余弦定理的变形

根据内角和定理求角



cos B

a2

c2

b2

2ac

求角 B；

C

( A

B)

（ 4）已知两边和其中一边对角（如：

a,b, A ）

（注意讨论解的情况）

解法 1：若只求第三边，用余弦定理：

c2

a2

b2

2ab cosC；

解法 2：若不是只求第三边，先用正弦定理

a

b

c

sin A

sin B

2R 求 B （可能出现一

sin C

解，两解或无解的情况，见题型一）

；

再根据内角和定理求角

C

( A

B)； .

先看一道例题：

例： 在 ABC 中，已知 b

6, c

2 3, B

300

，求角 C。（答案： C

450 或 1350 ）

六、 在



ABC 中，已知



a,b, A ，则



ABC 解的情况为：

法一：几何法（不建议使用）

（注：表中，



A 为锐角时，若



a



b sin A ，无解；

A 为锐角



A 为钝角或直角时，若



a b ，无解 . A 为钝角或直角

图

形

关系式

a b sin A

b sin A a b

a b

a b

解的

一解

两解

一解

一解

个数

法二：代数法（建议使用）

通过例子说明步骤：大角对大边 结合 正弦定理 一起使用（见题型一）

题型总结：

题型一、利用 正弦定理解决 “两边一对角 ”的类型

模型：在 ABC 中，已知边 a, b和角 A ,若不是求第三边 c，用正弦定理。

例 1：在

ABC 中，已知 a

2,c

2, A 450

，求∠ C。（答案： C 300 ）

例 2：在

ABC 中，已知 b

6, c

2

3, B

300

，求∠ C。（答案： C

450 或 1350 ）

a

2, b

2 , B

300

例 3：在

ABC 中，已知

2

，求∠ A 。（答案：无解）

例 4：（ 3）在 ABC 中，已知 a 2, b

1, B

300

，求∠ A 。（答案：一解）

练习： 1。在 ABC 中，已知 a

2,b

3, B 60 0

解三角形。

2．在

ABC 中，已知 b

3 , c

3, C

450 解三角形。

2

3．在

ABC 中，已知 a

3, c

4, A

600 解三角形。

题型二、利用 正弦定理解决 “已知两角一边 ”的类型

两角一边（两角一对边，两角一夹边）

模型 1：在

ABC 中，已知角 A, B 和边 a ,解三角形。

模型 2：在

ABC 中，已知角 A, B 和边 c ,解三角形。

用正弦定理

例题：

例题 1：在

ABC 中，已知 A

30 0 , B

450 ,a

2 解三角形。

解析：根据三角形内角和定理，得

C

1800

( A

B) 1800

750

1050 ，再根据正弦定

a

b

a sin B

2

2

b

2

2 2 ， 再 根 据 余 弦 定 理

理

sin A

， 得

sin A

1

sin B

2

c2

a2

b2

2ab cosC ，

得 c

2

2

2

2

2 cos105

0

8

4

3

（ 2

2

（2 2） 2 2 2

6），所以 c26

综上： C

1050 , b 2 2 , c

26 。

例题 2：在

ABC 中，已知 B

750 , C

450 , a

2

3 解三角形。

解析：根据三角形内角和定理，得

A

1800

( B

C ) 1800

1200

600 ，再根据正弦定

2

2

6

a

b

a sin B

3

4

2

6 ， 再 根 据 正 弦 定 理

理

， 得 b

3

sin A

sin B

sin A

2

2

2

a

c

a sin C

3

2

2

2 。综上， A

60

0

, b26, c 2 2 。

sin A

，得 c

sin A

3

sin C

2

练习：

1 在

ABC 中，已知 B

600 ,C

150 , c

4 解三角形。

2 在

ABC 中，已知 A

450 ,C

600 , b

6 解三角形。

题型三、利用余弦定理解决 “已知两边一夹角 ”的类型

模型：在 ABC 中，已知边 a, b和角 C ,解三角形。用余弦定理

例题 1：在 ABC 中，已知 a

1, b

2, C 600 解三角形。

解析：根据余弦定理 c 2

a2

b2

2ab cosC ，得 c2

12

22

2 1 2

1

3 ，

2

2

2

2

2

（

2

2

a

c

b

1

）

所以 c

3 ，再根据余弦定理，得

0

，

cosB

2ac

2 1

3

又因为 00

B 1800 ，所以 B

90 0 ，

再根据内角和定理，得

A 1800

(B C )

1800

1500

300 。

综上， A

300 , B 900 , c

3 。

练习：

1 在 ABC 中，已知 a

4, b

2, C

600 解三角形。

题型四、利用余弦定理解决 “已知三边 ”的类型

模型：已知边 a,b, c 解三角形。根据余弦定理， cos A

b2

c2

a2

，cos B

a 2

c2

b2

2bc

2ac

，

a2

b2

c2

，分别求得角

A, B, C （或根据内角和定理求得角

C )。

cosC

2ab

例题

：在

ABC

中，已知 a

2,b

4, c 2

3

解三角形。

1

2

2

2

2

（

2

2

b

c

a 4

）

- 2

3

解 析 ： 根 据 余 弦 定 理 ， 得 cos A

2

3

， 又 因 为

2bc

2 4 2

3

2

00

A 1800 ，所以 A

30 0 ，再根据余弦定理，

2

2

2

2

（

2

2

得 cosB

a

c

b

2

）

0 ，又

00

B

1800 ,所以 B

900 ,

2

3

- 4

2ac

2 2 2

3

再根据三角形内角和定理，得

C

1800

( A

B)

1800

1200

600

。

综上， A

300 ， B

900 , C

600 。

练习：

1 在

6

2

ABC 中，已知 a2, b3, c

解三角形。

2

题型五、利用余弦定理解决 “已知两边一对角 ”的类型

模型：在 ABC 中，已知边 a, b和角 A ,若只求第三边 c，用余弦定理。

模型： 在 ABC 中，已知边 a,b 和角 A ,若不是只求第三边 c，用正弦定理。

例题：

例题 1：在

ABC 中，已知 a

2, c

2 , A

450

，求边 b。

解析：根据余弦定理 a

2

b

2

c

2

2bc cos A ，得 2

2

b

2

2

2 cos45

0

，

（ 2） 2b

既 b2

2b

2 0 ，解得 b

1

3 或 b

1

3 （舍去），

练习： 在 ABC 中，已知 b 6, c 2 3, B 30 0 ，求边 a。（答案： a 3 3 ）

题型六、 三角形面积

例 1．在

ABC 中， sin A

cos A

2 ， AC

2 ， AB

3 ，求 tan A 的值和

ABC的面

2

积。

解：由 sin A

cos A 计算它的对偶关系式

sin A

cos A 的值。

sin A

cos A

2

①

2

(sin A

cos A) 2

1

2

2sin Acos A

1

2

Q 0o

180o ,

A

sin A

0,cos A

0.

另解 (sin 2A

1)

2

(sin A cos A)2

1

2sin A cos A

3

,

2

sin A

cos A

6

②

2

① +②得 sin A

2

6 ， ①－②得 cos A

2

6 。

4

4

sin A

2

6

4

2

3 。

从而 tan A

4

2

6

cosA

S ABC

1 AC

AB sin A

1

2

3

2

6

3 ( 26) 以下解法略去。

2

2

4

4

练习 1． 在 ABC 中 ,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知 cos2 A 3cos B C 1 .

(I) 求角 A 的大小 ;

(II) 若 ABC 的面积 S

5

3 , b 5 ,求 sin Bsin C 的值 .

解 :(I) 由已知条件得 : cos2 A

3cos A 1

2cos 2 A 3cos A 2

0 ,

1

解得 cos A ,角 A 60

2

(II) S



1 bc sin

2



A



5 3



c 4 ,

由余弦定理得 : a2

2

a

2

21 , 2R

28

A

sin2

sin B sin C

bc

5

4R2

7

练习 2. 已知 △ABC 的周长为

2

1，且 sin A

sin B

2 sin C ．

（ I ）求边 AB 的长；（ II ）若 △ ABC 的面积为

1

sin C ，求角 C 的度数．

6

解：（ I ）由题意及正弦定理，得

AB

BC

AC

2 1， BC

AC

2AB ，

两式相减，得

AB

1

．

（ II ）由 △ ABC 的面积

1

BCgACgsin C

1

sin C ，得 BCgAC

1

，

2

6

3

由余弦定理， 得 cosC

AC 2

BC2

AB 2

( AC BC)2

2 AC gBC

AB 2

1

g

g

，

2 AC BC

2 AC BC

2

所以 C

60o ．

练习 3．在 △ ABC 中，内角 A， B， C 对边的边长分别是

a， b，c ，已知 c

2 ， C

．

3

（Ⅰ）若 △ ABC 的面积等于

3 ，求 a，b；

（Ⅱ）若 sin C

sin( B A)

2sin 2 A ，求 △ ABC 的面积．

解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，

a2

b2

ab

4 ，

又因为 △ ABC 的面积等于

3 ，所以 1

ab sin C

3 ，得 ab

4

．

2

联立方程组

a

2

b

2

，

2 ， b

2 ．

ab 4

解得 a

ab

，

4

（Ⅱ）由题意得

sin( B

A)

sin( B

A)

4sin A cos A ，

即 sin B cosA

2sin A cos A ，

①当 cos A

0

时， A

， B

， a

4

3

2

3

3

， b

，

2

6

3

②当 cos A

0

时，得 sin B

2sin A ，由正弦定理得

b

2a ，

a

2

b

2

，

2

3

， b

4 3

联立方程组

，

ab 4

解得 a

．

b

3

3

2a

所以 △ ABC 的面积 S

1 ab sin C

2

3

．

2

3

题型七：看到 “ a2 = b 2+c 2－bc” 想到余弦定理

例 1：在 △ABC 中， a、 b、 c 分别是∠ A、∠ B、∠ C 的对边长，已知 b2 ac ，

a2－c2=ac－ bc，求∠ A 的大小及 bsin B 的值。

　c

分析：因给出的是 a、 b、c 之间的等量关系，要求∠ A，需找∠ A 与三边的关系，故可用余

弦定理。由 b2 =ac 可变形为

b2

=a，再用正弦定理可求

bsin B 的值。

c

c

解法一：∵ b2=ac。

a2－ c2=ac－ bc，∴ b2+c2－ a2=bc。

b 2

c2

a 2

bc

1

在 △ABC 中，由余弦定理得： cosA=

2bc

= 2bc =

，

2

∴∠ A=60°。

在 △ABC 中，由正弦定理得

sinB= bsin A ，∵ b2=ac，

a

∠ A=60°，

b sin B

b 2 sin 60

3

∴

ac

=sin60 =°。

c

2

解法二：在 △ABC 中，

由面积公式得

1

1

acsinB。

bcsinA=

2

2

b2=ac，∠ A=60 °，∴ bcsinA=b2sinB。

∴ b sin B =sin A=

3 。

c

2

评述：解三角形时， 找三边一角之间的关系常用余弦定理， 找两边两角之间的关系常用

正弦定理。

题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状 —— 边角互化问题

例 1. 在 ABC

中，已知 2 sin A cosB

sin C ，那么 ABC 一定是（

）

A ．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．正三角形

解法 1：由 2 sin A cosB sin C ＝ sin(A＋ B)＝ sinAcosB＋ cosAsinB，

sinAcosB－ cosAsinB＝ 0，得 sin(A－ B)＝ 0，得 A＝B．故选 (B) ．

解法 2：由题意，得

cosB＝ sin C

c ，再由余弦定理，得

cosB＝ a2

c2

2sin A

2a

2ac

∴

a2

c2

b2

＝

c

2

2

，即 a

＝ b ，得 a＝ b，故选 (B) ．

2ac 2a

评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断 (如解法⑵统一化为边，再判断 ( 如解法 2)．

例 2. 在

ABC 中，若 a

2

tan A ，试判断△ ABC 的形状。

b

2

tan B

答案：故△ ABC 为等腰三角形或直角三角形。

练习 1. 在 ABC 中， a cos A b cos ，判断△ ABC 的形状。

答案： ABC 为等腰三角形或直角三角形。



2

b ．

1)，

练习 2、在 ABC 中 , a2 sin B b2 sin A ，这个三角形是 __________ 三角形。

练习 3、 在 ABC中， a c sin A且 sin C 2sin Asin B,判断 ABC的形状。

题型九：三角形中最值问题

例 1． ABC 的三个内角为

A、B、C ，求当 A 为何值时， cosA

2cos B

C 取得最大值，

2

并求出这个最大值。

π

=sinA 。

解析：由 A+B+C=π ，得 B+C = － A ，所以有 cosB+C

2

2

2

2

2

B+C

A

2A

A

A

1 2

3

cosA+2cos

2

=cosA+2sin 2

=1 － 2sin 2

+ 2sin 2 =－ 2(sin 2

－ 2) +

；

2

当 sinA

1，即 A= π

B+C 取得最大值为 3。

2 =

2

3

时 , cosA+2cos 2

2

点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，

通过三

角函数的性质求得结果。

练习 . 设锐角 ABC 的内角 A、B、C 的对边为 a,b, c ， a 2b sin A

（ 1）

求∠ B 的大小。

（ 2）求 cosA

sin C 的取值范围。

　 ( 3 , 3)

6

2

2

题型十、边角互化问题

1、 在 ABC 中，已知 2b=a+c ， 证明 ：2 sinB= sinA+ sinC

例 2、在 ABC 中， a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，试证明： a = b cosC + c cosB

例

3 、 已 知 a，b，c 为 ABC 的 三 个 内 角 A，B，C

的 对 边 ， 向 量 m

( 3， 1) ，

n (cos A，sin A) ．若 m n ，且 a cosB bcos A

csin C ，则角 B

．

例 4 、在



ABC



中，已知



BC= a， AC= b，且



a， b



是方程



x2



2 3x



2



0 的两个根，

2 cos( A



B)



1求：⑴角



C 的度数



⑵ AB 的长

例



5.



已知



ABC 的周长为



2 1，且 sin A



sin B



2 sin C



．

⑴求边



AB 的长；⑵若



△ ABC 的面积为



1



sinC ，求角



C 的度数．

6

练 习

1 ． 设 ABC 的 内 角 A，B，C 所 对 的 边 长 分 别 为 a，b， c ， 且 a cosB 3 ，

b sin A 4 ．⑴ 求边长 a；⑵ 若 ABC 的面积 S 10 ，求 ABC 的周长 l ．

练习 2. 在

ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是

a，b，c ，已知 c 2 ， C

．

3

（Ⅰ）若

ABC 的面积等于

3 ，求 a， b；（Ⅱ）若 sin C

sin( B A) 2sin 2A ，求

ABC

的面积

练习 3.在 ABC 中 a,b, c 分别为

A, B,

C

的对边，若 2sin A(cosB cosC)

3(sinB sinC) ，

（ 1）求 A 的大小；（ 2）若 a

61, b

c

9 ，求 b 和 c 的值。

题型十一：正余弦定理的实际应用

例 6．（ 2009 辽宁卷文，理）如图， A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B ，D 为两

岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 750 ， 300 ，

于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 600 ，AC=0.1km 。试探究图中 B ，D 间距离与

另外哪两点间距离相等，然后求 B ，D 的距离（计算结果精确

到 0.01km， 2 1.414， 6 2.449）

:在 △ ABC 中，∠ DAC=30° , ∠ ADC=60° －∠ DAC=30,

所以 CD=AC=0.1 又∠ BCD=180° －60°－ 60°=60°，

故 CB 是 △CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA ， 在△ ABC 中，

AB

AC

, 即 AB=

sin BCA

sin

ABC

3

2

6

0.33km。

因此， BD=

20



ACsin60 3 2 6

,

sin 15

20

B， D 的距离约为 0.33km。

点评：解三角形等内容提到高中来学习， 又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。

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