初中数学经典几何题及答案解析总结计划（12页）
时间：2020-11-17 00:15:40 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
经典难题（一）
1、已知：如图， O是半圆的圆心， C、 E 是圆上的两点， CD⊥ AB，EF⊥ AB， EG⊥ CO．
求证： CD＝ GF．（初二）
C
E
A
G
O
B
D
F
2、已知：如图， P 是正方形 ABCD内点，∠ PAD＝∠ PDA＝ 150．
求证：△ PBC是正三角形．（初二）
A
D
P
B C
3、如图，已知四边形
ABCD、 A1B1C1D1 都是正方形， A2、 B2、 C2、 D2 分别是 AA1、BB1、 CC1、 DD1
的中点．
A
D
求证：四边形
2
2 2 2
是正方形．（初二）
AB CD
A2
D2
A1
D
1
B1
C
1
B2
C2
B
C
4、已知：如图，在四边形 ABCD中， AD＝ BC，M、N 分别是 AB、CD的中点， AD、BC的延长线
交 MN于 E、 F．
F
求证：∠ DEN＝∠ F．
E
N C
D
A B
M
经 典 难 题（二）
1、已知：△ ABC中， H 为垂心（各边高线的交点）
， O为外心，且 OM⊥ BC于 M．
（ 1）求证： AH＝2OM；
A
（ 2）若∠ BAC＝ 600，求证： AH＝ AO．（初二）
O
·
H
E
B
M D
C
2、设 MN是圆 O外一直线， 过 O作 OA⊥ MN于 A，自 A引圆的两条直线，
交圆于 B、C及 D、E，
直线 EB及 CD分别交 MN于 P、 Q．
G
求证： AP＝ AQ．（初二）
E
C O·
B D
M N
P A Q
3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设 MN是圆 O的弦，过 MN的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、 EB分别交 MN于 P、 Q．
求证： AP＝AQ．（初二）
C
E
A
M
Q
·
P
N
·O
B
D
4、如图，分别以△ ABC的 AC和 BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG，
点 P 是 EF的中点．
D
求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB的一半．（初二）
G
C
E
P
F
A Q B
经 典 难 题（三）
1、如图，四边形 ABCD为正方形， DE∥AC， AE＝AC，
AE 与 CD相交于 F．
求证： CE＝ CF．（初二）
延长 CD至 G，使 CD=DG，连结 AG、 EG。则 AG=AC
易证得△ AED≌△ GED，得 AE=GE，则 AE=AG=GE，得∠ AEG =60°
2、如图，四边形 ABCD为正方形， DE∥AC，且 CE＝ CA，直线 EC交 DA延长线于 F．
求证： AE＝ AF．（初二）
A D
F
B C
E
3、设 P 是正方形 ABCD一边 BC上的任一点， PF⊥ AP， CF平分∠ DCE．
求证： PA＝ PF．（初二）
A
D
F
B P C E
4、如图， PC切圆 O于 C，AC为圆的直径， PEF为圆的割线， AE、AF 与直线 PO相交于 B、D．求
证： AB＝ DC， BC＝ AD．（初三）
A
B O D
P
E
F
C
经 典 难 题（四）
1、已知：△ ABC是正三角形， P 是三角形内一点， PA＝3， PB＝ 4， PC＝ 5．
求：∠ APB的度数．（初二）
A
P
B
C
2、设 P 是平行四边形 ABCD内部的一点，且∠
PBA＝∠ PDA．
求证：∠ PAB＝∠ PCB．（初二）
A
D
P
B
C
3、设 ABCD为圆内接凸四边形，求证： AB· CD＋AD· BC＝AC· BD．（初三）
A
D
B C
4、平行四边形 ABCD中，设 E、 F 分别是 BC、 AB上的一点， AE 与 CF相交于 P，且AE＝ CF．求证：∠ DPA＝∠ DPC．（初二）
A D
F
P
B E C
经 典 难 题（五）
1、设 P 是边长为 1 的正△ ABC内任一点， L＝ PA＋ PB＋PC，求证：≤ L＜ 2．
A
P
B C
2、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD内的一点，求 PA＋ PB＋ PC的最小值．
A D
P
B C
3、 P 为正方形 ABCD内的一点，并且 PA＝ a， PB＝ 2a， PC＝ 3a，求正方形的边长．
A D
P
B C
4、如图，△ ABC中，∠ ABC＝∠ ACB＝ 800， D、 E 分别是 AB、 AC上的点，∠ DCA＝ 300，∠ EBA
＝ 200，求∠ BED的度数． A
E
D
B C
经 典 难 题（一）
如下图做 GH⊥ AB,连接 EO。由于 GOFE四点共圆，所以∠ GFH＝∠ OEG,
即△ GHF∽△ OGE,可得 EO = GO = CO , 又 CO=EO，所以 CD=GF得证。
GF GH CD
如下图做△ DGC使与△ ADP全等，可得△ PDG为等边△，从而可得
DGC≌△ APD≌△ CGP,得出 PC=AD=DC,和∠ DCG=∠ PCG＝ 150
0
所以∠ DCP=30 ，从而得出△ PBC是正三角形
如下图 连接 BC1 和 AB1 分别找其中点 F,E. 连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q点，连接 EB2 并延长交 C2Q于 H点，连接 FB2 并延长交 A2Q于 G点，
由 AE=
1
A B =
1
B1C= FB
，EB=
1
AB=
1
0
和
2
1
1
1
2
2
1
GEB2+∠ Q=900, 所以∠ GEB2=∠ GFQ又∠ B2FC2=∠A2EB2 ，
可得△ B2 FC2≌△ A2EB2 ，所以 A2B2=B2C2 ，
0
又∠ GFQ+∠ HB2F=90 和∠ GFQ=∠ EB2A2 ,
0
从而可得∠ A2B2 C 2=90 ，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形 A2 B2C2D2 是正方形。
如下图 连接 AC并取其中点 Q，连接 QN和 QM，所以可得 ∠QMF=∠ F，∠ QNM=∠DEN
和∠ QMN=∠QNM，从而得出∠ DEN＝∠ F。
经 典 难 题（二）
1.(1) 延长 AD到 F 连 BF，做 OG⊥ AF,
又∠ F=∠ ACB=∠ BHD，
可得 BH=BF,从而可得 HD=DF，
又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
0
(2) 连接 OB，OC,既得 ∠ BOC=120，
0
从而可得∠ BOM=60,
所以可得 OB=2OM=AH=AO,
得证。
作 OF⊥ CD，OG⊥ BE，连接 OP， OA， OF， AF， OG， AG，OQ。
由于 AD= AC= CD= 2FD= FD，
AB AE BE 2BG BG
由此可得△ ADF≌△ ABG，从而可得∠ AFC=∠ AGE。
又因为 PFOA与 QGOA四点共圆，可得∠ AFC=∠AOP和∠ AGE=∠ AOQ，
AOP=∠AOQ，从而可得 AP=AQ。
过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=EG + FH 。
2
由△ EGA≌△ AIC，可得 EG=AI，由△ BFH≌△ CBI，可得 FH=BI。
AI+BI AB
2
经典难题（三）
顺时针旋转 △ ADE，到△ ABG，连接 CG.
0 0 0
由于 ∠ ABG=∠ ADE=90+45 =135
从而可得 B， G，D 在一条直线上，可得△ AGB≌△ CGB。
推出 AE=AG=AC=GC，可得△ AGC为等边三角形。
0 0 0
∠ AGB=30，既得∠ EAC=30，从而可得∠ A EC=75 。
0 0 0
又∠ EFC=∠ DFA=45+30 =75 .
可证： CE=CF。
连接 BD作 CH⊥ DE，可得四边形 CGDH是正方形。
由 AC=CE=2GC=2CH，
0
0
可得∠ CEH=30，所以∠ CAE=∠ CEA=∠AED=15，
0
0
0
0
又∠ FAE=90+45
+15 =150 ，
从而可知道∠ F=150，从而得出 AE=AF。
作 FG⊥ CD，FE⊥ BE，可以得出 GFEC为正方形。令 AB=Y ， BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。
X Z
tan ∠ BAP=tan∠ EPF= =
2
，可得 YZ=XY-X+XZ，
Y- X+Z
即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出△ ABP≌△ PEF ，
得到 PA＝ PF ，得证 。
经 典 难 题（四）
顺时针旋转 △ ABP 60 0 ，连接 PQ ，则△ PBQ是正三角形。
可得 △ PQC是直角三角形。
0
所以∠ APB=150 。
作过 P点平行于 AD的直线，并选一点 E，使 AE∥ DC，BE∥PC.
可以得出 ∠ ABP=∠ ADP=∠ AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等） 。
可得∠ BAP=∠ BEP=∠ BCP，得证。
在 BD取一点 E，使 ∠ BCE=∠ ACD，既得△ BEC∽△ ADC，可得：
BE = AD ，即 AD?BC=BE?AC， ①
BC AC
又∠ ACB=∠ DCE，可得△ ABC∽△ DEC，既得
AB = DE ，即 AB?CD=DE?AC， ②
AC DC
由① +②可得 : AB ?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC· BD ，得证。
过 D作 AQ⊥ AE ， AG⊥CF ，由 SV ADE = SY ABCD = SVDFC ，可得：
2
AE gPQ = AE gPQ ，由 AE=FC。
2 2
可得 DQ=DG，可得∠ DPA＝∠ DPC（角平分线逆定理） 。
经 典 难 题（五）
（1）顺时针旋转 △ BPC 600 ，可得△ PBE为等边三角形。
既得 PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要 AP， PE， EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 L=；
（ 2）过 P 点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D，F。
由于 ∠ APD>∠ ATP=∠ ADP，
推出 AD>AP
又 BP+DP>BP
和 PF+FC>PC
①
②
③
又
DF=AF
④
由①②③④可得：最大
由（ 1）和（ 2）既得：≤ L＜ 2
L< 2 。
；
顺时针旋转 △ BPC 600 ，可得△ PBE为等边三角形。
既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP， PE， EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。
既得 AF= 1+ (
3+1)2
=
2+ 3=
4+2 3
4
2
2
=
( 3+1)2
=
2( 3+1)
2
2
=
6 +
2 。
2
顺时针旋转 △ ABP 90 0 ，可得如下图：
既得正方形边长 L = (2 +
2)2+(
2 ) 2 ga = 5 + 2 2 ga 。
2
2
0
4. 在 AB上找一点 F，使 ∠ BCF=60 ，
连接 EF， DG，既得△ BGC为等边三角形，
0
0
可得∠ DCF=10 ,
∠ FCE=20 , 推出△ ABE≌△ ACF ，
得到 BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △ FGE为等边三角形
，可得∠ AFE=800 ，
0
①
既得：∠ DFG=40
0
，既得∠
0
②
又 BD=BC=BG，既得∠ BGD=80
DGF=40
推得： DF=DG ,得到：△ DFE≌△ DGE ，
0
。
从而推得：∠ FED=∠ BED=30
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