平面向量学习知识点及方法总结计划总结计划x
时间：2020-09-27 16:28:04 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
平面向量知识点小结及常用解题方法
一、平面向量两个定理
平面向量的基本定理 2. 共线向量定理。二、平面向量的数量积
r
r
r
，它是一个实数，但不一定大于
0.
1. 向量 b 在向量
a 上的投影：
|b | cos
r
r
r
r
r
r
r
r
2. a b 的几何意义：数量积 a
b 等于
a 的模
| a |与 b 在
a 上的投影的积 .
三 坐标运算： 设 ar
(x1, y1 ) ， br
( x2 , y2 ) ，则
r r
（ 1）向量的加减法运算：
r
r
(x1
x2 , y1
( x1
x2 , y1
y2 ) .
a
b
y2 ) ， a b
（ 2）实数与向量的积：
r
( x1 , y1 )
(
x1,
y1 ) .
a
（ 3）若 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则
uuur
y1) ，即一个向量的坐标等于表示这
AB
(x2
x1 , y2
个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
r
r
y1 y2
r 2
r 2
x
2
y
2
r
x
2
2
.
（ 4）平面向量数量积： a
b x1x2
.（5）向量的模： a
| a |
| a |
y
四、向量平行 ( 共线 ) 的充要条件
r r
r
r r
r
r r
2
r
r
2
x1 y2
y1x2
0 .
a / /b
a
b(b 0)
( a b)
(| a || b |)
五、向量垂直的充要条件
r r
r r
r
r
r
r
x1 x2
y1 y2
0 .
a b
a b 0
| a b | | a b |
r
r
( x2 , y
r r
x1 x2
y1 y2
六． a ( x1 , y1 ), b
2 )cos p a,b f
y12 . x2 2
y22
x12
七、向量中一些常用的结论
三角形重心公式
在 △ABC 中，若 A( x1 , y1) ，B(x2 , y2 ) ，C( x3, y3 ) ，则重心坐标为 G ( x1
x 2
x3 , y1
y 2y 3 ) .
3
3
2.
三角形“三心”的向量表示
uuur uuur
uuur
r
G 为△ ABC 的重心 .
（1） GA GB
GC
0
uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
P 为△ ABC 的垂心 .
（ 2） PA PB
PB PC
PC PA
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
0P 为△ ABC 的内心；
（ 3） | AB | PC
| BC | PA
| CA | PB
3.
uuur uuur uuur
中三终点 A, B,C 共线
存在实数,
，使得
uuur
uuur
uuur
且
向量 PA, PB, PC
PA
PB
PC
1．
4.
uuur
uuur
uuur
在 △ABC 中若 D 为 BC边中点则 AD
1 ( AB
AC )
uuur
uuur
2
5.
与 AB 共线的单位向量是
AB
uuur
| AB |
七．向量问题中常用的方法
（一）基本结论的应用
1. 设点
是线段
的中点，点
A
在直线
uuur 2
uuur
uuur
uuur
uuuruuuur
外，
16, AB
AC
AB
AC
则 AM
M
BC
BC
BC
（ A） 8（ B）4（C）2（D） 1
2. 已知 ABC 和点 M满足 MA MB +MC
0 . 若存在实数 m使得 AB AC
m AM 成立，
则 m=A． 2B．3C． 4D． 5
r
r
r
3.
a
设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，能使
r
| a |
r
rr
r
r
rr rr r
A、 a
b B、 a // b C、 a
2b D、 a // b 且 | a | |b |
4.
已知点 A 1,3
, B 4,
1
uuur
,则与向量 AB同方向的单位向量为
r
b
r 成立的条件是（）
| b |
____________
5.
r
r
(4,2)
r
r
r
r
r
rr
平面向量 a
(1,2) ， b
， c
ma
b （ m
R ），且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹
角，则 m （） A、 2 B、
1C、 1D、 2
6.
uuur
1 uuur
uuur 2
uuur
uuur
ABC 中 AN
NC ,P 是 BN上一点若
AP
AC
mAB 则 m=__________
3
11
uur 2
uuur 2
uur 2
uuur 2
uuur 2
uuur 2
为 ABC 平面内一点，若 oA
BC
oB
CA
oC
AB 则 o 是 ABC ____心
8.
（2017 课标 I 理）已知向量 a, b 的夹角为 60 0 , a
2, b
1，则 a
2b .
（二）利用投影定义
ABC中， AD
uuur
uuur
uuur
1 ，则
9. 如图，在
AB ， BC
3 BD ， AD
uuur
uuur
3 （C）
3 （D 3
AC AD =（ A） 2 3 （B）
2
3
10. 已知点 A 1,1 . B 1,2 . C
2, 1
. D 3,4
uuur
uuur
, 则向量 AB 在 CD 方向上的投影为
A． 3 2
B． 3 15
C．
3 2
D． 3 15
2
2
2
2
11 设
ABC, P0 是边 AB 上一定点 , 满足 P0 B
1 AB
4
, 且对于边 AB 上任一点 P , 恒有
PB ? PC P0 B ? P0 C 则
A．
ABC
90
0
．
0
C
．
AB AC
B
BAC 90
D． AC BC
（二）利用坐标法
12. 已 知 直 角 梯 形 ABCD 中 ，
uuur
uuur
AD BC
ADC
900 AD
2, BC
1 P DC PA
3PB 13．（ 2017 课标 II
理）已知
ABC 是
边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，
uuur uuur
uuur
A. 2
3
C .
4
D. 1
PA (PB
PC ) 的最小值是（）
B.
3
2
（三）向量问题基底化
uuuv
uuuvuuuv
uuuv
uuuv
uuuv
14. 在边长为 1 的正三角形 ABC中 , 设 BC
2BD ,CA
3CE, 则 AD
BE
____________．
15. （ 2017
天津理）在
ABC 中， ∠A
60
， AB 3 ， AC
uuur
uuur
2 . 若 BD
2DC ，
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
4
，则
的值为 ___________.
AE
AC
AB (
R ) ，且 AD AE
见上第 11 题
（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化
uuur
1 uuur
uuur
2 uuur
uuur
例题 1. ABC 中 AN
NC ,P 是 BN上一点若 AP
AC
mAB 则 m=__________
3
11
2. （ 2017 课标 I
理）已知向量 a, b 的夹角为 600 , a
2, b
1，则 a
2b
3、 如图，在
uuur
uuur
uuur
1 ，
ABC 中， ADAB ， BC
3 BD ， AD
则
uuur uuur
3 （C）
3 （D
3
AC AD =（ A） 2 3 （B）
2
3
17. 设向量 a，b，c 满足 a = b =1， agb =
1
c =600 ，则 c 的最大值等于
2 ， a
c, b
A． 2
B． 3
C． 2
D．1
18. 若 a ， b ， c 均为单位向量，且
a b
0 ， (a
c) (b c)
0 ，则 | a
b c | 的最大值为
（ A） 2 1
（B） 1
（ C） 2
（ D） 2
19. 已知 a,b 是单位向量 , agb
0 . 若向量 c 满足 c
a
b
1, 则 c 的取值范围是
A． 2-1，, 2+1
B．
2-1，, 2+2 C．
1，, 2+1
D．
1，, 2+2
20. 已知两个非零向量
，
b
满足 |
+ |=|
a
| ，则下面结论正确的是
a
a b
b
(A) a∥ b(B) a⊥ b(C)(D)
a+b=a
b
（五）向量与解三角形
uuur uuur
___ .
21．在△ ABC中， AB=2， AC=3， AB gBC =1 则 BC
ur ur
ur
r ur
r
ur ur ur
r ur r ur
1,
ur r ur
夹角1200
ur
取值
22. 已知平面向量 ,
,(
0,
0) 满足 , ,(
0,
0)
与 -
，求
范围 _______
uur
uur
uuur
0
若
cosB
uuur
cosC
uuur
uur
23. 锐角三角形 ABC中 oA
oB
oC , A 30
. AB
.AC
2moA求m
sin C
sin B
