线性代数习题及解答知识交流x

线性代数习题及解答

线性代数习题一

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，|| |表示向量 的长度， T表示向量 的转

置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20 分)

在每小题列岀的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或

a11

无

a3

3a“ 3也 3an

1.设行列式

a21

a22

a23

=2，则

*31 a32 a33

a31

a32

a33

a 21 a31 *22 a 32 a23 a 33

未选均无分。

=(

B . -3

2 .设矩阵A

2 .设矩阵

A, X为同阶方阵，且

A可逆，若A (X-E) =E，则矩阵X=(

A . E+A-1

A . E+A-1

E-A

C. E+A

E-A-1

3 .设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是可逆,且其逆为A-1B-1不可逆可逆,且其逆为B-1A-1可逆，且其逆为A-1B-14 ?设k是n维列向量，则k线性无关的充分必要条件是A .向量组1,2,

3 .设矩阵

A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是

可逆,

且其逆为

A-1

B-1

不可逆

可逆,

且其逆为

B-1

A-1

可逆，且其逆为

A-1

B-1

4 ?设

k是n维列向量，则

k线性无关的充分必要条件是

A .向量组

1,

2,

k中任意两个向量线性无关

B.存在一组不全为

0的数

l1 , |2,…，|k,使得 l1 1+l2

2++|k k工0

C .向量组

k中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D .向量组

k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5 .已知向量

(1,

T

2, 2, 1) ,3 2

T

(1, 4, 3,0)

A. ( 0, -2,

-1,

(-2, 0，-1,

C. ( 1, -1 ,

-2,

(2, -6, -5,

-1) T

6.实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}

6.实数向量空间

V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是

?设 是非齐次线性方程组 Ax = b的解,是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

?设 是非齐次线性方程组 Ax = b的解,

是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

A. + 是Ax = 0的解

B . + 是Ax =b的解

C. - 是Ax=b的解

D . - 是Ax = 0的解

则A-1的特征值为B . 2,4,

则A-1的特征值为

B . 2,4,3

2 4

1

A . 2,4, -

3

D . 2,4,3

1

.设矩阵A= 2 ，则与矩阵A相似的矩阵是( )

1

.以下关于正定矩阵叙述正确的是(

.以下关于正定矩阵叙述正确的是(

A .正定矩阵的乘积一定是正定矩阵

C .正定矩阵的行列式一定大于零

B .正定矩阵的行列式一定小于零

D.正定矩阵的差一定是正定矩阵

1 1

0

1

A .

1 2

B .

1

0

3

2

2

1

C .

1

D .

2

1

1

二、填空题(本大题共10小题，每空2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

.设 det (A)=-1，det(B)=2，且 A，B 为同阶方阵，则 det ((AB)3)=

1

2

2

12 .设3阶矩阵A=

4

t

3

，B为3阶非零矩阵，且 AB =0，则t=

3

1

1

TOC \o "1-5" \h \z .设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵 A的逆A-1= .

.实向量空间Rn的维数是 .

.设A是mxn矩阵，r (A)=r，则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为 .

.非齐次线性方程组 Ax = b有解的充分必要条件是 .

.设 是齐次线性方程组 Ax=0的解，而 是非齐次线性方程组 Ax=b的解，则A(3 2 ) =

.设方阵A有一个特征值为8，贝U det (-8E+A) = .

.设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||= .

220.二 次型 f(X,X2,X3) X三、计算题(本大题共6

2

20.二 次型 f(X,X2,X3) X

三、计算题(本大题共6小题,

每小题9分，共54分)

21 ?计算行列式

22 .设矩阵A =

，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B.

23 ?设向量组 勺(3,1,2,0),

(0,7,1,3), 3 ( 1,2,0,1), 4 (6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余

向量通过极大线性无关组表示岀来.

24.设三阶矩阵A=

，求矩阵A的特征值和特征向量.

2 2

5X2 6x3 4x1X2 2X|X3 2X2X3的正惯性指数是

25?求下列齐次线性方程组的通解.

x2X

x

2X

X3 5x4 0

x2 3x4 0

X

X2

X3

2x4 0

2

2

4 2

0

26.求矩阵

3

0

6 1

1

A =

0

3

0 0

1

的秩.

1

1

2 1

0

四、证明题

(本大题共

1小题，

6分)

a11

a12

a13

27.设三阶矩阵

A=

a21

a22

a23

的行列式不等于

a31

a 32

a33

a11

a12

a13

1

a21 ,

2

a 22 ,

3

a23 线性无关

a31

a32

a33

0,证明:

线性代数习题二

说明：在本卷中,AT表示矩阵

说明：在本卷中,

AT表示矩阵A的转置矩阵,

A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵

A表示方阵A的行

列式，r(A)表示矩阵A的秩

1.设3阶方阵A的行列式为2，则

1a

2

()

1

A.-1

B.

—

4

1

C.-

D.1

4

x 2 x 1

x

2

2.设 f(x)

2x 2 2x 1

2x

2

,则方程

f （x） 0的根的个数为（）

3x 2 3x 2

3x

5

A.0

B.1

C.2

D.3

一、单项选择题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列岀的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或 未选均无分。

3?设A为n阶方阵，将

A的第1列与第2列交换得到方阵

B，若A

a. A 0 b. A B 0

C. A 0 d. A B 0

B,则必有（）

A. (A

C.(A

B)2

E)(A

2 2

A 2AB B

2 2

B. (A B)(A B) A B

E)

(A E)(A E)

D. (AB)2

a2b2

a1b1

a1b2

印鸟

5.设A

a2b1

a2b2

a2b3 ,其中 ai

o,b 0,i

1,2,3,则矩阵A的秩为

asd

a3b2

a3b3

A.0

B.1

C.2

D.3

6.设6阶方阵A的秩为4

，则A的伴随矩阵A

*的秩为（）

A.0

B.2

C.3

D.4

7.设向量

a= ( 1，

-2, 3)

与萨（2，k，6）正交，则数k为

()

A.-10

B.-4

C.3

D.10

X1

X2 X3 4

8.已知线性方程组

X1

ax? X3 3 无解，

则数a=（）

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ）

2X|

2ax2

1

TOC \o "1-5" \h \z A. B.O

2

1

C. D.1

2

设3阶方阵A的特征多项式为 E A （ 2）（ 3）2,则A （）

A.-18 B.-6

C.6 D.18

若3阶实对称矩阵 A （aij ）是正定矩阵，则 A的3个特征值可能为（）

A.-1, -2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

3

0

4

11.设行列式

D

2

2

2

,其第3行各元素的代数余子式之和为

5

3

2

a

a

b b

12.设 A

,B

,则AB

a

a

b b

1

0

3

13.设A是4X3矩阵且r（A）

2, B

0

2

0 ,则 r(AB)

1

0

3

14.向量组（1，2） , （2，3）

(3, 4)

的秩为

15.设线性无关的向量组 a，a2，…，a可由向量组31，仅，…，宦线性表示，则r与S的关系为

X1

X2

X3

0

16.设方程组 X1

X2

X3

0有非零解,

且数

0,则

X-I x2

X3

0

17.设4元线性方程组

Ax

b

的三个解a，

a，a3,

已知

1 (1,2,3,4)T,

2

3

(3,5,7,9)

T,r(A)

3.则方程组的通解是

2

18.设3阶方阵A的秩为2,且A 5A 0,则A的全部特征值为

2

1

1

1

19.设矩阵A

0

a

0有一个特征值

2,对应的特征向量为 X 2 ,则数a=

4

1

3

2

20.设实二次型f（X1,X2,X3） XTAX,已知A的特征值为-1，1，2,则该二次型的规范形为

三、计算题（本大题共 6小题，每小题9分，共54分）

21.设矩阵 A ( ,2 2,3 3), B (2 ,

21.设矩阵 A ( ,2 2,3 3), B (

2 , 3 ),其中

2, 3均为3维列向量，且A 18, B

2.

1

1

1

0

1

22.解矩阵方程 0

2

2 X

1

0

1

1

0

4

3

23.设向量组a1= (1 ,

1 , 1 , 3) T, a：2= (- 1

-3，

5,

a= ( 3, 2, -1,

a4= (3 , 2, -1,

p+2) T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组

2x-i

X2

X3

1

24.设3元线性方程组 X,

X2

X3

2 ,

4x-|

5x2

5x3

1

(1)确定当入取何值时，方程组有惟一解、

无解、有无穷多解?

(2 )当方程组有无穷多解时，求岀该方程组的通解(要求用其一个特解和导岀组的基础解系表示) .

1 2

已知2阶方阵A的特征值为1 1及2 ,方阵B A .

3

(1 )求B的特征值；

(2)求B的行列式.

2 2 2

用配方法化二次型 f(X!,X2,X3) X1 2X2 2x3 4X1X2 12X2X3为标准形，并写出所作的可逆线

性变换.

四、证明题(本题6分)

设A是3阶反对称矩阵，证明 A 0.

习题一答案

一、 孽项选择88 （本】0小题，毎小题2分，共20分）

TOC \o "1-5" \h \z 】? D 2. A 3. D 4. D 5. A

6? B 7. B 8. A &. B 10. C

球空SS （拳大18共10小SS.毎小题2分，共2。分）

H.-8 12. *3 13Mrr 14 皿 戌卄『

16. r（A,6） = r<A） 17.2b l&O 19. 1

20.3

vtJIH ｛本夭JH奘6小JS*毎小軀9分，発54分）

肌?解：原行列式=

0 2

0 I

1 1

0 1

ir■-

0 o

0 0

=5T

22?解，由条 #ABAri = AA 1 + /Li 1 ■禅

(A-E)BA- * ?4A l 从而4E

1 心

U ?4(4-S)-1?4 2

4.

4 'I

=2

11

23. A -(可时町a：)

TOC \o "1-5" \h \z pi 7 2

0 -21 *7

—

0 73 -4

LO 3 1

故為卫"旳是极大线性无黄组■且 业=6十2叫一3“丄?

24■解*矩阵A的特征多项式为：

X+1 -4 -3

|AE-A|= 2 A-5 -3 =ACA*D*

*2 4 A+2

故A的密征值为：和=0,為=為=1?

对于一（h求解齐次线性方程m（0&A）x^0

;r

得一个基础解系为:角= 1 ?故JM于為一0的金韶待征向匮为『

「r

如创二屁 I （姑式0〉

.-U1

对持征值為-A> = 1 ■再感齐次线性方程组Cl&X）x=0

=0求解f趴貝一个尿础解系为’

=0

求解f趴貝一个尿础解系为’

y

a: ?■

1'

■a.二

0

0

■ W

2

故属于特征值人工為=1的全部持征向蚩为

y

辰+Z严h

i

0

0

「 mJ

2

■ -J

■其中 Z 不全为o

25?解：对该齐次线性方程组的系敎矩阵实行初尊行变换得

由于r(A)

由于r(A) =2<4，基础解系含2个自lh耒知fit

{

d = +5x4

片为自由未知ft

工产2工厂7工#

roi，得方程组的一个基础斛系为g

roi

，得方程组的一个基础斛系为

g

故原方程组的通解为辛

2

-7

1

0

O

丄

可="巾+"小=6

其中6心为任意常数.

26?解：对A施行初尊行变换将找化成阶梯形

1

2

-1

(T

1

-1

2

7

0°

0

6

-1

1

0

3

0

2

1

3

0

0

1

0

3

0

0

1

1

2

1

0

0

■

0

0

2

0

■

1-12-10

TOC \o "1-5" \h \z 0 3 0 0 1

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

由于A的菲。行数为3.

故A的検为3? <9分）

四、证朗题共1小颈待分｝

2匸证明’没有一給敷右上"爲.使姑叫+%碍+為乞产0 <2分）

即（的 paM?t） ij =0+

亦SlAA, ~<L0 kf AAjt-0 的ftL "分）

島 J A> i

诜倉無Ajte0只有为A的铁等于3=未知It的个Jt

独虹* A* c ￡*■（）”从而务*角?丐缄性无关. ￡6分）

习题二答案

i- C 4. CD 9. A?1?2^共20分》单序选择用X大10小IT

i- C 4. C

D 9. A

?1?2^共20分》

6 A 7 D

二、填空進（水丈題箕如爭|#?

n a

[3 I

16 - -213’ rSt

16 - -2

rl) Hl

打:“；忆 QW

三ifMJH （本光■典“赧 每小粗9井，*54*>

2L解1八盼馆切帀）7#丹" 十"点*如

?

*?…d? 9分

*?…d?

9分

P5 71

P5 71、

4 1 -V

5亠

22 ?将探方程化为

Q 2 2

X-

0 1

J T 0；

曰*2；

rl

1

r 1

d

（2

I

4^

r]

A =

0

2

2

1 0

i

I

H —

Jf

2

1

-2

0

I

J

-1

「2

_2J

D

厂2

2

~2J

向谢8舛，吗?吗，暝皱性相关.

此时向玄组的秩为蓟

嗅耳心（或%齐心 为其■个梭大无?ys

24. K （D设方程也的系甌矩阵为厶JW|j|m3*）（丄-1）F 所以当久刮且"4瞅［^X0,方程*g有惟THj

W

x = ~ w* ,方程SB无解；

'S*

m 时r rU} = rM）-2^3r方程姐有无穷歩解

a）当/司时.

25, ?￡ （1） & 的特征値为

^=H)a4

26-解 /（岛眄，町）吾彳-4护12舟+12^巧-2#

益（彳_4斗巧十4牙）一6#十12*号

二近尸_e（￡ ■吗勺卡彳卄劎彳

、 二（气■工勺尸.6（石■号尸鼻4￡

” w斗■耳 令，齐二岭■号，则鏗可逆Sfe性变換

>?= 号

将二次型比为标准形才-阴+倔

四.证明聽（本題6分）

27证因九丄"才?

折以I牛卜屮卜卜D0卜-|亦

因此拥M

线性代数习题三

说明：在本卷中,At表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵」A|表示方 阵A的行列式，r（A）表示矩A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题 2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错 选、多选或未选均无分。

1.设 A 为 3 阶矩阵,|A|=1,则 |-2At|=（）

A.-8 B.-2 C.2 D.8

1

2.设矩阵A=

1

,B=(1,1),则 AB=(

)

A.0 B.(1,-1)

1

C.

1

1 1 D.

1 1

设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是 （）

A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

* 1 2 1

设矩阵A的伴随矩阵 A = ，则A 1=（）

3 4

1 4 3

1 1

2

1

1 2

1

4 2

A.

B.

C.

D.

2 2 1

2 3

4

2

3 4

2

3 1

5.下列矩阵中不是.

初等矩阵的是（

)

1 0 1

0 0 1

1

0

0

1

0

0

A. 0 1 0

B. 0 1 0

C. 0

3

0

D.

0

1

0

0 0 0

1 0 0

0

0

1

2

0

1

设A,B均为n阶可逆矩阵 则必有（）

A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆

设向量组 a=（1,2）, 2=（0,2）, B =（4则）,（）

A. a, 2a戦性无关 B.不能由ai, aO线性表示

C.可由ai, 2线性表示，但表示法不惟一一 D. 可由ai, 2线性表示，且表示法惟一一

设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为 0,1,1,则齐次线性方程组（E-A）x=0的基础解系所含解 向量的个数为（）

A.0 B.1 C.2

D.3

2X1

X2

X3

0

9.设齐次线性方程组

X1

X2

X3

0有非零解，则为（）

X1

X2

X3

0

A.-1 B.0 C.1

D.2

10.设二次型f（x）=x TAx正定，则下列结论中正确的是 （）

A.对任意n维列向量x,xtAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零

C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零

二、填空题（本大题共10小题，每小题 2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

0 1

行列式1 2的值为

1 2

已知A= 2 3，则1A|中第一行第二列元素的代数余子式为

13 11 3

设矩阵A= 2 4戶0 1，则AP =

设 A,B 都是 3 阶矩阵，且 |A|=2,B=-2E,则 |A-1B|= .

已知向量组 a1,=(1,2,3), 2=(8,-1,2), 3=(2,3,k)线性相关，则数 k=

1, aa 3为该方程组的 3个解，

1, aa 3为该方程组的 3个解，且

则该线性方程组的通解是

17.已知

17.已知P是3阶正交矩，向量

0 ,则内积(P ,P )

2

18.设2是矩阵A

18.设2是矩阵

A的一个特征值，则矩阵

3A必有一个特征值为

19.与矩阵A=

相似的对角矩阵为

20.设矩阵

20.设矩阵A=

k2若二次型f=xTAx正定，则实数k的取值范围是

k

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分,共54

三、计算题(本大题共

6小题，每小题

9分,

共54分)

21.求行列式D=

的值.

22.设矩阵A=

,B

,求满足矩阵方程 XA-B=2E的矩阵X.

23.若向量组0 的秩为2,求k的值

23.若向量组

2k

2

2

3

2

24.设矩阵A 1

1

0 , b

1 .

1

2

1

0

(1)求 A-1;

(2)求解线性方程组

Ax=b,并将

b用A的列向量组线性表岀

25.已知3阶矩阵A的特征值为

-1,1,2,设 B=A 2+2A-E,求

(1)矩阵A的行列式及A的秩.

(2)矩阵B的特征值及与 B相似的对角矩阵

x1

2y1

2y2

y3

26.求二次型 f(x 1,X2,X3)=- 4 x 1X2+ 2X1X3+2X2X3 经可逆线性变换 X2

2y1

2y2

y3所得的标准形

X3

2y3

四、证明题(本题6分)

27.设n阶矩阵A满足A2=E，证明A的特征值只能是 1 .

线性代数习题三答案

L A 2. D

玉B

叽C

& B 7. D

B. C

9.盘

二.握空腿 JOd'H*

費20幷）

1L — I

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单项遗择H 毎小共劄分）

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