江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2020届高三第二次调研考试数学试题含附加题

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江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试

数学试题

2020．4

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．已知集合A＝{1，4}，B＝{a﹣5，7}．若AB＝{4}，则实数a的值是 ．

2．若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的模是 ．

3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 吨．

4．右图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ．

5．“石头、?剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ．

6．在△ABC中，已知B＝2A，AC＝BC，则A的值是 ．

7．在等差数列(n)中，若，，则的值是 ．

8．如图，在体积为V的圆柱O1O2中，以线段O1O2上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1，V2，则的值是 ．

9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q．若△APQ?为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ．

10．在平面直角坐标系xOy中，点P在直线y＝2x上，过点P作圆C：(x﹣4)2＋y2＝8的一条切线，切点为T．若PT＝PO，则PC的长是 ．

11．若x＞1，则的最小值是 ．

12．在平面直角坐标系xOy中，曲线在点P(，)处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数．若点B(，0)，△PAB?的面积为3，则的值是 ．

13．图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME—7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图(2)），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则的值是 ．

14．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是 ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(cos，sin)，＝(cos(＋)，sin(＋))，其中0＜＜．

（1）求的值；

（2）若＝(1，1)，且∥，求的值．

16．（本题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证：

（1）PQ∥平面ABC；

（2）PQ⊥平面ABB1A1．

17．（本题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x﹣3)2＋y2＝1，椭圆E：(a＞b＞0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N．当AN＝AM时，求直线l的方程．

18．（本题满分16分）

某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2：1的两部分（点D，E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM?（如图）．设AD＝x，DE＝，AM＝（单位：百米）．

（1）分别求，关于x的函数关系式；

（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．

19．（本题满分16分）

若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”．

（1）设函数(kR)．①当k＝1时，求函数的极值；②若函数存在“F点”，求k的值；

（2）已知函数(a，b，cR，a≠0)存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围．

20．（本题满分16分）

在等比数列中，已知，．设数列的前n项和为，且，(n≥2，n)．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：数列是等差数列；

（3）是否存在等差数列，使得对任意n，都有?若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由．

江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试

数学附加题

21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵A＝的逆矩阵．若曲线C1：在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线C2，求曲线C2的方程．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知曲线C的方程为(r＞0)，直线l的方程为．设直线l与曲线C相交于A，B两点，且AB＝，求r的值．

C．选修4—5：不等式选讲

已知实数x，y，z满足，证明：．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天，?每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．

（1）求发生调剂现象的概率；

（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

我们称n(n)元有序实数组(，，…，)为n维向量，为该向量的范数．已知n维向量＝(，，…，)，其中{﹣1，0，1}，i＝1，2，…，n．记范数为奇数的n维向量的个数为An，这An个向量的范数之和为Bn．

（1）求A2和B2的值；

（2）当n为偶数时，求An，Bn（用n表示）．

数学Ⅰ答案及评分建议

一、填空题：

1．9 2． 3．10 4． 5． 6． 7．15 8． 9．2 10．

11．8 12． 13． 14．

二、解答题：

15．（1）因为向量，，

所以 …2分 …4分 ． ……6分

（2）因为，所以．

因为∥，

所以．…9分

于是，

从而，即． ………………12分

因为，所以．

于是，即． …14分

16．（1）取的中点，连结．

在△中，因为分别为中点，

所以，且． 直三棱柱ABC?A1B1C1中，，．因为为棱的中点，所以，且． …3分

于是，．

所以四边形为平行四边形，从而． ……5分又因为，，所以． …7分

（2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，．又，所以．因为，为中点，所以． ……10分

由（1）知，所以，． ……12分

又因为，，，

所以． ……14分

17．（1）记椭圆的焦距为2c（）．因为右顶点在圆C上，右准线与圆C：相切．所以解得?

于是，所以椭圆方程为：． ……4分

（2）法1：设，

显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：．

由方程组?消去得，．

所以，解得． ……6分

由方程组消去得，

所以，解得． ……8分

因为，所以． ……10分

即，解得?， ……12分

所以直线l的方程为或?． ……14分法2：设，当直线l与x轴重合时，不符题意．

设直线l的方程为：． 由方程组?消去得，，所以?． ……6分

由方程组消去得，?，

所以?． ……8分

因为，所以． ……10分

即，解得?， ……12分

所以直线l的方程为或?． ……14分

18．（1）因为，△ABC是边长为3的等边三角形，又AD x，

所以，所以． ……2分

由，得． ……4分

法1：在中，由余弦定理，得

．

所以，直道DE长度y1关于x的函数关系式为．

……6分

在和中，由余弦定理，得

①

② …8分

因为M为DE的中点，所以．

由①+②，得，

所以， 所以．

所以，直道AM长度y2关于x的函数关系式为

． ……10分

法2：因为在中，，

所以．

所以，直道DE长度y1关于x的函数关系式为．

……6分

在△ADE中，因为M为DE的中点，所以． …8分

所以．

所以，直道AM长度y2关于x的函数关系式为．

……10分

（2）由（1）得，两条直道的长度之和为

……12分

（当且仅当即时取）． …14分

答：当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米．16分

19．（1）① 当k 1时，f ( x ) = x2 ? 2 ln x ( kR )，

所以，令得x 1， ……2分

列表如下：

1

-

+

↘

极小值

↗

所以函数在x 1处取得极小值，极小值为1，无极大值． ……4分

② 设x0是函数的一个“F点”．

　 因为,所以x0是函数的零点．

所以，由，得，

由，得，即． ……6分

设，则，

所以函数在上单调增，注意到，

所以方程存在唯一实根1，所以，得，

根据①知，时，是函数的极小值点，

所以1是函数的“F点”．

综上，得实数k的值为1． ……9分（2）因为g (x) ax3 bx2 cx ( a，b，c ∈ R，a?≠?0 )

所以．

又因为函数g (x) 存在不相等的两个“F点”x1和x2，

所以x1，x2是关于x的方程的两个相异实数根．

所以

又g (x1) ax13 bx12 cx1 x1，g (x2) ax23 bx22 cx2 x2，

所以g (x1) ? g (x2)?= x1? x2，即(a?x13 bx12 cx1)? (ax23 bx22 cx2) = x1? x2，

从而( x1? x2) [a (x12? x1x2 +x22)+ b (x1? x2 )+ c]= x1? x2．

因为，所以，

即．所以． ………13分

因为| g (x1) ? g (x2) |?≥?1，

所以

解得．所以，实数a的取值范围为． ……16分（2）（解法2） 因为g (x) ax3 bx2 cx ( a，b，c ∈ R，a?≠?0 )

所以．

又因为函数g (x) 存在不相等的两个“F点”x1和x2，

所以x1，x2是关于x的方程组的两个相异实数根．

由得． ……11分

（2．1）当是函数g (x) 一个“F点”时，且．

所以，即．

又，

所以，所以． 又a?≠?0，所以．…13分

（2．2）当不是函数g (x) 一个“F点”时，

则x1，x2是关于x的方程的两个相异实数根．

又a0，所以得 所以，得．

所以，得．

综合（2．1）（2．2），实数a的取值范围为． ……16分

20．（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，解得．

所以数列的通项公式为：． ……3分

（2）由（1）得，当时，， ①

所以，， ②

②－① 得，， ……………5分

所以，，即，．

因为，由①?得，，所以，

所以，．

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列． ……8分 （3）由（2）得 EQ \F(bn,an) =n－2，所以bn= EQ \F(n－2,2n-1)，Sn=－2(an+1+bn+1)=－2( EQ \F(1,2n)+ EQ \F(n－1,2n))=－ EQ \F(n,2n-1).

假设存在等差数列{cn}，其通项cn=dn+c，

使得对任意，都有Sn≤cn≤an，

即对任意，都有－ EQ \F(n,2n-1)≤dn+c≤ EQ \F(1,2n-1). ③ ……10分

首先证明满足③的d=0. 若不然，d≠0，则d＞0，或d＜0.

( = 1 \* roman i) 若d＞0，则当n＞ EQ \F(1－c,d)，时，cn=dn+c＞1≥ EQ \F(1,2n-1)= an，

这与cn≤an矛盾.

( = 2 \* roman ii) 若，则当n＞－ EQ \F(1+c,d)，时，cn=dn+c＜－1.

而Sn+1－Sn=－ EQ \F(n+1,2n)+ EQ \F(n,2n-1)= EQ \F(n－1,2n)≥0，S1= S2＜S3＜……,所以Sn≥S1=－1.

故cn=dn+c＜－1≤Sn，这与Sn≤cn矛盾. 所以d=0. ………12分

其次证明：当x≥7时，f(x)=(x－1)ln2－2lnx＞0.

因为f ′(x)=ln2－ EQ \F(1,x)＞ln2－ EQ \F(1,7)＞0，所以f(x)在[7，+∞)上单调递增，

所以，当x≥7时，f(x)≥f(7) =6ln2－2ln7= ln EQ \F(64,49)＞0.

所以当n≥7，时，2n-1＞n2. ……14分再次证明c=0.

( = 2 \* roman iii)若c＜0时，则当n≥7，n＞－ EQ \F(1,c)，n∈N*，Sn=－ EQ \F(n,2n-1)＞－ EQ \F(1,n)＞c，这与③矛盾.

(iv)若c＞0时，同( = 1 \* roman i)可得矛盾.所以c=0.

当时，因为，，

所以对任意，都有Sn≤cn≤an．所以．

综上，存在唯一的等差数列{ cn }，其通项公式为满足题设．…16分

数学Ⅱ答案及评分建议

21A．因为，所以，即．

所以解得所以． ……4分

设为曲线C1任一点，则，

又设在矩阵A变换作用得到点，

则，即，所以即

代入，得，

所以曲线C2的方程为． ……10分

B．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，

于是曲线C：的直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为的圆． ……3分

由直线l的方程，化简得，

所以直线l的直角坐标方程方程为． …………6分

记圆心到直线的距离为，则，

又，即，所以． ……10分

C．因为，

所以． ……5分

由柯西不等式得，

．

所以?．

所以． ……10分

22．（1）记2家小店分别为，店有人休假记为事件，店有人，休假记为事件，发生调剂现象的概率为．

则，

，

．

所以．

答：发生调剂现象的概率为． ……4分（2）依题意，X的所有可能取值为．

则，

，

． ……8分

X

0

1

2

所以X的分布表为：

所以． ……10分

23．（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，

它们的范数依次为，故． ……3分

（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；

的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；…

的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，

共有个，每个的范数为；所以

， ． ……6分

因为， ①

，②

得，，

所以． ……8分

解法1：因为，

所以．

． ……10分

解法2：得，．

又因为，所以

．

． ……………10分