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抽象函数解题方法与技巧

函数的周期性：

1、定义在 x∈R 上的函数 y=f(x) ，满足 f(x+a)=f(x-a) （或 f(x-2a)=f(x)

） (a>0)恒成立，则 y=f(x) 是周期为 2a

的周期函数；

2、若 y=f(x) 的图像关于直线

x=a 和 x=b 对称，则函数

y=f(x) 是周期为 2|a-b| 的周期函数；

3、若 y=f(x)

的图像关于点

(a,0)和 (b,0)对称，则函数 y=f(x) 是周期为 2|a-b|的周期函数；

4、若 y=f(x)

的图像有一个对称中心

A(a,0) 和一条对称轴

≠

x=b（ a b），则函数 y=f(x) 是周期为 4|a-b| 的周期

函数；

5、若函数 y=f(x) 满足 f(a+x)=f(a-x) ，其中 a>0 ，且如果 y=f(x) 为奇函数，则其周期为

4a；如果 y=f(x) 为偶

函数，则其周期为 2a；

6、定义在 x∈ R 上的函数 y=f(x) ，满足 f(x+a)=-f(x) 或f

1

或 f x a

1

，则 y=f(x) 是周

x a

f ( x)

f ( x)

期为 2|a| 的周期函数；

f

x

1

a>0 ，则 y=f(x) 是周期为

4a 的周期函数；

7、若 f x a

x

在 x∈ R 恒成立，其中

f

1

1

f

x

8、若 f x a

x

在 x∈ R 恒成立，其中

f

1

（ 7、 8 应掌握具体推导方法，如

7）

f x

f

x

a

2a

x

a

f

函数图像的对称性：



a>0 ，则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数。

f

x

1

1

1

f

x

1

1

2

1

f x

1

2 f (x)

f (x)

f

x

1

1

1、若函数 y=f(x) 满足 f(a+x)=f(b-x) ，则函数 y=f(x) 的图像关于直线

x

a

b 对称；

2

2、若函数 y=f(x) 满足 f(x)=f(2a-x)

或 f(x+a)=f(a-x) ，则函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 对称；

3、若函数 y=f(x) 满足 f(a+x)+f(b-x)=c

，则 y=f(x) 的图像关于点

a

b , c

成中心对称图形；

2

2

4、曲线 f(x,y)=0

关于点 (a,b)的对称曲线的方程为 f(2a-x,2b-y)=0；

5、形如 y

ax

b c

0, ad bc

的图像是双曲线，由常数分离法

cx

d

a

x

d

ad

b

ad

b

d , a

y

c

c

a

c

知：对称中心是点

；

c

x

d

c

x

d

c

c

c

c

c

6、设函数 y=f(x) 定义在实数集上，则

y=f(x+a) 与 y=f(b-x) 的图像关于直线

x

b a 对称；

2

7、若函数 y=f(x) 有反函数，则 y=f(a+x) 和 y=f -1(x+a) 的图像关于直线

y=x+a 对称。

一、 换元法

换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法

.

例 1.

已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos

2x, 求 f(x)

1

二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。

例 2． 设y

f(x)是实数函数 (即x, f (x)为实数 ),且f ( x) 2 f ( 1)

x, 求证 :| f ( x) | 2

2.

x

3

三、待定系数法

如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

3．已知 f(x)是二次函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求 f(x) .

四、赋值法

有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

例 4．对任意实数

x,y，均满足 f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)] 2 且 f(1) ≠0,则 f(2001)=_______.

例 5．已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数

a,b 都满足

f(ab)=af(b)+bf(a).

(1) 求 f(0) ， f(1) 的值； (2)判断 f(x) 的奇偶性 ,并证明你的结论 ;

五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为

问题的解决带来极大的方便 .

6．设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,若 x>0 时 f(x)<0 ,且 f(1)= -2 ,

求 f(x) 在 [-3， 3]上的最大值和最小值。

例 7．定义在 R+ 上的函数 f(x)满足： ①对任意实数 m， f(x m)=mf(x)； ② f(2)=1 .

求证： f(xy)=f(x)+f(y) 对任意正数 x,y 都成立；

证明 f(x)是 R+ 上的单调增函数；

若 f(x)+f(x-3) ≤2,求 x 的取值范围。

六、递推法 对于定义在正整数集 N* 上的抽象函数， 用递推法来探究， 如果给出的关系式具有递推性，

也常用递推法来求解 .

例 8．已知 f(x) 是定义在 R 上的函数， f(1)=1 ，且对任意 x∈R 都有 f(x+5) ≥f(x)+5 ， f(x+1) ≤f(x)+1 。若

g(x)=f(x)+1-x ,则 g(2002)=_________.

2

模型法

模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

应掌握下面常见的特殊模型：

特殊模型

抽象函数

正比例函数 f(x)=kx

(k≠0)

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(xy)=f(x)f(y) 或 f

x

f

x

幂函数

f(x)=x n

y

f

y

f(x+y)=f(x)f(y)

或 f

x

f

x

指数函数

f(x)=a

x

≠

y

y

f

(a>0 且 a 1)

f(xy)=f(x)+f(y)

或f

x

f x

f y

对数函数 f(x)=log ax

(a>0 且 a≠

y

1)

正、余弦函数

f(x)=sinx

f(x)=cosx

f(x+T)=f(x)

f (x

y)

f (x)

f ( y)

正切函数

f(x)=tanx

1

f ( x) f ( y)

余切函数

f(x)=cotx

f (x

y)

1

f ( x) f ( y)

f (x)

f ( y)

10 ．已知实数集上的函数f(x) 恒满足 f(2+x)= f(2-x) , 方程 f(x)=0 有 5 个实根 , 则这 5 个根之和

=_____________

例 11．设定义在 R 上的函数 f(x)，满足当 x>0 时， f(x)>1 ，且对任意 x，y∈R，有 f(x+y)=f(x)f(y) ， f(1)=2

（ 1）解不等式

2

；（ 2）解方程 [f(x)]

2

1

f(3x-x )>4

+

f(x+3)=f(2)+1

2

例 12．已知函数 f(x) 对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y) ，且 f(x) ≠0，当 x>1 时， f(x)<1 。试判断 f(x) 在 (0,+ ∞) 上的单调性，并说明理由。

函数性质练习

1.

已知函数 f (x)

(m

1)x 2

(m

2) x

(m 2

7m 12) 为偶函数，则

m 的值是（

）

A.1 B.

2

C.

3

D.

4

2.

若偶函数 f (x)

在

, 1 上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）

3

A.

f ( 3 )

f ( 1)

f (2) B.

f ( 1)

f (

3 )

f (2)

2

2

C.

f ( 2)

f ( 1)

f ( 3) D.

f (2)

f (

3 )

f ( 1)

2

2

如果奇函数 f (x) 在区间 [3,7]

A. 增函数且最小值是 5

C. 减函数且最大值是 5



上是增函数且最大值为 5 ，那么 f (x) 在区间 7, 3 上是（ ）

B. 增函数且最大值是 5

D. 减函数且最小值是 5

4.

设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数，则函数

F (x) f ( x)

f (

x) 在 R 上一定是（

）

A. 奇函数

B.

偶函数 C.

既是奇函数又是偶函数

D.

非奇非偶函数

5.

下列函数中 ,在区间

0,1

上是增函数的是（

）

A. y x

B.

y 3 x

C.

y

1

D. y

x2

4

x

6.

函数 f ( x)

x ( x

1

x 1)

是（

）

A. 是奇函数又是减函数 B. 是奇函数但不是减函数

C. 是减函数但不是奇函数 D. 不是奇函数也不是减函数

7. 设奇函数 f (x) 的定义域为 5,5 ，若当 x [0,5] 时， f ( x) 的图象如右图 ,则不等式 f ( x) 0 的解是

函数 y 2xx 1的值域是 ________________.

9.

已知 x [0,1]

，则函数 y

x

2

1 x 的值域是

.

10.

若函数 f ( x)

(k 2) x2

(k

1)x

3 是偶函数，则

f (x) 的递减区间是

.

下列四个命题

（ 1） f (x)

x 2

1 x 有意义 ;

（ 2）函数是其定义域到值域的映射 ;

（ 3）函数 y

2x(x N ) 的图象是一直线； （ 4）函数 y

x2 , x 0

的图象是抛物线，

x2 , x 0

其中正确的命题个数是

____________.

12. 已知函数 f ( x) 的定义域为1,1

，且同时满足下列条件： （ 1） f ( x) 是奇函数；

（ 2） f ( x) 在定义域上单调递减； （3） f (1 a) f (1

a2 ) 0, 求 a 的取值范围 .

4

抽象函数解题方法与技巧

函数的周期性：

1、定义在 x∈R 上的函数 y=f(x) ，满足 f(x+a)=f(x-a) （或 f(x-2a)=f(x)

） (a>0)恒成立，则 y=f(x) 是周期为 2a

的周期函数；

2、若 y=f(x) 的图像关于直线

x=a 和 x=b 对称，则函数

y=f(x) 是周期为 2|a-b| 的周期函数；

3、若 y=f(x)

的图像关于点

(a,0)和 (b,0)对称，则函数 y=f(x) 是周期为 2|a-b|的周期函数；

4、若 y=f(x)

的图像有一个对称中心

A(a,0) 和一条对称轴

≠

x=b（ a b），则函数 y=f(x) 是周期为 4|a-b| 的周期

函数；

5、若函数 y=f(x) 满足 f(a+x)=f(a-x) ，其中 a>0 ，且如果 y=f(x) 为奇函数，则其周期为

4a；如果 y=f(x) 为偶

函数，则其周期为 2a；

6、定义在 x∈ R 上的函数 y=f(x) ，满足 f(x+a)=-f(x) 或f

1

或 f x a

1

，则 y=f(x) 是周

x a

f ( x)

f ( x)

期为 2|a| 的周期函数；

f

x

1

a>0 ，则 y=f(x) 是周期为

4a 的周期函数；

7、若 f x a

x

在 x∈ R 恒成立，其中

f

1

1

f

x

8、若 f x a

x

在 x∈ R 恒成立，其中

f

1

（ 7、 8 应掌握具体推导方法，如

7）

f x

f

x

a

2a

x

a

f

函数图像的对称性：



a>0 ，则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数。

f

x

1

1

1

f

x

1

1

2

1

f x

1

2 f (x)

f (x)

f

x

1

1

1、若函数 y=f(x) 满足 f(a+x)=f(b-x) ，则函数 y=f(x) 的图像关于直线 x

a b 对称；

2

2、若函数 y=f(x) 满足 f(x)=f(2a-x) 或 f(x+a)=f(a-x) ，则函数 y=f(x) 的图像关于直线

x=a 对称；

3、若函数 y=f(x) 满足 f(a+x)+f(b-x)=c

，则 y=f(x) 的图像关于点

a b , c 成中心对称图形；

2

2

4、曲线 f(x,y)=0

关于点 (a,b)的对称曲线的方程为 f(2a-x,2b-y)=0；

5、形如 y

ax

b c

0, ad

bc

的图像是双曲线，由常数分离法

cx

d

a x

d

ad

b

ad

b

d , a

y

c

c

a

c

知：对称中心是点

；

c

x

d

c

c x

d

c c

c

c

6、设函数 y=f(x) 定义在实数集上，则

y=f(x+a) 与 y=f(b-x) 的图像关于直线 x

b

a 对称；

2

7、若函数 y=f(x) 有反函数，则

y=f(a+x) 和 y=f -1(x+a) 的图像关于直线

y=x+a 对称。

二、 换元法

换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法

.

2.已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求 f(x)

解：令 u=1+sinx ，则 sinx=u-1

(0≤u≤ 2),则 f(u)=-u

2

≤ ≤

+3u+1

(0 u 2)

故 f(x)=-x 2+3x+1 (0≤x≤2)

二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。

5

例 2． 设y

f(x)是实数函数 (即x, f (x)为实数 ),且f ( x)

2 f ( 1)

x, 求证 :| f ( x) | 2

2.

x

3

解 : 用 1 代换 x,得f (

1

)

2 f (x)

1

, 联立方程组，得 f ( x)

x

2

x

x

x

3 3x

x

2

2

2

| f ( x) |

3 x

3

3

三、待定系数法

如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

3．已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求 f(x) .

解：由已知得

f(x)是二次多项式，设

f(x)=ax 2+bx+c (a ≠ 0)

代入 f(x+1)=a(x+1)

2

2

+b(x+1)+c=ax

+(2a+b)x+a+b+c

f(x-1)= a(x-1)

2+b(x-1)+c=ax 2+( b -2a)x+a-b+c

f(x+1)+ f(x-1)=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x

比较系数得： a=1,b= -2,c= -1 ,

f(x)=x 2-2x-1 .

四、赋值法

有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

例 4．对任意实数

x,y，均满足 f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]

2 且 f(1) ≠0,则 f(2001)=_______.

解：令 x=y=0 ，得： f(0)=0 ,令 x=0 ,y=1 ,得 f(0+1

2

2

)=f(0)+2f[(1)] ,

1

∵ f(1)≠ 0 ∴ f(1) = 1.

令 x=n,y=1 ，得 f(n+1)=f(n)+2[f(1)]

2=f(n)+

2

2

即 f(n+1)-f(n) =

1 ，故 f(n) = n ， f(2001) = 2001

2

2

2

例 5．已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数

a,b 都满足

f(ab)=af(b)+bf(a).

(1) 求 f(0) ， f(1) 的值； (2)判断 f(x) 的奇偶性 ,并证明你的结论 ;

(3) 若 f(2)=2,u

n

=f(2

)

(n N* ),求证： u

n+1

>u

n

(n

∈

N* ).

n

∈

解： (1)令 a=b=0 ,得 f(0)=0 ,令 a=b=1 ,得 f(1)=0 .

(2) f(x) 是奇函数。因为：令 a=b=-1 ,得 f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0

,

故 f(-x)=f[(-1)(x)]= -f(x)+xf(-1)= -f(x)

,故 f(x) 为奇函数 .

n

(3) 先用数学归纳法证明： un=f(2 )>0 ( n∈N* )(略 )

五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为

问题的解决带来极大的方便 .

6．设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,若 x>0 时 f(x)<0 ,且 f(1)= -2 ,求 f(x)

在 [-3 ，3]上的最大值和最小值。

解：令 x=y=0 ，得 f(0)=0 ,令 y=-x ,得 f(-x)+f(x)=f(0)=0 ,即 f(x)为奇函数 .

x1<x 2,则 x2-x1>0 ,由已知得 f(x2-x1)<0 ,故 f(x2)=f(x 2-x1+x 1 )=f(x 2-x1)+f(x 1)< f(x 1)

所以 f(x) 是 R 上的减函数，又 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6

，f(-3)=6

故 f(x) 在 [-3,3] 上的最大值为

6,最小值为 -6.

例 7．定义在 R+ 上的函数

f(x)满足： ①对任意实数

m， f(x m)=mf(x)； ② f(2)=1 .

求证： f(xy)=f(x)+f(y) 对任意正数 x,y 都成立；

证明 f(x)是 R+ 上的单调增函数；

若 f(x)+f(x-3) ≤2,求 x 的取值范围。

解： (1)令 x=2 m,y=2 n,其中 m,n 为实数，则 f(xy)=f(2 m+n )=(m+n)f(2)=m+n .

又 f(x)+f(y)=f(2

m)+f(2 n)=mf(2)+nf(2)=m+n ,所以 f(xy)=f(x)+f(y)

（ 2）证明：设

0<x 1 <x 2，可令 m<n 且使 x1=2 m,x2=2 n

6

由（ 1）得 f(x1)-f(x 2)= f

x1=f(2 m-n)=(m-n)f(2)=m-n<0

x2

f(x1)<f(x 2)，即 f(x)是 R+ 上的增函数。

由 f(x)+f(x-3) ≤2 及 f(x)的性质，得 f[x(x-3)] ≤2f(2)=f(4) 解得 3<x ≤4。

六、递推法

对于定义在正整数集 N* 上的抽象函数， 用递推法来探究， 如果给出的关系式具有递推性，

也常用递推法来求解 .

例 8．已知 f(x) 是定义在

R 上的函数， f(1)=1 ，且对任意 x∈R 都有 f(x+5) ≥f(x)+5 ， f(x+1) ≤f(x)+1 。若

g(x)=f(x)+1-x ,则 g(2002)=_________.

解：由 f(x+1) ≤f(x)+1

得 f(x+5) ≤f(x+4)+1

≤f(x+3)+2 ≤f(x+2)+3 ≤ f(x+1)+4

又∵ f(x+5) ≥f(x)+5

∴ f(x)+5 ≤f(x+1)+4

∴ f(x)+1 ≤ f(x+1)

又∵ f(x+1) ≤f(x)+1

∴ f(x+1)=f(x)+1

又∵ f(1)=1

∴f(x)=x

g(x)=f(x)+1-x=1 ，故 g(2002)=1 。

模型法

模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

应掌握下面常见的特殊模型：

特殊模型

正比例函数 f(x)=kx

(k≠0)

幂函数

f(x)=x n

指数函数

f(x)=a

x

≠

(a>0 且 a 1)

对数函数

f(x)=log ax

(a>0 且 a≠ 1)

正、余弦函数f(x)=sinx

f(x)=cosx

正切函数

f(x)=tanx

余切函数

f(x)=cotx

例 10 ．已知实数集上的函数

f(x) 恒满足

=_____________



抽象函数

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(xy)=f(x)f(y)

x

f

x

或 f

f

y

y

f(x+y)=f(x)f(y)

或 f x

f

x

y

y

f

f(xy)=f(x)+f(y)

x

f x

f y

或f

y

f(x+T)=f(x)

f (x y)

f (x)

f ( y)

f ( x) f ( y)

f ( x) f ( y)

f (x y)

f ( y)

f (x)

f(2+x)= f(2-x) , 方程 f(x)=0

有 5 个实根 , 则这

5 个根之和

分析：因为函数 f(x) 恒满足 f(2+x)= f(2-x)

, 方程 f(x)=0

有 5 个实根， 可以将该函数看成是类似于二次函

数 y=k(x-2) 2 为模型引出解题思路， 即函数的对称轴是 x=2 ，并且函数在 f(2)=0 ，其余的四个实数根关于

x=2

对称

解：因为实数集上的函数

f(x) 恒满足 f(2+x)= f(2-x) , 方程 f(x)=0 有 5

个实根，所以函数关于直线

x=2

对称，所以方程的五个实数根也关于直线

x=2 对称，其中有一个实数根为

2，其它四个实数根位于直线

x=2

两侧，关于直线

x=2 对称，则这

5 个根之和为 10。

例 11．设定义在

R 上的函数 f(x)，满足当 x>0

时，f(x)>1 ，且对任意 x，y∈R，有 f(x+y)=f(x)f(y) ，f(1)=2

（ 1）

解不等式 f(3x-x

2

)>4；（ 2）解方程 [f(x)]

2

1

+

f(x+3)=f(2)+1

分析：可联想指数函数 f(x)=a x。

2

解： (1) 先证 f(x)>0 ，且单调递增，因为

f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)

， x>0 时 f(x)>1 ，所以 f(0)=1

对于任意 x<0，则 -x>0 ， f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1

，∴ f(x)=

1

f

x

∵ -x>0 ，f(-x)>1

∴ 0<f(x)<1

综上所述

f(x)>0

7

任取 x1,x2∈R 且 x1<x 2，则 x2-x1>0 ，f(x2-x1)>1 ,

所以 f(x1)-f(x 2)=f[(x 2-x1 )+x 1 ]-f(x 1)=f(x 2 -x1)f(x 1)-f(x 1)=f(x 1)[f(x 2 -x1)-1]>0 所以 x∈ R 时， f(x) 为增函数。

不等式 f(3x-x 2)>4 可化为 3x-x2>2 解得： { x|1<x<2 }

f(1)=2 ，f(2)=4 ，f(3)=8 ，原方程可化为： [f(x)] 2+4f(x)-5=0 ，解得 f(x)=1 或 f(x)=-5 （舍 ) 由 (1) 得 x=0 。

例 12．已知函数 f(x) 对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y) ，且 f(x) ≠0，当 x>1 时， f(x)<1 。试判断 f(x) 在 (0,+ ∞)

上的单调性，并说明理由。

分析：可联想幂函数

f(x)=x n?

解：对 x∈R+ ，有 f(x)= f

x x

f 2

x

0 ，又 f(x)≠0，故 f(x)>0

设 x1，x2∈R+ ，且 x1 <x 2 ，则 x2

1，则 f x2

f

x2 x1

f

x2

f x1

x1

x1

f

x2

1

x1

f x1

f x1

f x1

x1

所以 f(x1)>f(x 2 )，故 f(x)在 R+ 上为减函数。

函数性质答案

1.B 奇次项系数为 0, m

2 0, m

2

2.

D

f (2)

f ( 2),

2

3

1

2

3. A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性

4.

A

F ( x)

f ( x) f ( x)

F ( x)

5.

A

y

3

x 在 R 上递减， y

1

在 (0,

) 上递减， y

x2

4 在 (0,

) 上递减，

x

6.

A

f ( x)

x ( x 1

x 1)

x ( x 1 x 1)

f ( x)

2x, x

1

为奇函数，而

f ( x)

2x2 ,0

x

1

2 x2 , 1 x

, 为减函数 .

0

2 x, x

1

7.

(

2,0)

2,5

奇函数关于原点对称，补足左边的图象

8.

[

2,

)

x

1, y 是 x 的增函数，当 x

1 时， ymin

2

2 1, 3该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大

10.

0,

k

1

0, k

1, f ( x)x2

3

11.

1

（1）

x

2

x

1

，不存在；（ 2）函数是特殊的映射； （3）该图象是由

且

离散的点组成的； （4 ）两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线 .

8

1

1

a

1

12. 解： f (1 a)

f (1 a2 ) f (a2 1) ，则 1

1

a2

1 , 0 a 1

1

a

a2

1

9