概率统计课程第6次作业参考解答（17页）
时间：2020-09-06 04:10:46 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
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第六次作业
参考解答
习题 2.1 P.75 77.
设随机变量X的分布函数为
0， X 0;
I 2
F(x)二 Ax ,0 乞 x 1;
h，x".
试求：
⑴系数A；
X落在区间(0.3,0.7)的概率；
X的密度函数.
解依题设可知，X为连续型随机变量.
连续型随机变量 X的分布函数在(八，=)上 占占连续有
八、、八、、5 IJ
F(1 - 0) = F(1) = 1,
即 A 12 T ,
所以，A= 1.
利用X的分布函数F(x)得所求概率为
P(0.3 X 0.7) = P(0.3 X 辽 0.7)
二 F(0.7) - F(0.3)
-0.72 - 0.32 = 0.4
■
由于在F(x)的可导点处有:p(x)二F (x)，
当x 0或x 1时，
p(x)二 F (x) =0；
当0疳x舟1时，
2
p(x)二 F (x) =(X )，2x；
iii )当x二0或1时，F(x)不可导，但可不妨取
p(0) = p(1) = 0,
所以X的密度函数为
「2x, < x"; p(x)二
。其他.
学生完成一道作业的时间 X是一个随机变量, 单位为小时，它的密度函数为
ex2 + X，兰 x 兰 0.5;
P(x)二
。其他.
(1)确定常数e；
⑵写出X的分布函数；
试求在20分钟内完成一道作业的概率；
试求10分钟以上完成一道作业的概率.
解
(1)由密度函数的正则性，得
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3
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1 2\0.52x )0c
1 2\0.5
2x )0
c
+
24
=￡ (cx + x)dx = (— x +
3
所以c二21.
⑵由 F(x)二；p(t)dt，得
i)当 x ：：： 0 时，
x
F(x)二 j _p(t)dt 二
ii)当0空x 0.5时，
F(x) =xP(t)dt0dt
F(x) =
x
P(t)dt
0dt ° (21t2 t)dt 二
7x3 1
iii )当 x - 0.5时，
F(x)二xP(t)dt
F(x)二
x
P(t)dt
er (丹+忖+篇眄1.
所以，X的分布函数
0.5
0，x 0;
F(x)二 7x3 0.5x2,0 'x 0.5;
1, x - 0.5.
(3)由X的分布函数F(x)，得
1
P(在20min内完成一道作业)=P(0舟X )
1
二 f(3)-f(o)
=（—-）-0
27 8 17
54；
⑷由X的分布函数F(x)，得
1 P(10min以上完成一道作业 )=P(X -)
1 _ （一6
1 _ （一
216 72'
103
108.
习题 2.2 P.84 - 86.
1.设离散型随机变量X的分布列为
X
-2
0
2
P
0.4
0.3
0.3
试求EX和E(3X 5).
解 由已知分布和期望定义，得
EX = 一2沃 0.4 + 0沢 0.3+ 2沃 0.3= -0.2
■
由随机变量函数期望的计算方法，得
E(3X + 5) = [3 (-2) + 5T 04 (39? 03 0 2+ ? 0.3= 44.
或者，由期望的性质，得
E(3X 5) = 3EX 5 = 3 (-0.2) 5 = 4.4.
9.（此为思考题，同样提供参考解答）某人想用 10000元投资某个股票，该股票当前的价格是每股 2
元，假设一年后该股票等可能的为每股 1元和每股4
元。而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有 的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后 拥有的股票数量最大，则一年以后购买.试问理财顾问 的建议是否正确？为什么？
解 本问题的判断依据是：用10000元投资购买 该股票，通过比较今年买入和一年后买入两种买法的 相关指标的大小来判定理财顾问建议的正确性■
从股票市值的期望值指标来看：
投资10000元今年买入，得到5000股，记
X “今年买入，一年后这5000股的股票市值数”， 则X为离散型随机变量，且由于股票一年后的价格可 能是1元或4元，所以X的可能值为5000元，20000 元■并且X的分布列为
X
5000
20000
P
1
1
2
2
于是
E^500C12000| = 1250 （元）
又如果是，不考虑原来的1CCCC元的增值，一年 后投资1CCCC元买入该股票，无论到时股票的价格是 1元或4元，买入后股票市值都是1CCCC元.
再从股票数量指标来看：
投资1CCCC元今年买入，得到5CCC股.
如果是，不考虑原来的1CCCC元的增值，一年后 投资1CCCC元买入该股票，记
于是X= “一年后投资1CCCC元买入该股票能买入的 股数”， 则X为离散型随机变量，且由于股票一年后的价格可 能是1元或4元，所以X的可能值为25CC股，1CCCC 股.并且X的分布列为
于是
X
2500
10000
P
1
1
2
2
E^25CCJ1CCC1 = 625 0 股）
根据以上数据，可判定理财顾问的建议是正确的
14.设随机变量X的密度函数为
3 2
—x ,兰 xw 2;
P(x)二 8
[0,其他.
1
试求~x的数学期望.
解记
丫二 g(X)二
则X的数学期望为
1 :: 2
1 :: 2 1 E(y耳曲沪少艸加。
"3
8 4?
习题 2.3 P.91 - 92.
2.假设有10只同种电器元件，其中有两只不合 格品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如为不 合格品，则扔掉重新任取一只，如仍为不合格品则扔 掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合 格品只数的方差.
X = “在取到合格品之前，已取出的不合格品只数”： 则x为离散型随机变量，其可能值为 0, 1, 2.而利用 概率的古典方法和乘法公式容易求得 X的分布列为
P
36
8
1
45
45
45
由此，得EX - 0 36 1 —
由此，得
EX - 0 36 1 — 2
45 45
1
45
E(X2) = 02
45
_8 22 丄二土
45 45 15'
于是，在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的
方差为
DX = E(X
DX = E(X2) -(EX)2
（9）2
88
4 0 5
6.(此为思考题，这里提供参考解答) 试证：对
任意常数EX，有
DX 二 E(X - EX)2 E(X c)2.
Proof 由于
E(X - EX) - E(X - c)2 二 E[X- 2EX X (EX)2] - E(X- 2cX c2)
二 E(X2) - 2EX EX (EX)2 - E(X2) 2dEX- c2 =-(c _ EX)2
可见当c = EX时，
E(X - EX)2 - E(X - c)2 二「(c - EX)2 0，
即
DX 二 E(X _ EX)2 E(X_c)2.
12.设g(x)为随机变量x取值集合上的 恒正不减 函数，且E(g(x))存在，证明：对任意的 0 ,有
p(x
g(町'
Proof先就离散型随机变量证明如下：
设X的分布列为
P(XzXi；pi -
P(X
z
Xi；
pi -
Xi ；
g(Xi)
g()
Pi
g()严厂
E(g(x))
g(；)
P(X 盲厂 Pi,i",2,，
则由已知，
对 0，当x^ 0时，有
g(xj- g( ) 0.
于是
再就连续型随机变量证明如下:
设X的密度函数为P(x)，则由已知，对 0时，有
g(x)- g( ) 0.
于是
::g(x)
P(X )二 p(x)dx p(x)dx
8 5 go
1g()4^0
1
g()
4^0
：g(x)p(x)dx =
E(g(X))
g()
证毕.
习题 2.4 P.104 106.
3.某优秀射手命中10环的概率为0.7,命中9环 的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于 29环的概率.
解记
X =“该射手三次射击所得10环的次数”， 则由已知得X?b(3,0.7)，于是
P(该射手三次射击所得的环数不少于29环)
= P(X-2)
=P(x= 2) P(X 二 3)
=Cl 072 03 C3 0.73
二 0.784.
6.设随机变量X?b(2, p),而随机变量丫? b(4,p)，若认帖彳，试求P(Y-1).
8
解由X?b(2, p)及P(x-1)(，得
8 2
- P(X = 0)十(1 - p)2，
9
解之得,
TOC \o "1-5" \h \z 4 入 入
p = 3，或p = 不合，舍去).
于是丫?b(4, I),从而
2 | 80
P(Yl) = 1-P(Y = O) = 1-C4(|)0(1-f)4=f0.
3 81
7. 一批产品的不合格品率为 0.02,现从中任取40 件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收 这批产品.分别用以下方法求拒收的概率：(1)用二项分 布作精确计算；(2)用泊松分布作近似计算.
解记
X ="从这批产品任取40件进行检查发现的次品 数”，
则X?b(40,0.0I)，于是
(1)用二项分布作精确计算，得
P(拒收这批产品)
=P(X - I)
=1 - P(X = 0) - P(X = 1)
m-c4/ 0.0厂(1- 0.0|4°- c4/ o.o》(1一 0.0239
二 0.1905.
(I)用泊松分布作近似计算：
由于X?b(40,0.02)，这其中叶40较大，p = 0.02也
较小，所以X近似服从几=np=0.8的泊松分布,作近似 计算，得
P(拒收这批产品厂P(X - 2)
i1 - '
i
1 - '
k=0
0.8k
e
k!
71912 （查表）.
9.(此为思考题，这里提供参考解答) 已知某商 场一天来的顾客数X服从参数 为的泊松分布，而每 个来到商场的顾客购物的概率为 P，证明：此商场一 天内购物的顾客数服从参数为'P的泊松分布.
证明记
Y = “此商场一天内购物的顾客数”， 则由全概率公式，有
P(Y= k) = 5： P(X = i)P(Y= kX = i)
i水
-:: i
JCkpk(1 - p)「k i=k i!
二(p)；、：[ (1 - p)]1
k! 吕(i — k)!
e （1p）
k!
(p) p
二 k! e ，k 二 0,1,2,
可见，
Y ?P( p).
15.(此为思考题，这里提供参考解答) 某产品的 不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检验，若 发现其中不合格品数多于 1,就去调整设备，若检验 员每天检查4次，试问每天平均要调整几次设备.
解记
X= “每次随机抽取10件进行检验发现不合格品 件数”，
则由已知得X?b(10,0.1)，于是
P(需要调整设备)=P(X 1)
= 1P(X = 0)~ P(X = 1) =1-0.910-c；。0.1 0.99 二 0.2639.
又记
Y= “每天调整设备的次数”， 则Y?b(4,0.2639)，于是，每天平均要调整设备的次 数为
EY - 4y 0.2 6 3=91.0 5 5 6次).
