高考二轮复习数学理配套讲义5,三角函数的图象与性质
时间：2021-04-14 15:02:24 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
微专题5 三角函数的图象与性质 命 题 者 说 考 题 统 计 考 情 点 击 2018·全国卷Ⅰ·T16·三角函数的最值 2018·全国卷Ⅱ·T10·三角函数的单调性 2018·天津高考·T6·三角函数图象平移、单调性 2018·北京高考·T11·三角函数的图象与性质 2018·江苏高考·T7·三角函数的对称性 高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行：
1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题，主要以选择、填空题的形式考查，有时也会出现大题。
2.三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题。
考向一 三角函数的图象 【例1】 (1)(2018·天津高考)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( ) A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 (2)已知函数f(x)＝Asin＋ω(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项判断错误的是( ) A．|MN|＝π B．f＝2 C．f(x)＋f＝1 D．f＝f 解析 (1)把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin＝sin2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin2x的一个单调递增区间为。故选A。
(2)由图象，可知A＝＝＝1。因为f(x)max＝1＋ω＝2，所以ω＝1，T＝＝2π，f(x)＝sin＋1，|MN|＝＝π，A正确；
f＝sin＋1＝1＋1＝2，B正确；
f＝sin＋1＝2，故x＝是函数图象的对称轴，D正确；
f(x)＋f＝sin＋1＋sin＋1＝sin＋sin＋2＝2，C错误。故选C。
答案 (1)A (2)C (1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x作的变换。
(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式。
①A＝，B＝；
②由函数的周期T求ω，即T＝；
③利用“五点法”中相对应的特殊点求φ。
变|式|训|练 1．函数f(x)＝sin(πx＋θ)的部分图象如图所示，且f(0)＝－，则图中m的值为( ) A．1 B． C．2 D．或2 解析 由f(0)＝－，得sinθ＝－，因为|θ|<，所以θ＝－。令πx－＝2kπ＋，k∈Z，则x＝2k＋，k∈Z，所以＝2k＋，k∈Z，所以m＝。故选B。
答案 B 2．将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( ) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析 将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝sin＝sin的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为y＝sin。故选B。
答案 B 考向二 三角函数的性质 微考向1：三角函数的单调性 【例2】 (2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( ) A． B． C． D．π 解析 解法一：因为f(x)＝cosx－sinx＝cos，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤，因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以所以0<a≤，从而得a的最大值为。故选A。
解法二：因为f(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，则由题意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即sin≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin的图象可知有解得0<a≤，所以a的最大值是，故选A。
答案 A 灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的三角函数问题的关键。具体问题中，首先将“ωx＋φ”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解。
变|式|训|练 1．函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x在上的单调递增区间是( ) A． B． C． D． 解析 f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x＝sin2x＋1＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝sin＋2。
解法一：令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以结合选项知函数f(x)在上的单调递增区间为。故选C。
解法二：因为x∈，所以2x＋∈，当<2x＋<时，函数f(x)单调递增，此时x∈。故选C。
答案 C 2．(2018·豫西南联考)已知函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，则ω的值为________。
解析 因为函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的图象关于点M对称，所以－sinω＝0，所以ω＝kπ，k∈Z，即ω＝k，k∈Z。又f(x)在区间上是单调函数，所以＝≥，即ω≤。又ω>0，所以ω的值为。
答案 微考向2：三角函数的最值 【例3】 已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 解析 易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4。故选B。
答案 B 求三角函数最值的两条基本思路：(1)将问题化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；
(2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解。
变|式|训|练 函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________。
解析 f(x)＝sin2x＋cosx－＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1，cosx∈[0,1]，当cosx＝时，f(x)取得最大值1。
答案 1 微考向3：三角函数的奇偶性、周期性、对称性 【例4】 (1)已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( ) A．2π， B．π， C．2π， D．π， (2)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( ) A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在单调递减 解析 (1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝sin＋1，则T＝＝π。由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在上单调递减。故选B。
(2)函数f(x)＝cos的最小正周期为2π，所以－2π是函数f(x)的一个周期，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，所以f＝cos＝－1，即f(x)取得最小值，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，f＝cos＝cos＝0，C正确；
当x∈时，x＋∈，f(x)在上不具有单调性。故选D。
答案 (1)B (2)D (1)判断对称中心与对称轴的方法 利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数图象与x轴的交点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断。
(2)求三角函数周期的常用结论 ①y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为。
②正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；
正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期。
变|式|训|练 1．(2018·洛阳联考)已知函数f(x)＝sin(sinx)＋cos(sinx)，x∈R，则下列说法正确的是( ) A．函数f(x)是周期函数且最小正周期为π B．函数f(x)是奇函数 C．函数f(x)在区间上的值域为[1，] D．函数f(x)在上是增函数 解析 f(x)＝sin(sinx)＋cos(sinx)＝sin，因为f(π＋x)＝sin＝sin≠f(x)，所以π不是函数f(x)的最小正周期，故A错误；
f(－x)＝sin＝sin≠－f(x)，故B错误；
当x∈时，sinx∈[0,1]，sinx＋∈，所以sin∈，则sin∈[1，]，故C正确；
当x∈时，sinx∈，sinx＋∈，而∈，所以函数f(x)在上不是单调函数，故D错误。故选C。
答案 C 2．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是______。
解析 由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－。
答案 － 1．(考向一)(2018·武汉调研)将函数y＝sin2x的图象上的点P按向量a＝(m,0)(m>0)平移后得到点P′。若点P′在函数y＝sin的图象上，则( ) A．t＝，m的最小值为 B．t＝，m的最小值为 C．t＝，m的最小值为 D．t＝，m的最小值为 解析 由题可得P′，又P′在y＝sin的图象上，所以t＝sin，即t＝sin2m(m>0)，因为P在函数y＝sin2x的图象上，所以t＝，此时m的最小值为。故选C。
答案 C 2．(考向一)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________。
解析 由题图可知A＝， 解法一：因为＝－＝，所以T＝π。故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，又对应五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π，所以φ＝。故f(x)＝sin。
解法二：以为第二个“零点”，为最小值点，列方程组解得故f(x)＝sin。
答案 f(x)＝sin 3．(考向二)(2018·广州调研)将函数y＝2sin·sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( ) A． B． C． D． 解析 由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，因为g(x)＝sin为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为。故选A。
答案 A 4．(考向二)(2018·吕梁一模)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为( ) A． B． C． D． 解析 f(x)向左平移个单位，得到2sin＝2sin，再向下平移一个单位，得到g(x)＝2sin－1，其最小值为－3，由于g(x1)·g(x2)＝9，故g(x1)＝g(x2)＝－3，也就是说x1，x2是g(x)的最小值点。要使2x1－x2取得最大值，即x1取最大值，x2取最小值。令2x＋＝2kπ－，2x＝2kπ－，x＝kπ－，令k＝2，得x1＝，令k＝－1，得x2＝－，所以2x1－x2的最大值为2·－＝。故选A。
答案 A 5．(考向二)(2018·濮阳一模)先将函数f(x)＝sinx的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的倍(其中ω∈N*)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上单调递增，则ω的最大值为________。
解析 g(x)＝sin在区间上单调递增，所以有即12k－4≤ω≤8k＋，k∈Z，由12k－4≤8k＋可得k≤，当k＝1时，ω∈，所以正整数ω的最大值是9。
答案 9
