河南省天一大联考“顶尖计划模板”2020年届高中高三毕业班第一联考理科数学试卷试题（14页）
时间：2020-11-22 12:30:15 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
天一大联考
“顶尖计划” 2020 届高中毕业班第一次考试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的 .
1.已知集合 M
x | x2
3x
0
， N x |1
x 7 ，则 M I N
（
）
A. x |1 x 3
B. x |1 x 3
C. x | 0 x 7
D. x | 0 x 7
2.设复数 z
2
i ，则 | z |
（
）
1
3i
1
B.
2
1
2
A.
3
C.
D.
3
2
2
3.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表示一个多位数时，像阿拉
伯记数一样， 把各个数位的数码从左到右排列， 但各位数码的筹式需要纵横相间， 其中个位、 百位，万位
用纵式表示，十位、千位、十万位 用横式表示，则 56846 可用算筹表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.为了贯彻落实党中央精准扶贫的决策，
某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制成下图，
其中各项统
计不重复
.若该市老年低收入家庭共有
900 户，则下列说法错误 的是（
．．
）
A.该市共有 15000 户低收入家庭
B.在该市从业人员中，低收入家庭有
1800 户
C.在该市失无业人员中，低收入家庭有
4350
户
D.在该市大于 18 岁在读学生中，低收入家庭有
800 户
5.运行如图所示的程序框图，若输出的 i 的值为 99，则判断框中可以填（ ）
A. S
1
B. S
2
C. S
lg99
D. S
lg98
a
1
6.已知幂函数
f ( x)
x
的图象过点
(3,5)
，且
a
1
， b
3
，
c log a
，则 a ，
b
， c 的大小关系
e
4
为（
）
A. c a b
B. a c b
C.a b c
D. c b a
r
r
r
r
r
r
19
r
r
r
r
7.已知非零向量 a ， b 满足 a
b ，若 a ， b 夹角的余弦值为
，且 (a
2b)
(3a
b) ，则实数
的
30
值为（
）
A.
4
B.
2
C.
3 或
4
D.
3
9
3
2
9
2
8.记单调递增的等比数列
|
an
的前 n 项和为 Sn ，若 a2
a4 10 ， a2a3a4
64
，则（
）
A. Sn 1
Sn
2n 1
B. an
2n
C. Sn
2n 1
D. Sn
2n 1 1
9.函数 f ( x)
6|sin x|
x2
的图象大致为（
）
1
x2
A. B.
C. D.
10.设抛物线
C ： y2
2 px （ p
0 ）的焦点为
F ，抛物线 C 与圆 C ： x2
( y
3) 2
3 交于 M ， N 两
点.若 | MN |
6 ，则
MNF 的面积为（
）
2
3
3
2
3
2
A.
B.
C.
8
D.
4
8
8
11.关于函数 f (x) | cos x | cos | 2 x |有下列三个结论：①
是 f ( x) 的一个周期；②
3
5
上
f ( x) 在
,
4
4
单调递增；③
f ( x) 的值域为
2,2 .
）
则上述结论中，正确的个数为（
12.已知四棱锥
S
ABCD 的底面为矩形，
SA
底面
ABCD ，点
E 在线段
BC 上，以
AD 为直径的圆过点
E .若 SA
3AB
3，则
SED的面积的最小值为（
）
9
7
C.
D.
2
2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
y
2x
1,
13.
若变量 x ， y 满足约束条件 2x
y
4, 则 z
x 2 y 的最大值为 ________.
y
2
0,
14.
函数 f ( x) x e 2x
的极大值为 ________.
15.
x2
y2
1 （ a
0
， b
0
），直线
l
： x 4a 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于
A
，
已知双曲线 C ：
B 两点 .若
OAB （点 O 为坐标原点）的面积为
32，且双曲线 C 的焦距为 2 5 ，则双曲线 C 的离心率为
________.
16.
记数列
an 的前 n 项和为 Sn ，已知 2Sn
an
1 n an 1 ，且 a2
5 .若 m
Sn ，则实数 m 的取值范
2n
围为 ________.
三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.第 17～ 21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答 .第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 .
（一）必考题：共 60 分.
17. ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，已知 ( a b)2 c2 ab .
（Ⅰ ）求角 C；
（Ⅱ ）若
4c
cos
A
bsin C
0 ， a
1 ，求
ABC 的面积 .
2
18.如图所示，三棱柱
ABC
A1B1C1 中，
AA1
平面
ABC ，点
D ，
E 分别在线段
AA1 ， CC1 上，且
AD
1 AA1 ，
3
DE //AC ， F
是线段
AB 的中点 .
（Ⅰ ）求证：
EF // 平面 B1C1D1；
（Ⅱ）若 AB
AC ， AB
AC ， AA1 3AB ，求直线 BC 与平面 B1 DE 所成角的正弦值 .
19.已知椭圆 C ： x2
y2
1，不与坐标轴垂直的直线
l 与椭圆 C 交于 M ， N 两点 .
4
（Ⅰ ）若线段 MN 的中点坐标为
1, 1
，求直线 l 的方程；
2
（Ⅱ）若直线 l 过点
(4,0)
，点 P x0 ,0
满足 kPM kPN
0 （ kPM ， kPN 分别为直线 PM ， PN 的斜率），
求 x0 的值 .
20.已知函数 f (x)
mx2
ln x
1
.
2
（Ⅰ ）若
m
，求曲线 y
f ( x) 在 (1, f (1))处的切线方程；
1
（Ⅱ ）当
m
1
f (x)
x ln x 恒成立，求实数
m 的取值范围 .
时，要使
21.某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习
惯的了解程度
.在每一轮游戏中，主持人给出
A ， B ， C ， D 四种食物，要求小孩根据喜爱程度对其排序，
然后由家长猜测小孩的排序结果
.设小孩对四种食物排出的序号依次为
xA xB xC xD ，家长猜测的序号依次为
yA yB yC yD ，其中
xA xB xC xD ，
yA yB yC yD 都是
1， 2， 3， 4 四个数字的一种排列
.定义
2
2
2
2
X xA
yA
xB
yB
xC
yC
xD
yD
，用
X 来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度
.
（Ⅰ ）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解 .
（i ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
（ⅱ）求 X 的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程） .
（Ⅱ）若有一组小孩和家长进行了三轮游戏，三轮的结果都满足 X 4 ，请判断这位家长对小孩的饮食习
惯是否了解，说明理由 .
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分 .
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程 ]
x
2m
1
,
在直角坐标系
xOy 中，曲线 C 的参数方程为
6m （ m 为参数），以坐标原点为极点，
x 轴的正
y
2m
1
6m
半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos 1.
3
（Ⅰ ）求曲线 C 的普通方程以及直线 l 的直角坐标方程；
（Ⅱ ）已知点 M (2,0) ，若直线 l 与曲线 C 交于 P ， Q 两点，求
1
1
| MP |
的值 .
| MQ |
23.[选修 4-5：不等式选讲 ]
已知 x ， y ， z 是正数 .
（Ⅰ ）若 xy
1，证明： | x
z | | z
y | 4xyz；
（Ⅱ ）若
xyz
1 ，求
2xy 2 yz
2xz 的最小值 .
x
y z
3
天一大联考
“顶尖计划” 2020 届高中毕业班第一次考试
理科数学 .答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .
1.【答案】 A
【命题意图】本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想
【解析】 M x | x2 3x 0 x | x(x 3) 0 x | 0 x 3 ，故 M I N x |1 x 3 .
2.【答案】 D
【命题意图】本题考查复数的概念、复数的运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想 .
【解析】 z 2 i (2 i )(1 3i ) 2 i 6i 3 1 7 i ，故 | z | 1 49 2 .
1 3i (1 3i)(1 3i ) 10 10 10 100 100 2
3.【答案】 B
【命题意图】本题考查数学文化、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想 .
【解析】根据算筹横式与纵式的区别， 56846 可以表示为 .
4.【答案】 D
【命题意图】本题考查统计图表，考查创新意识以及必然与或然思想 .
【解析】依题意，得该市低收入家庭的总数为
900
15000 ，则在该市从业人员中，低收入家庭有
0.06
15000 0.12
1800 户，在该市失无业人员中，低收入家庭有
15000
0.29
4350户，在该市大于
18 岁
在读学生中，低收入家庭的总数为
15000
0.04 600.
5.【答案】 C
【命题意图】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想
.
【解析】运行该程序，第一次，
i
1 ， S
lg 2；第二次， i
2 ， S
lg 2
lg 3
lg3；第三次， i
3 ，
lg 4
lg 99
2
S
lg3
lg 4 ，；第九十八次， i
98 ， S
lg98
lg99；第九十九次，
i 99 ，
3
98
S
lg99
lg 100
lg100
2 ，此时要输出 i 的值为 99.
99
6.【答案】 A
【命题意图】本题考查指对数的大小关系，考查推理论证能力
.
log3 5
【解析】依题意，得
3
5 ，故
log 3 5
(1,2) ，故 0 a
1
1， b
3 log 3 5
1，
e
1
0 ，故 c
a
b .
c
log log3 5 4
7.【答案】 D
【命题意图】本题考查向量数量积的应用，考查运算求解能力
.
r
r
r
r
r 2
r r
r 2
r
r
【解析】依题意，得
(a
2b) (3a
b) 0 ，即
3a
5a b
2b 0
将
| a |
| b |
代入可得，
.
18
2 19
12
0 ，解得
3
（
4
舍去） .
2
9
8.【答案】 C
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式以及等比数列的性质，考查运算求解能力以及
化归转化思想 .
【解析】
3
3
an
q
a
a
a
4
64
a
3
4
a
3
4 设等比数列
的公比为
，由
a2
a4
10
，
2
3
.
得 4
4q
10 ，即 2q2
5q
2
0，因为数列
an 单调递增， 所以 q
2 .所以 2a1
8a1 10 ，解得 a1 1.
q
所以
2
n 1
，
1 1
2n
n
.
Sn
2
1
2
9.【答案】 A
【命题意图】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想 .
【解析】依题意， x
R ，且函数 f ( x) 为偶函数，故函数的图象关于
y 轴对称，排除
C；
2
0
2
2
2
2
0 ，排除 B； f
6
6
6
4 ，排除 D，故
f ( ) 6
2
2
1
2
2
2
4
2
3
1
2
选 A.
10.【答案】 B
【命题意图】本题考查抛物线的方程、圆的方程，考查推理论证能力以及数形结合思想 .
【解析】 作出图形如下图所示，
由题意知 | AM |
2 3 .因为点
N 为圆 C
圆周上一点， 所以
ANM
90
，
则在 Rt
ANM 中，由 | AM |
2 3 ， | MN |
6
，得 | AN |
| AM |2
| MN |2
6 ，
AMN
45
，
所以 N (
3, 3) .代入 y2
2 px 中，解得 p
3
.故 MNF 的面积为
1
3
3
3
.
2
2
4
8
11.【答案】 B
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想 .
【解析】 因为 f ( x ) | cos( x ) | cos | 2( x ) | | cos x | cos | 2x 2 | f ( x) ，所以函数 f (x) 的
一个周期为
，故①正确；因为
f 3
cos 3
cos 3
2 ， f
5
cos5
cos5
2 ，
4
4
2
2
4
4
2
2
所以函数 f ( x) 在 3
,
5
上并非单调递增，故②错误；当
x
0,
时，
4
4
2
f ( x) cos x
cos 2x
2cos 2 x
cos x
1 ，此时 f ( x)
1, 2
，当 x
, 时，
2
f ( x) cos x cos 2x 2cos2 x cos x 1 ，此时 f ( x) 1,2 ，所以函数 f (x) 的值域为 1,2 ，故
③错误 .
12.【答案】 C
【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合
思想 .
【解析】设 BE
x ， EC
y ，则 BC
AD
x
y .因为 SA 平面 ABCD ， ED
平面 ABCD ，所以
SA
ED .又 AE
ED ， SAI
AE A ，所以 ED
平面 SAE ，则 ED
SE .易知 AE
x2
3 ，
ED
y2
3 .在 Rt
AED 中， AE 2
ED 2
AD 2
，即 x2
3 y 2
3
( x y)2 ，化简得
xy
3 .在
Rt
SED中， SE
x2
12 ， ED
y2
3
9
3 .所以 S SED
1
SE ED
1
3x2
108 45 .
x2
2
2
x2
因为 3x2
108
2 3x2 108
36 ，当且仅当 x
6 ，y
6 时等号成立， 所以 S
SED
1
36
45
9
.
x2
x2
2
2
2
二、填空题：本题共
4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.【答案】 7
【命题意图】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想
.
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，
如下图阴影部分所示
.观察可知， 当直线 z
x
2 y 过点 C (3,
2)
时， z 有最大值， zmax
7
.
1
14.【答案】
2e
【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想 .
【解析】依题意，得 f ( x)
e 2x
2xe 2 x
e 2 x (1 2x) .所以当 x
, 1
时， f ( x)
0；当 x
1 ,
2
2
时， f ( x) 0 .所以当 x
1
1
时，函数 f
( x) 有极大值.
2
2e
15.【答案】 5 或
5
2
【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想 .
x
4a,
1
【解析】联立
b
解得 y 4b .所以
OAB
的面积
S
4a 8b
16ab 32
，所以
ab
2 .
y
x
2
而由双曲
a
线 C 的焦距为 2
5 知， c
5 ，所以 a2
b2
5 .联立解得
a
1, 或
a
2, 故双曲线 C 的离心率为
5 或
b
2
b
1,
5
.
2
16.【答案】 (2,
)
【命题意图】 本题考查数列的前 n 项和与通项的关系、 数列的递推公式， 等差数列的前 n 项和公式， 数列的
性质，考查推理论证能力以及化归转化思想 .
【解析】当
n
2 时， 2S2 a2
1 2 a2
1
，解得 S2
8
.所以 a1
3.因为 2Sn
an 1
n an
1
，则
2Sn
1
an
1
1
(n
1) an 1
1 ，两式相减，可得
2an 1
(n 2) an 1
(n 1)an
1 ，即
nan
1
( n
1)an
1
0 ，则 (n
1)an 2
(n
2) an 1
1
0
.两式相减，可得 an 2
2an 1
an 0
.所以数
列 an
是首项为
3，公差为 2
的等差数列，所以
an
2n
Sn
n2
2n
Sn
bn
，则
1，则
2n
.令
2n
2n
bn 1
bn
3
n2
.当 n 2 时， bn 1 bn
0 ，数列 bn 单调递减， 而 b1
3
，b2
2 ，b3
15
2 ，
2n 1
2
，故 m
8
即实数 m 的取值范围为 (2,
) .
三、解答题：共
70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思
想.
【解析】（Ⅰ ）由 ( a
b)2
c2
ab ，得 a2
b2
c2
ab .
所以由余弦定理，得
cosC
a2
b2
c2
1
2ab
.
2
又因为 C (0, ) ，所以 C .
3
（Ⅱ ）由 4c cos A bsin C 0 ，得 4c sin A b sinC 0 .
2
由正弦定理，得 4ca bc .
因为
又因
c 0 ，所以 b 4a .
a 1，所以 b 4 .
所以
ABC 的面积 S
1 ab sin C
1
1 4
3
3 .
2
2
2
18.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查空间想象能力以及数形结合思想 .
【解析】（Ⅰ ）取 B1D 的中点 G ，连接 C1G ， FG .
因为 F ， G 分别是线段 AB 和 B1D 的中点，所以 FG 是梯形 ADB 1B 的中位线，
所以 FG //AD .
AD //CC1 ，所以 FG //CC1 .
因为 AD //CC1 ， DE //AC ，所以四边形
ADEC
为平行四边形，所以 AD CE .
所以 C1E
2 CC1 ， FG
AD BB1
2 CC1
C1E .
3
2
3
所以四边形 FGC 1E 为平行四边形，所以
EF //C1G .
又 EF
平面 B1C1 D ， C1G
平面 B1C1D ，所以 EF // 平面 B1C1D .
（Ⅱ）因为 AB
AC ，且 AA1
uuur
平面 ABC ，故可以 A 为原点， AB 的方向为 x 轴正方向建立如图所示的
空间直角坐标系 .
不妨设 AB
AC
1，则 AA1
3，所以 C (0,0,1)
， B(1,0,0)
， B1(1,3,0) ， D (0,1,0) ， E(0,1,1) .
uuur
uuuur
uuur
所以 BC (
1,0,1) ， B1 D
(
1, 2,0) ， DE
(0,0,1) .
r
r
uuuur
x
2 y 0,
n
B1 D
0,
设平面 B1DE 的法向量为 n
( x, y, z) ，则 r
uuur
所以
z
0.
n
DE
0.
r
可取 n (2, 1,0) .
设直线 BC 与平面 B1 DE 所成的角为
| 2 (
1)|
10
，则 sin
2
.
5
5
19.【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力以及数形结合思想 .
x12
y2
1,
【解析】（1 ）设 M
x , y
， N x
, y
4
1
，则
1
1
2
2
x22
y22
1.
4
两式相减，可得
x1
x2
x1
x2
y1
y2
y1
y2
0 .（ * ）
4
因为线段 MN 的中点坐标为
1, 1
，所以 x1
x2
2 ， y1
y2
1 .
2
x1
x2
2
y1
y2
0 .
代入（ * ）式，得
4
所以直线 l
的斜率 k
y1
y2
1
.
x1
x2
2
所以直线 l
的方程为 y
1
1 ( x
1) ，即 x
2 y
2
0
.
2
2
（Ⅱ）设直线 l ： x
my
4 （ m
0 ），联立
x
my
4,
x
2
y 2
1.
4
整理得 m2
4
y2
8my
12
0 .
所以
64m2
4
12
m2
4
0 ，解得 m2
12 .
所以 y1
y2
8m
，
y1 y2
12
.
m2
4
m2
4
所以 kPM
kPN
y1
y2
y1 x2
x0
y2 x1
x0
x1
x0
x2
x0
x1
x0
x2
x0
x2 y1
x1 y2
y1
y2 x0
my2
4 y1
my1
4 y2
y1
y2 x0
x1
x0
x2
x0
x1
x0
x2
x0
2my1 y2
4
x0
y1
y2
0
，
x1
x0
x2
x0
所以 2my1 y2
4 x0
y1
y2
0
.
所以 2my1 y2 4 x0
y1 y2
12
x0 4
8m
8m x0
1
2m
m2
4
m2
0 .
m2
4
4
因为 m 0 ，所以 x0
1 .
20.【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与
转化思想 .
【解析】（Ⅰ ）当 m
1时， f ( x)
x2
ln x
1
，则 f
( x)
2x
ln x
1
x .
2
2
所以 f (1) 2
.
又 f (1)
1
y
1
2( x
1) ，即 y
3
，故所求切线方程为
2
2x.
2
2
（Ⅱ ）依题意，得 mx2
ln x
1
xln x ，即 mx2
ln x
1
x ln x
0恒成立 .
2
2
令 g( x)
mx2
ln x
1
x ln x ，则 g (x)
(2 mx
1)(ln x
1) .
2
①当 m
0 时，因为 g(1)
1 m
0 ，不合题意 .
2
②当 0
m 1
时，令 g ( x)
0 ，得 x1
1
， x2
1
1
1
，显然
2m
.
2m
e
e
令 g ( x) 0 ，得 0 x
1
或 x
1
；令 g ( x)
0 ，得
1
x
1
e
e
.
2m
2m
所以函数 g( x) 的单调递增区间是
0,
1
，
1
,
，单调递减区间是
1
,
1
.
e
2m
e 2m
当 x
0, 1 时， mx2
x
0， ln x
0 ，
e
所以 g(x) mx2 ln x
1
x ln x
mx2
x ln x
1 mx2
0 ，
2
2
只需 g
1
1
ln
1
1
0 ，所以 m
1
，
2m
4m
2m
8m
2
e
所以实数 m 的取值范围为
1
2
,1 .
e
21.【命题意图】本题考查概率的计算、随机变量的分布列以及极大似然法的应用 .
【解析】（ I）（ i）若家长对小孩的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的 .先考虑小孩的
排序 xA xB xC xD 为 1234
的情况，家长的排序有
A44
24 种等可能的结果 .
其中满足“家长的排序与
1234 对应位置的数字完全不同”的有
2143 ， 2341， 2413
，3142， 3412， 3421，
4123 ，4312， 4321 ，共有 9 种结果 .
故相应的概率为
9
3
24
.
8
若小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标
A ， B ， C ， D 按照小孩的排序
1234 的顺序调整即可 .
例如：假设小孩的排序
xA xB xC xD 为 1423 ，四种食物按 1234 排列为 ACDB ，再研究 yA yC yD yB 的情况即可，
可知这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的 .
3
所以他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为 .
8
（ⅱ）根据（ i ）的分析，同样只考虑小孩排序为 1234 的情况，家长的排序一共有 24 种情况，列出所有情
况，分别计算每种情况下 X 的值 .
的分布列如下表：
X
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
P
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
24
8
24
6
12
12
12
6
24
8
24
（Ⅱ）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解 .
理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（Ⅰ）可知，在一轮游戏中，
P( X 4) P( X 0)
1
P( X 2).
6
3
5 ，这个结果发生的可能性很小，所以可认为
三轮游戏结果都满足“
X 4 ”的概率为
1
1
6
216
1000
这位家长对小孩的饮食习惯比较了解 .
22.【命题意图】本题考查极坐标方程、参数方程间的转化、参数方程的几何意义，考查运算求解能力以及
数形结合思想 .
x
1
,
2m
4m ，所以 x y
【解析】（Ⅰ ）将
6m
两式相加，可得 x y
m .
y
1
4
2m
6m
所以 x 2 x y
1
，整理得 3 x2
3 y 2
1 .
4
x y
4
4
6
4
故曲线 C 的普通方程为 3 x2
3 y2
1.
4
4
依题意，得直线
l
：
1 cos
3 sin
1 ，即 cos
3
sin2 .
2
2
所以直线 l 的直角坐标方程为
x
3y
2
0 .
x
2
3 t,
（ t 为参数），代入 3 x2
3 y2
（Ⅱ ）设直线 l ：
2
1中，得 3t 2
12 3t 16 0 .
y
1 t
4
4
2
(12
3) 3
4
3
16
240
0 .
设 P ， Q 对应的参数分别为
t1 ， t2 ，则 t1
t2
16
.
4 3 ， t1t 2
3
所以
1
1
| MP | | MQ |
t1
t 2
3 3
| MP | | MQ | | MP | | MQ |
t1t2
.
4
23.【命题意图】本题考查不等式证明的方法、基本不等式，考查推理论证能力以及化归转化思想 .
【解析】（Ⅰ ）依题意， | x z | | z y | ( x z) ( z y) 2 xz 2 zy 4z xy ，
当且仅当 x y z 时等号成立 .
因为 0
xy
1 ，所以
4z
xy 4 xyz，所以 | x
z | | z
y |
4xyz .
（Ⅱ ）因为
xyz
1 ，所以 1
1
1
3.
x
y z
3
yz
xz
xy
而 yz
1
2 yz
1
2 ， xz
1
2 xz 1
2 ， xy
1
2 xy
1
2 ，
yz
yz
xz
xz
xy
xy
当且仅当 x
y
z
1
时等号成立 .
三式相加，可得
xy
yz
1
1
1
6 ，所以 xy
yz
xz 3.
xz
xz
xy
yz
故 2xy
2 yz
2xz
2xy
yz
xz
8 ，即 2xy
2yz
2xz 的最小值为 8.
