高考二轮复习数学理配套讲义6,三角恒等变换、解三角形
时间：2021-04-14 16:01:39 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
微专题6 三角恒等变换、解三角形 命 题 者 说 考 题 统 计 考 情 点 击 2018·全国卷Ⅱ·T6·解三角形 2018·全国卷Ⅱ·T15·三角恒等变换 2018·全国卷Ⅲ·T4·三角恒等变换 2018·全国卷Ⅲ·T9·解三角形 1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现。
2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上。
3.高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行：
(1)利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点。
(2)利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查。
考向一 三角恒等变换 微考向1：三角函数的定义 【例1】 (2018·北京高考)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边。若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是( ) A． B． C． D． 解析 设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得<x<y，所以x<0，y>0，所以P所在的圆弧是。故选C。
答案 C 当题设条件中出现直线与单位圆相交问题时，可根据三角函数的定义，求函数的解析式或者判断函数的图象，有时可以简化解题过程。
变|式|训|练 1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝________。
解析 因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，所以cosα＝＝－，即x＝。所以P。所以sinα＝－。所以tanα＝＝，则＋＝－＋＝－。
答案 － 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝( ) A． B． C． D．1 解析 由题意知cosα>0。因为cos2α＝2cos2α－1＝，所以cosα＝，sinα＝± ，得|tanα|＝。由题意知|tanα|＝，所以|a－b|＝。故选B。
答案 B 微考向2：三角函数求角 【例2】 (1)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________。
(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( ) A． B． C． D． 解析 (1)因为α为锐角，cos＝>0，所以α＋为锐角，sin＝，而cos＝cos＝cos＝sin2＝2sincos＝2××＝。所以cos＝。
(2)因为α，β均为锐角，所以－<α－β<。又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝，又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝。所以β＝，故选C。
答案 (1) (2)C (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况。
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解。
变|式|训|练 1．(2018·全国卷Ⅲ)若sina＝，则cos2a＝( ) A． B． C．－ D．－ 解析 cos2α＝1－2sin2α＝1－＝。故选B。
答案 B 2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________。
解析 因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1 ①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0 ②，①＋②得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－。
答案 － 考向二 解三角形 微考向1：利用正、余弦定理进行边角计算 【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( ) A．4 B． C． D．2 (2)(2018·陕西二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知＝1－，且b＝5，·＝5，则△ABC的面积为________。
解析 (1)因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以c＝4。故选A。
(2)由＝1－及正弦定理可得＝1－化简可得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝，故A＝。又·＝5，即bccosA＝5，故bc＝10，所以△ABC的面积为bcsinA＝。
答案 (1)A (2) 利用正、余弦定理解三角形的思路 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；
如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到。
(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”。
变|式|训|练 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝( ) A． B． C． D． 解析 由＝⇒＝⇒a2＋c2－b2＝ac⇒cosB＝＝。因为0<B<π，所以B＝。故选C。
答案 C 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若bsinA＋acosB＝0，且ac＝4，则△ABC的面积为( ) A． B．3 C．2 D．4 解析 由bsinA＋acosB＝0，得sinBsinA＋sinA·cosB＝0，因为sinA≠0，所以tanB＝－，所以B＝120°，所以△ABC的面积为acsinB＝×4×＝3。故选B。
答案 B 微考向2：几何图形中的边角计算 【例4】如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos∠BCD＝，则BD＝________；
三角形ABD的面积为________。
解析 在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×＝4，则BD＝2。在△ABD中，∠BAD＝180°－30°－45°＝105°，sin105°＝sin(45°＋60°)＝×＋×＝，由正弦定理可得AD＝＝＝2(－1)，则S△ABD＝×2(－1)×2×sin30°＝－1，故BD＝2，△ABD的面积为－1。
答案 2 －1 几何图形中的边、角计算一般要把几何图形分解为若干三角形，在三角形中利用正、余弦定理解决。
变|式|训|练 (2018·成都诊断)如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，则线段DE的长度为________。
解析 易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝，在三角形AEC中，＝⇒CE＝，在直角三角形CED中，DE＝CEsin60°，所以DE＝CEsin60°＝×＝×＝6。
答案 6 微考向3：三角形中的最值与范围问题 【例5】 (1)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，且a＝，则b2＋c2的取值范围是( ) A．(5,6] B．(3,5) C．(3,6] D．[5,6] (2)已知点O是△ABC的内心，∠BAC＝60°，BC＝1，则△BOC面积的最大值为________。
解析 (1)因为(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，所以由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，可化为b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理可得cosA＝＝＝。因为A∈，所以A＝，又因为a＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以b2＋c2＝(2sinB)2＋2＝3＋2sin2B＋sin2B＝4＋2sin。因为B∈，所以2B－∈，所以sin∈，所以b2＋c2∈(5,6]。故选A。
(2)因为O是△ABC的内心，∠BAC＝60°，所以∠BOC＝180°－＝120°，由余弦定理可得BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos120°，即OC2＋OB2＝1－OC·OB。又OC2＋OB2≥2OC·OB(当且仅当OC＝OB时，等号成立)，所以OC·OB≤，所以S△BOC＝OC·OB·sin120°≤，则△BOC面积的最大值为。
答案 (1)A (2) 解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；
二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围。
变|式|训|练 在△ABC中，M是BC的中点，BM＝2，AM＝AB－AC，则△ABC的面积的最大值为( ) A．2 B．2 C．3 D．3 解析 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。在△ABM中，由余弦定理得cosB＝，在△ABC中，由余弦定理得cosB＝，所以＝，即b2＋c2＝4bc－8，所以cosA＝，所以sinA＝ ，所以S△ABC＝bcsinA＝，所以当bc＝8时，S△ABC取得最大值2。故选B。
答案 B 1．(考向一)如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角β＝α＋的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f(α)＝y1－y2。若角α为锐角，则f(α)的取值范围是________。
解析 由题意可知y1＝sinα，y2＝sinβ＝sin，所以f(α)＝y1－y2＝sinα－sin＝sinα＋sinα－cosα＝sinα－cosα＝sin。又因为α为锐角，即0<α<，所以－<α－<，所以－<sin<，则－<f(α)<，即f(α)的取值范围是。
答案 2．(考向一)已知tan(α＋β)＝，tan＝，则的值为( ) A． B． C． D． 解析 tan(α＋β)＝，tan＝，则＝＝tan＝tan＝＝＝。故选D。
答案 D 3．(考向二)如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cosA＝( ) A． B． C． D． 解析 因为AD＝DB，所以A＝∠ABD，所以∠BDC＝2A。设AD＝BD＝x。在△BCD中，由＝，可得＝①。在△AED中，由＝，可得＝②。联立①②可得＝，解得cosA＝。故选A。
答案 A 4．(考向二)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值范围是________。
解析 因为a2＋b2＝2c2≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)，所以c2≥ab，所以由余弦定理可得cosC＝＝≥＝，又因为C∈(0，π)，所以C∈。
答案 5．(考向二)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝sinC，且c＝2，则a＋b的最大值为________。
解析 因为＝sinC，所以＝sinC＝2cosC，可得tanC＝。由C∈(0，π)，得C＝，所以＝＝＝4，所以a＝4sinA，b＝4sinB，则a＋b＝4sinA＋4sin＝4sin。因为A∈，所以A＋∈，所以sin∈，所以a＋b≤4，当A＝时取等号。
答案 4
