小学奥数分数求及专题总结计划(7页)
时间:2020-11-14 13:44:05 来源:勤学考试网 本文已影响 人
分数求和
分数求和的常用方法 :
1、公式法,直接运用一些公式来 算,如等差数列求和公式等。
2、 解法,将算式或算式中的某些部分的意思,用 表示出来,从而找出 便方法。
3、裂 法,在 算分数加、减法 ,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分
分数可以互相抵消,从而使 算 便。
4、分 法,运用运算定律,将原式重新分 合,把能凑整或 分化 的部分 合在一起 算。
5、代入法,将算式中的某些部分用字母代替并化 ,然后再 算出 果。
典型例
一、公式法:
算:
1
2
3
4
2006
2007
2008
+
+
+
+ ? +
+
2008
2008
2008
2008
2008
1
分析: 道 中相 两个加数之 相差 ,成等差数列,我 可以运用等差数列求
2008
和公式:(首 +末 )× 数÷
2 来 算。
1
+
2
+
3
4
+
2006
2007
2008
2008
+
? +
+
2008
2008
2008
2008
=(
1
+ 2007 )× 2007 ÷2
2008
2008
=10031
2
二、 解法:
算: 1
+
1+1+ 1
+ 1
+ 1
2
4
8
16
32
64
分析:解法一,先画出 段 :
从 中可以看出:
1
+
1
+ 1
+
1 +
1 + 1
=1-
1
=
63
2
4
8
16
32
64
64
64
解法二 : 察算式,可以 后一个加数 是前一个加数的一半。因此,只要添上一个加数
1 ,就能凑成 1 ,依次向前 推,可以求出算式之和。
64 32
+1+1+ 1+ 1+ 1
2
4
8
16
32
64
= 1
+1+1+1+1+(1+1)- 1
2
4
8
16
32
64
64
64
= 1
+1+1+1+( 1+1)- 1
2
4
8
16
32
32
64
1 1
×2-
64
=
64
解法三: 由于 中后一个加数 是前一个加数的一半, 根据 一特点, 我 可以把原式 大
倍,然后两式相减,消去一部分。
x= 1
+1+1+1+1+1
①
2
4
8
16
32
64
那么, 2x=( 1
+
1+1+
1 +
1 + 1
)× 2
2
4
8
16
32
64
=1+
1
+
1+1+
1 + 1
②
2
4
8
16
32
用②-①得
2x- x=1+
1
+
1+ 1+
1+1-(1
+
1+1+
1 +
1 + 1
)
2
4
8
16
32
2
4
8
16
32
64
x=
63
64
所以, 1
+
1+1+
1 +
1 + 1
=
63
2
4
8
16
32
64
64
三、裂 法
1、 算:
1
+
1 + 1
+ 1
+ 1
++
1 + 1
2
6
12
20
30
90
110
分析:
由于每个分数的分子均
1,先分解分母去找 律:
2=1× 2,6=2× 3,12=3×
4,20=4× 5, 30=5× 6, 110=10× 11, 些分母均 两个 自然数的乘 。
再 数型:因
1
=
1
=1-
1 , 1
=
1
3
=
1-1, 1
=
1
=
1- 1,,
2
1
2
2
6
2
2
3
12
3
4
3
4
1 = 1 = 1 - 1 。
将 加运算 成加减混合运算,中 分数互相抵消,只留下
110 10 11 10 11
和尾两个分数, 算 来方便。
1
+
1 +
1 +
1 + 1
++
1 +
1
2
6
12
20
30
90
110
=1-
1 + 1
-
1+1-
1 ++
1 -
1
+ 1
-
1
2
2
3
3
4
9
10
10 11
=1-
1
11
10
=
11
2、 算: 1 + 1 + 1 ++ 1 + 1
15 5 9 913 29 33 33 37
分析:因
4
=1 -
1 ,
4
=
1- 1,
9
4
=
1-1
29
4
=
1-1,
1
5
5
5
9
5
9
13
9
13
33
29
33
33
4
=
1 - 1 。所以,我 可以将 中的每一个加数都 大
4 倍后,再分裂成两个数
37
33
37
的差 行 便 算。
1
+
1
+
9
1
++
1
+
1
37
1
5
5
9
13
29
33
33
=(
4
+
4
9
+
4
++
4
+
4
37
)÷ 4
1
5
5
9
13
29
33
33
=( 1-
1+ 1- 1+1-
1++ 1-1
+
1-1)÷4
5
5
9
9
13
29
33
33
37
=( 1-
1
)÷ 4
9
37
=
37
4-4-4-4-4-4
- 4
- 4
3、 算: 21-
3
15
35
63
99
143
195
255
分析:因 4
=4×
1
=4×
1
=4×( 1-
1)× 1
,
3
3
1
3
3
2
4 =4× 1 =4×
1
=4×(1-1)× 1,
15
15
3
5
3
5
2
4 =4× 1 =4×
1
=4×(1- 1)× 1,
35
35
5
7
5
7
2
4
=4× 1
=4×
1
=4×( 1- 1 )×1.
255
255
15
17
15
17
2
所以,先用裂 法求出分数串的和,使 算 便。
21-4-4-4-4-4- 4 - 4 - 4
3
15
35
63
99
143
195
255
=21- 4× ( 1-
1
+
1 - 1
+
1- 1 ++
1-1)×1
3
3
5
5
7
15
17
2
=21- 2× (1-
1
)
17
2
=19
17
4、 算:
1+ 5+ 11+ 19+ 29++
9701 + 9899
2
6
12
20
30
9702
9900
1
1
1 ,
分析:仔 察后 , 每个加数的分子均比分母少
1. 可 形 :
=1-
=1-
1
2
2
2
5
=1-
1
=1-
2
1
, 11
=1-
1
=1-
1
, 19
=1-
1
=1-
1
,, 9899
=1-
6
6
3
12
12
3
4
20
20
4
5
9900
1
1
.然后再裂 相消。
=1-
9900 99 100
1+5+11+19 + 29++
9701 + 9899
2
6
12
20
30
9702
9900
=( 1-
1)+(1- 1)+(1- 1
)+ (1-
1
)++ (1-
1
)
2
6
12
20
9900
=1× 99- (
1+1+
1 +
1 ++
1
)
2
6
12
20
9900
=99- (
1
+
1
+
1
+
4
1
++
99
1
)
1
2
2
3
3
4
5
100
1
)
=99- (1-
1
100
=99
100
1
1
1
1
5、 算 : 1+
+ +
1
2
1
2
3
1
2
3
4
2 3
......
100
1
分析:可以看出,第一 的分母 1,第二 的分母 两个数相加,依此 推,最后一个分母是 100 个数相加且都是等差数列。
,利用等差数列求和公式,或利用分数基本性 , 分母 两个数相乘。再裂 求和。
解法一:
1+
1
1
1
+ +
1
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3 ...... 100
4
1
2
1
1
1
......
1
=
+
(1
2)
2
(1
3)
3
(1
4)
(1
100)
100
1
2
4
2
2
2
2
=
2
2
2
2
......
2
2
2
3
3
4
4
5
100
101
1
=2×( 1- 1 )
101
99
=1
解法二:原式 =
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
(1
2)
2
(1
2
3)
2
(1 2
3
4)
......
2 (1 2 ...... 99 100)
=
2
2
2
......
2
2
2
3
3
4
100
101
1
=2×(
1
1
1
......
1
)
1
2
2
3
3
4
100
101
=2×( 1-
1
)
=1 99
101
101
1
1
1
1
6、 算 :
?+
1
2
3
2
3
4
3
4
5
99
100
98
分析:可以把 中的每两个加数分解成两个分数之差:
1
3
1
(
1
2
2
1
) ,
2
1
4
1
(
1
3
1
) ,
1 2
2
1
3
3
2
2
3
4
1
1
(
1
1
) ,此 ,可消中 ,留两 行巧算。
98
99
100
2
98
99
99
100
原式=1 ×(
1
1
3
)+ 1×(
2
1
1
4
)++ 1 ×(
1
99
1
)
2
1
2
2
2
3
3
2
98
99
100
=
1
×(
1
2
1
3
+
2
1
3
1
4
++
1
1
)
2
1
2
3
98
99
99
100
=
1
×(
1
1
)
12 99100
4949
=
19800
四、分 法 : 算,
1
2
-
3
-
4
+
5
+
6
-
7
-
8
+
+
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
9
+ 10
--
1999 - 2000 + 2001 + 2002
2004
2004
2004
2004
2004
2004
分析: 算式中共有
2002 个分数, 从第二个分数
2
开始依次往后数,每四个分数 一 ,
2004
到 2001 止,共有 500
,每 算 果都是
0.
2004
原式
1
2
-
3
-
4
+
5
)+(
6
-
7
-
8
+
9
)
=
+(
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
+ 10
- +( 1998 - 1999 - 2000 + 2001 )+ 2002
2004
2004
2004
2004
2004
2004
1
2002
=
+
2004
2004
2003
=
2004
五、代入法 : 算( 1+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)×(
1
1
1
2
3
4
)×(
3
4
)-( 1+
3
4
5
2
3
)
2
5
2
4
分析:可以把算式中相同的一部分式子, 字母代替,可化繁 ,化 易。
1 1
1=A, 1 1
1 1 =B,
2
3
4
2
3
4
5
原式 =( 1+A)× B-(1+B)× A
=B+ AB- A- AB
=B- A
1
1
1
1
)- (
1
1
1
)
=(
3
4
5
2
3
4
2
1
=
5
点
算:
1、
1
3
5
7
9
11
13
49
49
49
49
49
49
【 1】
49
2、11111
1 1
1
【 1 】
2
4
8
16
32
64
128
128
3、111 1
1
1【6】
2
6
12
20
30
42
7
4、
1
1
1
......
1
1
1988
1989
1989
1990
1990
1991
2007
2008
2008
2009
【
1
1
3
】
2009
1988
570556
5、
1
1
1
19
......
35
1
1
【
1 】
13
15
15
17
17
37
37
39
39
6、2+ 3 1
5 1
7 1
11 1
131 【415】
6
12
20
30
42
14
7、
1
5
11
19
29
41
55
【 6 1
】
2
6
12
20
30
42
56
8
8、
4
16
36
64
100
144
196
256
324
400
10
】
3
15
35
63
99
143
195
255
323
【 10
21
399
9、 1
5
7
9
11
13
15
17
19
21
6
12
20
30
42
56
72
90
110
【原式 =1- 2
3 + 3
4 - 4
5
+
5
6
-
6
7
+
7
8 - 8
9
+
9
10-10
11
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
=1-(
2
2
3
) +(
3
3
4
4
)- (
4
5
5
)+?-(
10
11
)
3
2
3
3
4
4
4
5
10
11
10
11
1
1
1
1
1
1
)+?- (
1
1
)
=1- (
2
)+(
)- (
4
11
10
3
4
3
5
=1-
1
1
=
9 】
2
11
22
10 、
1
+
2
+
3
+
4
-
5
-
6
-
7
-
8
+
9
+ 10
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
+?+ 1995 + 1996 - 1997 - 1998 - 1999 - 2000 + 2001 + 2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
【从第三个分数
3
开始依次往后数,每
8 个分数 一 ,到最后一个分数
2002 止,
2002
1
2
3
2002
共有 250
,每 算 果都是
0.所以,原式 =
+
=
】
2002
2002
2002
11、(1+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)× (
1
1
1
1
2
3
4
)×(
3
4
5
)-(1+
3
4
5
6
2
3
4
)
5
2
6
2
5
【 1+1
1
1
1
=A,
1
1
1
1
=B,原式 =A×( B+
1 )-( A+1 )×B=1 】
2
3
4
5
2
3
4
5
6
6
6
12、
1
(1
2)
( 1
2
3)
( 1
2
3
4) +? +(
1
2
3
...
18
19
)
2
3
3
4
4
4
5
5
5
5
20
20
20
20
20
【原式 =
1
+1+1
1
+2+2
1
+? +9
1
=(
1
+9
1 )× 19÷ 2=95】
2
2
2
2
2
2
13、2001
年是中国共 党建党
80
周年,
1921 是个有特殊意 的分数。
如果下式大于 1921 ,
那么 n 最小等于多少
2001
2001
1
1
1
......
1
1 2
2
3
3
4
n
(n
1)
【1-
1
> 1921 , n> 24 1
】
n
1
2001
8
14、 1
2
3
4
--
1
(1
2)
(1
2)
(1
2
3)
(1
2
3)
(1
2
3
4)
10
(1 2 3 ...... 9) (1 2 3 ...... 10)
【先 分母用等差数列求和,再整体裂 求和。
原式 =1-
4
4
4
-?-
4
2
3
2
3
4
3
4
5
10
11
1
9
=1- 4× [
1 ×(
1
1
)+
1 × (
1
3
1
)+?+
1 ×(
9
1
1
)
2
1
2
2
3
2
2
3
4
2
10
10
11
=1- 4× 1 ×(
1
1
1
)=1】
2
2
10
11
55
15、
1
1
1
.......
1
1
42
1
62
1
1002
1
22
【利用公式
1
1
a
1
1
1
1
形各 。原式 = 1
1
1
=
50 】
a2
1
2
a
2
2
1
100
1
101
(22
42
62
......
1002 )
(12
32
52
......
992)
16、
1
2
3 ......
10 9
8 ......
1
【利用 a2
b2
a
b
a
b 形,分母 =100,分子 =(2+1 )( 2-1) +( 4+3)( 4-3)+?
+( 100+ 99)(100-99 ) =3+7 +11+?+ 199=101× 50,原式 = 101
50
=501
】
100
2