高考高中数学第95炼 统计初步x

高中数学

PAGE 1

第95炼 高中涉及的统计学知识

一、基础知识：

（一）随机抽样：

1、抽签法：把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到容量为的样本

2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤：

（1）先将总体的个个体编号

（2）确定分段间隔，设样本容量为，若为整数，则

（3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号，则后面每段所确定的个体编号与前一段确定的个体编号差距为，例如：第2段所确定的个体编号为，第段所确定的个体编号为，直至完成样本

注：（1）若不是整数，则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被整除，再进行系统抽样。例如501名学生所抽取的样本容量为10，则先随机抽去1个，剩下的个个体参加系统抽样

（2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为

3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。

分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到

（二）频率分布直方图：

1、频数与频率

（1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数据的个数.

（2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数

（3）各试验结果的频率之和等于1

2、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布表（表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出

（1）极差：一组数据中最大值与最小值的差

（2）组距：将一组数据平均分成若干组（通常5-12组），则组内数据的极差称为组距，所以有组距=极差/组数

（3）统计每组的频数，计算出每组的频率，便可根据频率作出频率分布直方图

（4）在频率分布直方图中：横轴按组距分段，纵轴为“频率/组距”

（5）频率分布直方图的特点：

① 频率=，即分布图中每个小矩形的面积

② 因为各试验结果的频率之和等于1，所以可得在频率分布直方图中，各个矩形的面积和为1

（三）茎叶图：通常可用于统计和比较两组数据，其中茎是指中间的一列数，通常体现数据中除了末位数前面的其他数位，叶通常代表每个数据的末位数。并按末位数之前的数位进行分类排列，相同的数据需在茎叶图中体现多次

（四）统计数据中的数字特征：

1、众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫做众数

2、中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数称为中位数，其中若数据的总数为奇数个，则为中间的数；若数据的总数为偶数个，则为中间两个数的平均值。

3、平均数：代表一组数据的平均水平，记为，设一组数据为：，则有：

4、方差：代表数据分布的分散程度，记为，设一组数据为：，其平均数为，则有：，其中越小，说明数据越集中

5、标准差：也代表数据分布的分散程度，为方差的算术平方根

二、典型例题

例1：某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生_______人．

思路：分层抽样即按比例抽样，由高一年级和高二年级的人数可得高三人数为人，所以抽样比为，从而总人数为人

答案：3700

例2：某企业三月中旬生产，A．B．C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计

员制作了如下的统计表格：

产品类别

A

B

C

产品数量（件）

1300

样本容量（件）

130

由于不小心，表格中A．C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是 件．

思路：由产品可得抽样比为，所以若A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，则A产品的数量比C产品的数量多，且产品数量和为，从而可解得产品的数量为

答案：800

例3：某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中___________根棉花纤维的长度小于15mm．

思路：由频率直方图的横纵轴可得：组距为5mm，所以小于15mm的频率为，所以小于15mm共有根

答案：10

例4：某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是 ；已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是 （第二个空填“甲”或“乙”）．

思路：由茎叶图可读出，乙同学的成绩为，甲同学的成绩为，所以乙同学的成绩的中位数为，相比较而言，甲同学的成绩比较集中，所以比较稳定的是甲

答案：，甲

小炼有话说：在求中位数时要注意先将数据从小到大排列，判断成绩稳定，本题甲，乙稳定性的判断定量上要依靠方差，但因为本题从茎叶图上看出甲，乙数据稳定性差距较大，所以定性的判断。

例6：某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：，，它的频率分布直方图如图所示，则该批学生中成绩不低于90分的人数是_____．

思路：的高度未知，但由于直方图体现的是全部样本的情况，所以各部分频率和为1，可以考虑间接法。从图中可观察到的频率为，所以不低于90分的频率为，故人数为（人）

答案：

例7：从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示．

（1）直方图中的值为___________；

（2）在这些用户中,用电量落在区间内的户数为_____________．

思路：（1）依题意可得频率直方图中的频率和等于1，由图可得组距为，所以有，解得

（2）图中的频率为，所以用户数为（户）

答案：（1） （2）户

例7：某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于即为优秀，如果优秀的人数为175人，则的估计值是________．

思路：可先从频率直方图中按分数从高到低统计分数段的人数，组距为，从而可得：

的人数为，同理可得的人数为人，而优秀的人数为人，所以应包含的全体，以及中的一半人数，所以估计值为到的中间值，即

答案：

例8：某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：）,随机选择了位中学生进行调查,根据所得数据，画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则 _______.

思路：设第一个的面积为，则第4个为，第2个为，第3个为，依题意可得四部分的频率和为，从而可解得，所以，从而

答案：

例9：某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是_________

思路：由系统抽样可知，每组抽出的号码依次成等差数列，且公差为组距，所以，则

答案：47

例10：某单位有840名职工， 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查， 将840人按1， 2， …， 840随机编号， 则抽取的42人中， 编号落入区间的人数为 ．

思路：由系统抽样可知：组距为，所以区间可拆分为，而每个区间只有一人被抽取，所以共有3人

答案：

一、光速解题——学会9种快速解题技法

技法1　特例法

　　在解答填空题时,可以取一个(或一些)特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,失去了推理论证的演算过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种方法.

　　典例1　(特殊数值)求值:cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+240°)=　　　　.?

答案　3

解析　题目中“求值”二字提供了这样的信息:答案为一定值,于是不妨令α=0°,则原式=cos20+cos2120°+cos2240°=1+14+14=

典例2　(特殊点)点P为椭圆x225+y29=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S

答案　1

解析　不妨取点P4,95,则S1=3-95×(5-4)=65,PD=2,PE=65,所以S2=12

典例3　(特殊函数)若函数y= f(x)对定义域D中的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称f(x)为“影子函数”,有下列三个命题:

①“影子函数” f(x)的值域可以是R;

②“影子函数” f(x)可以是奇函数;

③若y= f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y= f(x)·g(x)是“影子函数”.

上述正确命题的序号是　　　　.?

答案　②

解析　对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f(x1)=0,此时不存在x2,使得f(x1)·f(x2)=1,所以①错误;

对于②:函数f(x)=x(x≠0),对任意的x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),取x2=1x1,则f(x1)·f(x

　　对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)=1x(x>0)都是“影子函数”,但F(x)= f(x)·g(x)=1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0,+∞),存在无数多个x2∈(0,+∞),使得F(x1)·F(x2

典例4　(特殊位置)(1)已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令AB=a,AC=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且AP=ma,AQ=nb,则1m+1n=

(2)如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、下两部分,则上、下两部分的体积之比为　　　　.?

答案　(1)3　(2)2∶1

解析　(1)由题意知结果必然是一个定值,故可利用特殊直线确定所求值.如图,令PQ∥BC,则AP=23AB,AQ=23AC,此时,m=n=23

(2)将P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有VC-AA1

因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2∶1的上、下两部分.

典例5　(特殊图形)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则cosA+cosC

答案　4

解析　不妨令△ABC为等边三角形,则cos A=cos C=12,则cosA+cos

技法2　换元法

　　换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.

典例1　(三角换元)已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围是　　　　.?

答案　[4,12]

解析　已知x2+2xy+4y2=6,

即(x+y)2+(3y)2=(6)2,

故设x+y=6cos α,3y=6sin α,

即x=6cos α-2sin α,y=2sin α.

则z=x2+4y2=6-2xy=6-2(6cos α-2sin α)·2sin α

=8-4sin2α

所以8-4≤z≤8+4,即z的取值范围是[4,12].

典例2　(整体代换)函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的最小值是　　　　.?

答案　-1

解析　设t=sin x-cos x=2sinx-

则sin xcos x=1-

因为x∈[0,π],所以x-π4∈-

所以t∈[-1,2],

所以y=t+1-t22=-12

典例3　(局部换元)设对一切实数x,不等式x2log24(a+1)a+2xlog2

解析　设log22aa+1=t,则log24(a+1)a=log28(a+1)2a=3+log2a+12a=3-log22a

技法3　数形结合法

　数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系,即以形为手段,以数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数的精确性阐明形的某些属性,即以数为手段,以形为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

典例1　(平面向量问题)设a,b,c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为　　　　.?

答案　1-2

解析　由于(a-c)·(b-c)=-(a+b)·c+1,因此求(a-c)·(b-c)的最小值等价于求(a+b)·c的最大值,这个最大值只有当向量a+b与向量c同向共线时取得.由于a·b=0,故a⊥b,如图所示,|a+b|=2,|c|=1,当θ=0时,(a+b)·c取得最大值2,故所求的最小值为1-2.

典例2　(函数问题)(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中最小的数,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为　　　　.?

(2)设函数g(x)=x2-2(x∈R),

f(x)=g(x)

答案　(1)6　(2)-9

解析　(1)在同一平面直角坐标系中画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知f(x)=2

∴f(x)的最大值在x=4时取得,为6.

(2)依题意知f(x)=x

即f(x)=x2+x+2,

典例3　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)=log2(

答案　1-2a

解析　在平面直角坐标系中作出函数f(x)=log2(x+1),x∈[0,1),12x2-3x+72,x∈[1,+∞)以及y=-a的图象,由图象可知,关于x的方程f(x)+a=0(0<a<1)共有5个根,这5个根由小到大依次记为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2=-6,x

典例4　(不等式问题)已知当动点P(x,y)满足2x+y≤2,x

答案　-∞,

解析　动点P(x,y)满足的约束条件为2x+y≤2,x≥0,x+y

由图可知,点A(0,-1)到直线y=-x的距离的平方就是x2+(y+1)2的最小值,

由点到直线的距离的平方得x2+(y+1)2的最小值为|-1|2

因此x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1的最小值为12-1=-1

所以由不等式恒成立的条件知2a-1≤-12,解得a≤14,故实数a的取值范围是

典例5　(解析几何问题)若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为　　　　.?

答案　9或1

解析　在图(1)中,MN=MF=10,MG=6,∴FG=8,故AF=2,则xM=OF+FG=9,∴M的横坐标为9.在图(2)中,GF=8,∴AF=10+8=18,∴OG=AG-OA=10-9=1,故M的横坐标为1.

技法4　待定系数法

　　待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为解方程(组)的问题来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题中涉及某种确定的数学表达式的情况,例如求函数解析式、求曲线方程、求数列的通项公式等问题.

　　典例1　(求函数解析式)(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2 f(x-1)=2x+17,求f(x).

(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).

解析　(1)设f(x)=ax+b(a≠0),

则f(x+1)=ax+a+b, f(x-1)=ax-a+b,

∴3 f(x+1)-2 f(x-1)=ax+b+5a=2x+17,

∴a=2,b

(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

由f(0)=0,知c=0,∴f(x)=ax2+bx.

∵f(x+1)= f(x)+x+1,

∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,

∴ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,

∴2a+

∴f(x)=12x2+1

典例2　(求曲线方程)(1)(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为　　　　　　　　.?

(2)已知椭圆C的焦点在x轴上,其离心率为32,且过点A3,1

答案　(1)(x+1)2+(y-3)2=1　(2)x24+y

解析　(1)由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,

因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,

所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,

所以OA=3,即t=3,

故圆C的方程为(x+1)2+(y-3)2=1.

(2)设椭圆C的标准方程为x2a2

因为e=ca=32,所以ba

故椭圆C的方程为x24b

又点A3,12在椭圆C上,所以(

解得b2=1.

所以椭圆C的标准方程为x24+y

典例3　(求数列的通项公式)(2018江苏南京调研)已知数列{an}中,a1=0,an+1=2an+n(n∈N*),求数列{an}的通项公式.

解析　已知an+1=2an+n,

设an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B),

则an+1+An+A+B=2an+2An+2B,

即an+1=2an+An+B-A,

则A=1,

∴an+1+n+1+1=2(an+n+1),

∴{an+n+1}是首项为a1+1+1=2,公比为2的等比数列,

∴an+n+1=2·2n-1=2n,

∴an=2n-n-1(n∈N*).

技法5　构造法

　　构造法是指利用数学的基本思想,通过已知和所求之间的联系,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决.构造法需以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点采取相应的解决办法,其基本的方法是借用一类问题的性质来确定另一类问题的相关性质.常见的构造法有构造函数、构造图形、构造方程等.

典例1　(构造函数)已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f '(x)满足f(x)< f '(x),则不等式f(x)≥ f(2 019)ex-2 019的解集是　　　　　　.?

答案　[2 019,+∞)

解析　构造函数g(x)=f(x)ex,因为f(x)< f '(x),所以g'(x)=f '(x)- f

典例2　(构造图形)(2018江苏四校高三调研)已知a>1,b>2,则(a+b

答案　6

解析　构造图形(如图),在直角三角形中由勾股定理可得(a+b)2=(a2-1+b2-4)2+9,则(a

当且仅当a2-1+b

典例3　(构造方程)已知16cos C+4sin B+tan A=0,sin2B=4cos Ctan A,其中cos C≠0,试确定cosC

解析　令t=4,则由16cos C+4sin B+tan A=0得t2cos C+tsin B+tan A=0.(*)

因为cos C≠0,所以(*)式是关于t的一元二次方程.

易得Δ=sin2B-4cos Ctan A=0,

所以关于t的一元二次方程(*)有两个相等的实根,且t1=t2=4.

由根与系数的关系得:tanAcosC=t1·t2

因此,cosCtanA

技法6　补集法

　　补集法就是在已知问题涉及的类别较多,或直接求解比较麻烦时,先求解该问题的对立事件,进而利用补集的思想求得问题结果的方法.该方法在概率、集合、函数等问题中应用较多.

典例1　(概率问题)(2018江苏南通海安高级中学高三检测)分别在集合A={1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数相乘,则乘积为偶数的概率为　　　　.?

答案　3

解析　在集合A={1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数相乘,有16种结果,其中乘积为奇数的有(1,5)、(1,7)、(3,5)、(3,7),共4种,则乘积为偶数的概率为1-416=3

典例2　(集合问题)已知集合A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0},且A∪B≠A,求实数a的取值范围.

解析　∵集合A={x|x2-2x-8=0}={-2,4}.

若A∪B=A,则B?A,

①若B=A,则x=-2和x=4是方程x2+ax+a2-12=0的两个根,解得a=-2.

②若B={-2},则x=-2是方程x2+ax+a2-12=0的唯一解,得a=4.

③若B={4},则x=4是方程x2+ax+a2-12=0的唯一解,此时a不存在.

④若B为空集,则方程x2+ax+a2-12=0无实数解,即a2-4(a2-12)<0,解得a<-4或a>4.

综上可知,若A∪B=A,则a=-2或a<-4或a≥4.

∴若A∪B≠A,实数a的取值范围是[-4,-2)∪(-2,4).

典例3　(函数问题)已知函数f(x)=ax2-x+ln x在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值范围是　　　　.?

答案　0

解析　f '(x)=2ax-1+1x

①若函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,则f '(x)≥0在[1,2]上恒成立,即2ax-1+1x≥0,x∈[1,2],即a≥1

令t=1x,因为x∈[1,2],所以t=1x∈

设h(t)=12(t-t2)=-12t-122

所以h(1)≤h(t)≤h12,即0≤h(t)≤1

由(*)可知,a≥18

②若函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f '(x)≤0在[1,2]上恒成立,即2ax-1+1x≤0,x∈[1,2],即a≤12·

结合①可知,a≤0.

综上,若函数f(x)在区间[1,2]上单调,则实数a的取值范围为(-∞,0]∪18

所以,若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值范围为0,

技法7　等价转化法

　　等价转化法是把难解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题.利用等价转化的思想方法解决数学问题没有统一的模式.既可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换,也可以在宏观上进行等价转化,消元法、换元法等都体现了等价转化的思想.

典例1　(等体积转化)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为　　　　.?

答案　1

解析　依题意可知S△D1ED=12,点F到平面D1ED的距离为1,所以VD1-EDF=VF-

典例2　(正与反的转化)由命题“存在x0∈R,使e|x0

答案　a=1

解析　由命题“存在x0∈R,使e|x0-1|-m≤0”是假命题可知它的否定形式“对任意的x∈R,都有e|x-1|-m>0”是真命题,即m<e

典例3　(函数、方程、不等式间的转化)若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值范围是　　　　.?

答案　(-∞,-8]

解析　令3x=t,t>0,则关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解可转化为t2+(4+a)t+4=0在t∈(0,+∞)上有解,

故a=t2+4t+4-t=-4-t+4t在t∈(0,+∞)上有解,由基本不等式可得t+4

典例4　(命题转化)已知命题甲:a+b≠4,命题乙:a≠1且b≠3,则命题甲是命题乙的　　　　　　　　　条件.?

答案　既不充分也不必要

解析　∵a=1或b=3?/ a+b=4,且a+b=4?/ a=1或b=3,

∴a=1或b=3是a+b=4的既不充分也不必要条件.

由原命题与逆否命题等价可知,“a+b≠4”是“a≠1且b≠3”的既不充分也不必要条件.

典例5　(变量与常量的转化)设f(x)是定义在R上的单调递增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意的a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围是　　　　　　.?

答案　(-∞,-1]∪[0,+∞)

解析　因为f(x)是定义在R上的单调递增函数,所以f(1-ax-x2)≤f(2-a)?1-ax-x2≤2-a,即(x-1)a+x2+1≥0对任意的a∈[-1,1]恒成立,即-(x

技法8　坐标法

　　坐标法是解决平面图形(立体几何中也有坐标法的应用)问题的有力工具,把平面图形放在平面直角坐标系中,可以使用平面解析几何、平面向量的方法解决问题.

典例　(平面向量)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为　　　　.?

答案　5

解析　建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=m,P(0,t),由题意可知,A(2,0),B(1,m),则PA=(2,-t),PB=(1,m-t),PA+3PB=(5,3m-4t),|PA+3PB|=52+(3m-4t)

技法9　向量法

　　向量法在解决几何问题、三角问题、代数问题中具有广泛的应用.解题的关键是把已知和所求向量化,使用向量知识加以解决.

　　典例1　(三角问题)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则cos∠DAC等于　　　　.?

答案　3

解析　以点B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

设AB=2,

则AC=5,AD=2,C(0,1),A(2,0),D(1,1),则AC=(-2,1),AD=(-1,1),AC·AD=(-2,1)·(-1,1)=3.

根据平面向量数量积定义得

AC·AD=|AC|·|AD|cos∠CAD=10cos∠CAD,

所以10cos∠CAD=3,

所以cos∠CAD=310=3

典例2　(代数问题)已知a2+b2=1,m2+n2=1,则am+bn的取值范围是　　　　.?

答案　[-1,1]

解析　设u=(a,b),v=(m,n),

则|u|=|v|=1,且u·v=ma+nb,

根据平面向量数量积的定义得u·v=|u|·|v|cos θ=cos θ,其中θ为向量u,v的夹角,

由于0≤θ≤π,所以-1≤cos θ≤1,

所以-1≤am+bn≤1,

即am+bn的取值范围是[-1,1].