2023年度高一数学教案方差优秀3篇
时间：2024-03-21 12:24:04 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
高一数学教案方差优秀数学教案-方差第一课时素质教育目标(一)知识教学点使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差。(二)能力训练点1.培养学下面是小编为大家整理的高一数学教案方差优秀3篇,供大家参考。
高一数学教案方差优秀篇1
数学教案-方差
第一课时
素质教育目标
(一)知识教学点
使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差。
(二)能力训练点
1.培养学生的计算能力。
2.培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力。
(三)德育渗透点
1.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯。
2.渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点。
(四)美育渗透点
通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，岣哐？STRONG>数学美的鉴赏力。
重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：方差概念。
2.教学难点 ：方差概念。
3.教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚。
4.解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况。
教学步骤
(一)明确目标
前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本(或一组数据)和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算。
这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解。
(二)整体感知
对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小。衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差。
(三)教学过程
1.请同学们看下面的问题：(用幻灯出示)
两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)
机床甲
40
39.8
40.1
40.2
39.9
40
40.2
39.8
40.2
39.8
机床乙
40
40
39.9
40
39.9
40.2
40
40.1
40
39.9
上面表中的数据如图所示
教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？
对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数。教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数。(请两名同学到黑板计算)
计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米。这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图(给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别)从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近。这
说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好。
教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).
通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准
备。
2.方差概念
教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：
设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，那么我们用它们的平均数，即用
③
来衡量这组数据的`波动大小，并把它叫做这组数据的方差。一组数据方差越大，说明这组数据波动越大。教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握。
在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差？(教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消)为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？(教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些)为什么要除以数据个数n?(是为了消除数据个数的影响).
在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好。
教师范解
从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大。
这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识。
3.例1 (用幻灯出示)已知两组数据：
甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分别计算这两组数据的方差。
让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算。
解：根据公式②(取 )，有
从 知道，乙组数据比甲组数据波动大。
4.标准差概念
在有些情况下，需要用到方差的算术平方根
④
并把它叫做这组数据的标准差。它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。
教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系：
计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便。
课堂练习 教材P165中(1)、(2)
(四)总结、扩展
知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差。方差与标准差这两个概念既有联系又有区别。
方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数，再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根。
布置作业
教材P173中1，2(1)(2)
板书设计
高一数学教案方差优秀篇2
平方差公式
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式。难点是公式推导的理解及字母的广泛含义。平方差公式是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础。
1.平方差公式是由多项式乘法直接计算得出的：
与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项。合并同类项后仅得两项。
2.这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式。例如
在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了。
3.关于平方差公式的特征，在学习时应注意：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
(2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).
(3)公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式。
(4)对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算。
三、教法建议
1.可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的`是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力。
2.通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即
(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2.
这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了。
3.通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用平方差公式。这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，
(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2
↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↑
(a + b)(a - b)=a2- b2.
这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错。
另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性。
教学目标
1.使学生理解和掌握平方差公式，并会用公式进行计算；
2.注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力。
教学重点和难点
重点：平方差公式的应用。
难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式。
教学过程 设计
一、师生共同研究平方差公式
我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子。
让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解。教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：
两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？
(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式。这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。而它们的积等于乘式中这两个数的平方差)
继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算。以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式。
在此基础上，让学生用语言叙述公式。
二、运用举例 变式练习
例1 计算(1+2x)(1-2x).
解：(1+2x)(1-2x)
=12-(2x)2
=1-4x2.
教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么。
例2 计算(b2+2a3)(2a3-b2).
解：(b2+2a3)(2a3-b2)
=(2a3+b2)(2a3-b2)
=(2a3)2-(b2)2
=4a6-b4.
教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算。
课堂练习
运用平方差公式计算：
(l)(x+a)(x-a); (2)(m+n)(m-n);
(3)(a+3b)(a-3b); (4)(1-5y)(l+5y).
例3 计算(-4a-1)(-4a+1).
让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演。
解法1：(-4a-1)(-4a+1)
=[-(4a+l)][-(4a-l)]
=(4a+1)(4a-l)
=(4a)2-l2
=16a2-1.
解法2：(-4a-l)(-4a+l)
=(-4a)2-l
=16a2-1.
根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果。解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果。采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷。因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案。
课堂练习
1.口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b); (2)(a-b)(b+a);
(3)(-a-b)(-a+b); (4)(a-b)(-a-b).
2.计算下列各题：
(1)(4x-5y)(4x+5y); (2)(-2x2+5)(-2x2-5);
教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法。
三、小结
1.什么是平方差公式？
2.运用公式要注意什么？
(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；
(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形。
四、作业
1.运用平方差公式计算：
(l)(x+2y)(x-2y); (2)(2a-3b)(3b+2a);
(3)(-1+3x)(-1-3x); (4)(-2b-5)(2b-5);
(5)(2x3+15)(2x3-15); (6)(0.3x-0.l)(0.3x+l);
2.计算：
(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y); (2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b);
(3)x(x-3)-(x+7)(x-7); (4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4).
高一数学教案方差优秀篇3
一、教学目的
1.使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差。
2.使学生了解样本方差、样本标准差、总体方差的意义。
二、教学重点、难点
重点：方差、标准差、样本方差、样本标准差、总体方差的意义。
难点：样本方差、样本标准差的计算。
三、教学过程
复习提问
计算一组数据的平均数有哪些方法？
引入新课
在很多实际问题中，只知道一组数据的平均数是不够的，还需要知道这组数据的波动大小。如何了解数据的波动大小？这正是我们要解决的问题。
新课
引例 两台机床同时生产直径是40毫米的零件。为了检验产品质量，从产品中抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)：
表中数据表成如下形式：
可在此处让学生用公式②分别计算这两组数据的平均数(还可提问学生a取什么值最好，这样学生能在教师的启发下得到a=40最合适).当学生算出如下平均数：
让学生思考，两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米时，甲、乙两机床性能是否都一样好？提出问题让学生议议后，再引导学生看图1，让学生认识到“机床甲生产的零件的直径与规定尺寸编差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸的偏差较小，比较集中在40毫米线的附近。”这说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好。
这反映出，对一组数据，除需要了解它们的平均水平以外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).
在此处要告诉学生：描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法。本课介绍“方差”即是一种方法。即：
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。
要强调“一组数据方差越大，说明这组数据波动越大”。条件许可时，还可介绍③式可表示为：
接下来可以请两个学生计算引例中机床甲、乙两组数据的方差。
从0.026>0.008可以比较出，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大。(接下来教师再给出如下例题。)
例1 已知两组数据：
分别计算这两组数据的方差。
讲此例后，要强调求解步骤为：
(1)求平均数；(2)求方差；(3)比较方差得出结论。
此后接前面问题说，用来衡量一组数据的波动的方法还可用一组数据的标准差，即
公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量。
在本节引例中，两组数据的标准差，可让学生算一下，得出：
说明：计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便。
小结
1.本课学了计算一组数据的方差的公式③.
2.本课在方差的基础上又学了计算一组数据的标准差的公式④.
练习：选用课本练习题。
作业 ：选用课本习题。
四、教学注意问题
要注意通过例题讲好求方差题目的解题格式。
