北京工业大学期末考试概率统计试题概率统计(工)试题答案x
时间：2021-02-04 16:21:15 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
北京工业大学
概率论与数理统计课程期末考试(工类)试题答案
一.填空题(每空3分，共30分)
设 P(A)=0.5, P(B) = 0.6, P(AUB) = 0.7,贝 ^P(A\B}= 2/3
若X为［0.1］区间上均匀分布，iSA = {0.1<X<0.3), 丫表示对X进行25次
独立观测时事件A发生的次数。则￡(/)= 5 , Var(Y) = 4 。
若随机变量X”X2相互独立，且X】?N(3, 32),兀?N(l, 22),令
X=Xl-2X2,则X ? N(l, 52) ,P{TvX<6}= 0.6826 。
注］:①(力为正态分布N(0, 1)的分布函数，0(1) = 0.8413。
设随机变量X的数学期望E(X) = 7,方差Var(X) = 5 ,用切比雪夫不等式估
计得 P{2 < X < 12} > 0. 8 o
若XjX?,…,X'm >2)为抽自正态总体N(“,cr，)的随机样本，记
则 亦(乂一“)/b?N (O 1) , Vh(X 一“)/ VF ? 如 ，⑺-1)52/(72 ?
6■设X|血…兀是抽自正态总体N(〃J)的简单样本，则〃的置信系数为0. 95
的置信区间为［X-0.196 , 乂+0.196］。
注 2： Z。为正态分布N(0, 1)的右ot分位0<a<1, Z0025 = 1.96 , Zoa5 =1.645 □
二 计算题(每题14分，共70分，做题时须写出解题过程，否则不能得分)
有型号相同的产品两箱，第一箱装12件产品，其中两件为次品；笫二箱 装8件，其中一件为次品。先从第一箱中随机抽取两件放入第二箱，再从 第二箱中随机抽取一件。
.求从第二箱中取出次品的概率；
.若从第二箱中取出了次品，求从第一箱中未取到次品的概率。
解 以儿表示从第一箱中取到j件次品,z = 04.2： B表示从第二箱中取到次品。则
⑴? P(B) = P( A/) + P(4B) + P(A2B)
=P(A))P(31 A)) + P(AIA) + p(a2)p(b i a2)
C；°C； 2 | U)C[ 3
c\ io To
10x9 10x8 2x3
1 1
12x11x10 12x11x10 12x11x10 2
15
(2).P(凡 I
(2).
P(凡 I B)=
￡GM)
P(B)
10x9 15_45
12x11x10 T" 88
1 + A' € (—1.0] 9
设随机变量X有概率密度函数f(x)= 1 -x, A-e(0.1],令丫 =
0, 其他，
.求丫的概率密度函数,/y(y)；
.求丫的期望E(Y)与方差Var(Y)o
解(1)?记竹(刃为随机变量Y的分布函数，则注0时，几(刃=0；兀(0,1]时,
rz _
Fr(y) = P(Y < y) = P(X2< y) = P(—“ <X<V7)= = 2&_y;
y〉l时，Fr(y) = 1 o 于是，
y w(0,l], 其他；
y w(0,l], 其他；
(2). E(K) = E(X2) = | ix~ f{x)dx =j x2(l + x)dx +|*x2(l -x)dx = ￡: 由 E(X°) = J ]x4f(x)dx =f ]x"(1 + x)dx +￡x4(l -=右 及
Var(Y) = E(Y2)-[E(Y)]2 = E(X4)-[E(X2)]2 , 得Var(Y)=丄一丄=丄.
15 36 180
设二维随机向量(XV)的联合概率密度函数为
0 < x < y < 00,
其他
.求常数G
.求X和Y的边缘概率密度办(a)和fY (刃:
.求 P(X + Yvl)。
解⑴.由 1 = J j f(X. y)dxdy = ( c ? Q dx = c￡ ye^xdx = c ,得 c = 1；
(2).o,x>0,八 =<
(2).
o,
心匸fyeJo0,dx. y >0, = Jy ?厂
心匸
fye
Jo
0,
dx. y >0, = Jy ?厂
_ 0,
y<0
y > o, y<o；
. P(X + Y< l) = ['dxj「ydy =['(￡” _/T)dx = (l_￡T/2)2
若XpX2,--sXJn>2)为抽自总体X的随机样本，总体X有概率密度函数
,x>0,
,x>0,
x<0.
其中&>0常数。求：(1). 0的矩估计6； (2). 0的极大似然估计
解 记 X =—￡“。由 E(X)= J* f(x；0)dx =丄 x.0e?dx = +。利用
TOC \o "1-5" \h \z 1 1
X = E(X)9得X ?解该式，得0
0 X
记厶(0) = U?；0) = ene ne 7为参数。的似然函数，则对似然函数为
InL^)=n\x\0-nOX.
进一步，有警例=巴-忆令〃讥⑹=0,得@ =丄
de e do x
设一批1000克包装袋装食盐的重量服从正态分布心小,其中“和ct为 未知常数，b>0°为检查包装质量，从生产线上随机抽取食盐10袋，并称 其重量，得样本均值7 = 998.45,样本方差r=5.76/o对检验水平a = 0.05, 做检验：
（】）? H（）:〃 = 1000，厲：〃工1000； （2）. Hq : o-2 = 4.0，也:/工4.0?
附 /分布与*分布表
r9(0.025) = 2.2622
/9(0.05) = 1.8331
rlo(O.O25) = 2.2281
rlo(O.O5) = 1.8125
加(0.025) = 19.023
加(0.05) = 16.919
加(0.975) = 2700
加(0.95) = 3.325
加j (0.025) = 20.483
^(0.05) = 18.307
加(0.975) = 3.247
^,(0.95) = 3.940
解：由/?= 10 , a = 0.05? X =99&4, F二5.76, s = 2.4, “)= 1000,巧= 2.0-
.因 1.6=lx-1000l<(5/)xr/H(a/2)=(2.4/VlO) x2.2622= 1.7169 , 故，接受Hj为真,即接受“总体均值“ = 1000”的假设；
.因
12.96=5 e z；.,(l-a/2),⑵=(2.700, 19.023),
故，接受H；为真,即接受“总体方差/ = 4”。
