2019年江西省赣州市科技学校高三数学理月考试题x
时间：2020-10-12 12:30:52 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
2019年江西省赣州市科技学校高三数学理月考试题
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（ ）
参考答案：
由三视图可知，该几何体为一个球体，下半球完整，上半球分为四份，去掉了对顶的两份，故表面积应为球的表面积，去掉球的表面积，再加上个圆面积，故，又球半径，，故选.
2. 函数的大致图象为
参考答案：
C
3. 在△中，“”是“”的
（A）充分不必要条件 ? （B）必要不充分条件?
（C）充分必要条件 ? （D）既不充分也不必要条件
参考答案：
C
4. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
5. 设{an}是等差数列，Sn为其前n项和．若正整数i，j，k，l满足i+l=j+k（i≤j≤k≤l），则（ ）
A．aial≤ajak B．aial≥ajak C．SiSl＜SjSk D．SiSl≥SjSk
参考答案：
A
【分析】根据题意，i、j、k、l不妨取1、2、3、4，利用作差法判定a1?a4与a2?a3以及S1?S4﹣S2?S3的大小，即可得出结论．
【解答】解：根据题意，i、j、k、l不妨取1、2、3、4，
则a1?a4﹣a2?a3=a1?（a1+3d）﹣（a1+d）（a1+2d）=﹣2d2≤0，
所以a1a4≤a2a3；
又S1?S4﹣S2?S3=a1（4a1+6d）﹣（2a1+d）（3a1+3d）
=﹣2a12﹣3a1d﹣3d2=﹣2（a1+d）2﹣d2≤0，
所以S1?S4≤S2?S3；
即A正确，C不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式应用问题，考查运算能力和判断能力，属于中档题．
6. 设全集,集合,,则（ ）
A．? B． C． D．
参考答案：
B
7. 如图，已知点P（﹣3，﹣1），OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转θ角到OB，若，则tanθ的值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知，求出tan（θ+45°）=﹣3，利用角的等价变换45°=θ+45°﹣θ，求出tanθ．
【解答】解：∵，则，又点P（﹣3，﹣1），则tan（θ+45°）=﹣3，
所以tanθ=tan（θ+45°﹣θ）==；
故选A
【点评】本题考查了平面向量垂直的性质、三角函数的坐标法定义以及两角和的正切公式；关键是求出tan（θ+45°），利用角的等价变换求出tanθ．
8. 对任意，函数不存在极值点的充要条件是（ ）
A、 B、 C、或 D、或
参考答案：
A
9. 中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为．
?
1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
10. 函数的大致图象是（ ）
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝2，AD＝4，若P为CD的中点，则的值为________．
参考答案：
建立坐标系，应用坐标运算求数量积．以点A为坐标原点，AD、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，4)，C(2,4)，D(4,0)，P(3,2)，所以＝(－3，－2)·(－3,2)＝5.
12. 阅读如图所示程序框图，若输出的n=5，则满足条件的整数p共有 个．
参考答案：
32
【考点】程序框图．
【分析】分析程序框图最后一次运行的情况，即可求出满足条件的整数p共有多少个．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，最后一次循环是：
S=22+23+24=28，满足条件，S＜P；
执行循环S=28+25=60，n=5，不满足条件，S≥P；
终止循环，输出n=5；
所以满足条件的整数p共有60﹣28=32个．
故答案为：32．
13. 设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，的面积为，且，则该双曲线的离心率为 ；
参考答案：
由得：，故，又，∴，∴，∴；
14. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且，则棱锥O—ABCD的体积为 ▲ .
参考答案：
球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上。所以对角线长为，所以棱锥的高为，所以棱锥的体积为。
15. 在直角坐标系xOy中，过椭圆（为参数）的右焦点，斜率为的直线方程为? .
?
参考答案：
略
16. 已知菱形，若，，则向量在上的投影为? .
参考答案：
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.
【试题分析】如图所示，因为四边形是菱形，则.
因为,所以,在中，由余弦定理
,
则向量在上的投影为，故答案为.
? HP1
17. 若点（2，8）在幂函数的图象上，则此幂函数为 .
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞﹣．
参考答案：
【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】： 导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】： （1）先求导数，然后讨论极值点与区间[t，t+1]的关系，确定函数的单调性，从而求出最值；
（2）分离参数，转化为函数的最值问题求解；
（3）只需不等号左边的最小值大于右边函数的最大值即可，然后分别求出函数最值解决问题．
解：（1）由已知得f′（x）=1+lnx，令f′（x）=0．得x=．
若，则当x∈[t，t+2]时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在[t，t+2]上递增，所以f（x）min=f（t）=tlnt；
若，即时，则当x时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以f（x）在上递减，在上递增，
所以此时f（x）min=f（）=；
所以f（x）min=．
（2）由题意，不等式化为ax≤2xlnx+x2+3，因为x＞0，
所以，当x＞0时恒成立．
令h（x）=2lnx+x+，则h．
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，x＞1时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
故h（x）min=h（1）=2ln1+1+3=4．所以a≤4．
故所求a的范围是（﹣∞，4]．
（3）令t（x）=xlnx，易知t′（x）=1+lnx，令t′（x）=0得t=．由（1）知，此时t（x）min=t（）=﹣．
再令m（x）=，则，当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0．
所以m（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以m（x）max=m（1）=．
所以t（x），又因为两者取等号时的条件不一致，
所以t（x）＞m（x）恒成立．
即对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞﹣．
【点评】： 本题主要考查了不等式恒成立问题的解题思路，一般此类问题转化为函数的最值问题来解．
19. （本小题满分13分）如图所示，椭圆C：的一个焦点为 F(1,0)，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线：＝4与轴交于点N，直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；
(ⅱ)求△AMN面积的最大值．
参考答案：
(1)解：由题设，从而，
所以椭圆C的方程为? ………………………5分
(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)． 设，则，.
AF与BN的方程分别为：? .
设，则有
由上得? ……………………7分
由于＝＝1.
所以点M恒在椭圆C上． …………9分
(ⅱ)解：设AM的方程为，代入，得
设、，则有，.
＝＝. ………………………11分
令，则＝ 因为函数在为增函数，
所以当即时，函数有最小值4
△面积的最大值为. ……………13分
20. （10分）如图，点是以线段为直径的圆上一点，于点，过点作圆的切线，与的延长线交于点，点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点.
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：是圆的切线.
参考答案：
（Ⅰ）详见试题解析；（Ⅱ）详见试题解析.
试题分析：（Ⅰ）由，可得，从而可得
通过等量代换及题设“点是的中点”可得.
（Ⅱ）目标是要证是直角，连结便可看出只要证得是等腰三角形即可．显然是等腰三角形。因为直径上的圆周角是直角，，所以是直角三角形. 由（Ⅰ）得所以，从而本题得证.
试题解析：证明：（Ⅰ） 是圆的直径，是圆的切线，
．又，
．
可以得知， ．
．．
是的中点，．． 5分
（Ⅱ）连结．
是圆的直径，．
在中，由（Ⅰ）得知是斜边的中点，
．．
又，．
是圆的切线，
，
是圆的切线．? 10分
21. （本小题满分14分）已知数列的前项和记为，且满足．
求数列的通项公式；
设，记，求证：．
参考答案：
（Ⅰ）当时，，解得， ----------------1分
? 当时，，
，-----------------------------------------------------------------------2分
两式相减得：，
即，? ------------------------------------------------------------------------------------------5分
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，------------------6分
（Ⅱ）证法1：当为偶数时，
----------------------------7分
? ，--------------------------------10分=；-----------11分
当是奇数时，.
综上可知.---------------------------------------------------------------------------------14分
证法2：当时，，，,不等式显然成立-------8分
当时,要证明，
只要证明，
只要证明. --------9分
又因为当时，， 即
故
而
-----------------------------------------------12分
----------------------------------------------------------------------13分
.-------------------------------------------------------------------------------14分
22. 已知函数f（x）= sin 2x+ cos 2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
参考答案：
略
