江苏省苏州市届高三教学调研测试（13页）
时间：2020-09-02 12:17:05 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
苏州市2009届高三教学调研测试
数学（正题） 2009. 1
注意事项：
本试卷分填空题和解答题两部分，共 160分.考试用时120分钟.
2?答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内?答题时，填空
题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效....本卷考试结
束后，上交答题纸.
—律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.
文字书写题统一使用 0.5毫米及0.5毫米以上签字笔.
作图题可使用2B铅笔，不需要用签字笔描摹.
一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直 接填在答题卡相应位置上.
1.集合｛ 1,0,1｝的所有子集个数为 . 8
已知复数Z1 1 2i , Z2 1 ai （ i是虚数单位），若乙 z为纯虚数，则实数 a =
直线x+ ay+ 3 = 0与直线ax+ 4y+ 6= 0平行的充要条件是 a=— 2.
函数y （丄）1 x的值域是 .（0,+◎
2
6.椭圆X4y_m
6.椭圆X
4
y_
m
1的一条准线方程为
y m，贝U m
7.已知m, n是两条不同的直线， ，
为两个不同的平面,
有下列四个命题：
①若m
,n
,m±n,贝U
;
②若m〃
,n //
,m n，贝U //
;
③若m
,n //
,m n，贝 U //
;
2
④若 m , n // , // ，则 m
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号） ?①④
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号） ?①④
luir uuu
在厶ABC中，AB= 2, AC = 1 , D为BC的中点，贝U AD BC =
9.
颗正方体骰子,
观察向上的点数,
3
2
其六个面上的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，将这颗骰子抛掷三次,
1
36
则三次点数之和等于 16的概率为
10.
设等差数列 an
的公差为d ,若ai, a2,a3,a4,a5,a6,a7的方差为
11.已知函数 f x
mx2 ln x 2x在定义域内是增函数，则实数
m的取值范围为
1
m> -
2
12.已知一个正三棱锥
BC = — , PC =
2
P — ABC的主视图如图所示，若 AC =
.6 ,则此正三棱锥的全面积为
13.在锐角厶ABC中,
b = 2 B = — , si n2A sin(A C) si nB ， 3
0 ,则厶ABC的面积为
.、3
14?已知命题：“在等差数列 an中，若4a2 a10 a 24，则?为定值”为真命题,
由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为
.18
、解答题：本大题共 6小题，共90分?请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知函数 f x sin2x 2、、3sin xcosx 3cos2 x.
(i)求函数f x的单调增区间;
(n)已知f3，且 0, n ,求a的值.15.解:(i)、3sin 2xcos2x 2 = 2sin(2x ) 2 .由专2k
(n)已知f
3，且 0, n ,求a的值.
15.解:(i)
、3sin 2x
cos2x 2 = 2sin(2x ) 2 .
由专2k详2x疳/ 2k冗，得
n , n ,
k nW xW k n .
3 6
n n
x的单调增区间为［3 k n，? k刃k Z .……
n)由f
3,
得 2sin(2
? sin (2
n)
1
6
2 .
小 n
n
? 2 —
2k1 n,或 2
6
6
函数
n
6
即
& n或
n
k2 n k1, k2 Z .
3
0, n ,?
. n
3
16.(本小题满分14分)
10分
2k2 n ki, k2
14分
已知数列f n的前n项和为Sn ,且Sn n2 2n .
(i)求数列 f n 通项公式;
(n)若a1 f 1 , an 1 f an n N*，求证数列 an 1是等比数列，并求
数列an的前n项和Tn.
16.解：(i) n》2 时，f( n) Sn Sn 1 2n 1 . 4 分
n= 1时，f(1) 3 3，适合上式，
?- f(n) Sn Sn 1 2n 1 n N* . 5 分
(n) a f 1 3, an 1 2an 1 n N* . 8 分
即 ani 1 2(an 1).
TOC \o "1-5" \h \z 数列 an 1是首项为4、公比为2的等比数列. 10分
an 1 ⑻ 1) 2n 1 2n 1 , an 2n 1 1 n N* . 12 分
Tn= (2$ 2 L 2 1) n = 2n 2 4 n . 14 分
(本小题满分15分)
在四棱锥 P — ABCD 中，/ ABC = Z ACD = 90°/ BAC = Z CAD = 60° PA丄平面 ABCD ,
E 为 PD 的中点，FA= 2AB = 2.
EFAD(I)求四棱锥 P— ABCD的体积V;
E
F
A
D
(H)若F为PC的中点，求证PC丄平面AEF;
(川)求证CE //平面PAB.
解：(I)在 Rt△ ABC 中，AB = 1,
/ BAC = 60° ? BC= 73 , AC = 2.
在 Rt△ ACD 中，AC = 2,/ CAD = 60°
? CD = 2 ,3 , AD = 4.
TOC \o "1-5" \h \z 1
?- SABCD = AB BC AC CD
2
1、3 1 2 2 3 5
2 2
则 V= 1 5 . 3 2 5、3 .
2 3
PC(n)T PA = CA, F 为 PC 的中点，
P
C
AF丄PC . ……
?/ PA丄平面 ABCD ,? PA丄 CD .
?「AC 丄 CD , PAA AC = A,
CD丄平面 PAC.a CD 丄 PC.
E为PD中点，F为PC中点，
EF // CD .贝U EF 丄PC.
（川）证法取 AD 中点 M，连 EM , CM .贝y EM // PA
（川）证法
取 AD 中点 M，连 EM , CM .贝y EM // PA.
?/ EM 平面 PAB, PA 平面 PAB,
PEFABCDEM //平面 PAB. 12 分
P
E
F
A
B
C
D
在 Rt△ ACD 中，/ CAD = 60° AC = AM =2,
/ ACM = 60°.而/ BAC = 60° ? MC // AB.
?/ MC 平面 PAB, AB 平面 PAB ,
MC //平面 PAB . 14 分
?/ EM n MC = M ,
平面EMC //平面PAB .
?/ EC 平面 EMC ,
TOC \o "1-5" \h \z EC// 平面 PAB. 15 分
证法二：
延长DC、AB,设它们交于点 N,连PN.
/ NAC=Z DAC = 60° ° AC丄 CD ,
C为ND的中点. ……12分
?/ E为PD中点，? EC// PN .……14分
?/ EC 平面 PAB, PN 平面 PAB,
EC// 平面 PAB. 15 分
(本小题满分15分)
经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近 20天内的销售量(件)与价格(元)均
为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t) = 80- 2(件)，价格近似满足f(t) 20 - |t 10 |
(元).
(I)试写出该种商品的日销售额 y与时间t (0< tw 20)的函数表达式;
(H)求该种商品的日销售额 y的最大值与最小值.
(40 t)(40 |t 10|)1
(40 t)(40 |t 10|)
解:(I) y g(t) f(t) (8。2t) (20 2|t 10|)
(30 t)(40 t), (0 < t 10),
(40 t)(50 t), (10< t < 20).
(H)当0w t v 10时，y的取值范围是[1200, 1225],
TOC \o "1-5" \h \z 在t= 5时，y取得最大值为 1225; 11分
当10w tw 20时，y的取值范围是[600 , 1200],
在t= 20时，y取得最小值为 600. 14分
(答)总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；
第20天，日销售额y取得最小为600元. 15分
(本小题满分16分)
2 2 已知点P (4, 4),圆C: (x m)2 y2 5 (m 3)与椭圆E：务每 1(a b 0)有
a2 b2
个公共点A (3, 1), F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线 PF1与圆C相切.
(I)求m的值与椭圆E的方程；
(H)设Q为椭圆E上的一个
ypAFOCxQF1uuu UUT ,, 一
y
p
A
F
O
C
x
Q
F1
动点，求AP AQ的取值范围.
解：(I)点A代入圆C方程，
得(3 m)2 1 5.
■/ mv 3,「. m= 1. ?…
圆 C: (x 1)2 y2 5 .
设直线PF 1的斜率为k,
则 PF1: y k(x 4) 4 ,
即 kx y 4k 4 0 .
直线PF1与圆C相切，
.|k_0_4k_4| 5
解得k 或k 1.
2 2
11
当k = 时，直线PF1与x轴的交点横坐标为
2
36，不合题意，舍去.
11
当k = 1时，直线PF1与x轴的交点横坐标为一
2
c= 4. F1 (— 4, 0), F2
4,
(4, 0).
2a = AF1 + AF2= 52
62 ,
a 3、2 ,
a2= 18, b2= 2.
椭圆E的方程为:
2 2
x y
18 2
LUU
(n) AP (1,3)，设
Q (x, y),
uur
AQ
(x 3, y
1),
ULU UJIT
AP AQ (x 3)
3(y 1) x
3y
10分
2 ..x
18
2
壬 1,即 x2 (3y)2
2
18 ,
而x2
2
(3y) > 2|x| |3y|，?— 18< 6xyW 18.
12分
则(x
3y)2 x2 (3y)2 6xy 18 6xy 的取值范围是[0, 36].
14分
x 3y的取值范围是[—6, 6].
UUL UULT 一
? AP AQ x 3y 6的取值范围是[—12, 0].
16分
20.(本小题满分16分)
已知函数fx al nx
2
bx图象上一点P ( 2 , f(2))处的切线方程为
y 3x 2l n2 2.
([)求a, b的值;
(n)若方程 f x m
1
0在［丄，e］内有两个不等实根，求 m的取值范围(其中 e为
e
自然对数的底，
自然对数的底，e 2.7 ）；
4ba - 2(川)令g x f x nx ,如果g x图象与x轴交于 A x1,0 , B x2,0 x1 x2 ,
4b
a - 2
20.解：
(I)
a
f x 2bx ,
a
f 2 - 4b ,
f 2 aln 2 4b
X
2
AB中点为C x°,0，求证:
0.
3，且 aln2 4b 6 2ln2 2 .
b= 1.
92lnx x2，令f (x)m 2ln x2 2(1-2xx x1 1在［-,e］内，当x
9
2lnx x2，令
f (x)
m 2ln x
2 2(1
-2x
x x
1 1
在［-,e］内，当x€ ［丄，1)时，h x e e
0，得 x= 1 (x=- 1 舍去).
0 , h(x)是增函数;
当 x € (1,e］时，h x 0 , h(x)是减函数.
1
则方程h x 0在［-,e］内有两个不等实根的充要条件是
e
1
h()三 0,
e
h(1) 0,
h(e) < 0.
10分
即 1 mW e2 2 .
12分
2
(川)g x 2ln x x
nx, g x
2
2x n X
2ln x x,2
nx1 0,①
2ln x x22
nx2 0,②
X X2 2X0,
③
2
2X0 n X)
0. ④
假设结论成立，则有
①—②，得 2ln * (x12 x22) n(x1 x2) 0 .
X2
? n 2 汇 2x0 .
由④得n — 2x0 ,
X0
ln昼 ln昼
—x2 1 .即 ?.
为 X2 血 X1 X2 X1 X2
即In乞
Xi
2— 2 X2
竺1
X2
?⑤
X2
令t
,u(t)
2t Int
2
(0< tv 1),
X2
t
1
则u
(t)
(t 1)2
> 0 .
u(t)在0< t< 1上增函数
t(t 1)2
u(t) u⑴0 ,⑤式不成立，与假设矛盾.
14分
二 g Xo 0. 16 分
数学(附加题)
(选做题)从 A B, C, D四个中选做2个，每题10分，共20分.
选修4— 1 几何证明选讲
如图，在△ ABC中，AB= AC,以AB为直径的圆
交 AC 于 D .求证：BC2 2CD AC .
选修4— 2矩阵与变换
1 2
已知矩阵A ，求A特征值心?2及对应的特
1 4
征向量 a1, a.
选修4— 4参数方程与极坐标
已知直线 COS( -) 1和圆
2cos( 7)，判断直线和圆的位置关系.
D .选修4— 5 不等式证明选讲
若 x --，证明 J1 2x J3 x J2 3x 342 3‘2
必做题(每题10分，共20分)
22。正方体 ABCD — A1B1C1D1的棱长为2，点E为A1A的中点。
(I)求C1D与平面EDB所成角的大小；
(D) C1到平面EDB的距离。
2
23.已知方程x ax b 0, a, b为常数。
(I)若a 0,1,2 , b 0,1,2，求方程的解的个数 的期望;
(n)若a,b在0,2内等可能取值，求此方程有实根的概率.
