湖北省十堰市2020届高三元月调研考试文科数学试题 (20页)
时间:2020-11-11 20:18:53 来源:勤学考试网 本文已影响 人
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十堰市2020年高三年级元月调研考试
文科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出集合,再根据交集的定义,即可得解.
【详解】解:因为,
.
故选:D
【点睛】本题考查交集的运算,属于基础题.
2.复数上的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到计算虚部得到答案.
【详解】,所以的虚部为.
故选:
【点睛】本题考查了复数虚部的计算,属于简单题.
3.已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,且,则“”是“”的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
由面面垂直的性质定理、线面垂直的概念,结合充分、必要条件,判断出正确选项.
【详解】若,根据面面垂直的性质定理可知;若,则由可得.所以“”是“”的充要条件
故选:C.
【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理,考查充分、必要条件的判断,属于基础题.
4.某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量(单位:百人),得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量,以下结论错误的是( )
A. 甲景区月客流量的中位数为12950人
B. 乙景区月客流量的中位数为12450人
C. 甲景区月客流量的极差为3200人
D. 乙景区月客流量的极差为3100人
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.
【详解】根据茎叶图的数据:
甲景区月客流量的中位数为12950人,乙景区月客流量的中位数为12450人.
甲景区月客流量的极差为3200人,乙景区月客流量的极差为3000人.
故选:
【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算,意在考查学生的应用能力.
5.执行下边的程序框图,若输入的的值为5,则输出的的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】执行程序框图:依次为,,,,∵
∴输出的的值为4.
故选:
【点睛】本题考查了程序框图的计算,意在考查学生对于程序框图的理解能力.
6.设函数若是奇函数,则=( )
A. -3 B. -9 C. -1 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据函数是奇函数可得,又,据此即可求出结果.
【详解】因为函数是奇函数,所以,
又,所以.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,以及利用分段函数求函数值,属于基础题.
7.已知等比数列的前n项和为,且,,则( )
A. 16 B. 19 C. 20 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】
利用,,成等比数列求解
【详解】因为等比数列的前n项和为,所以,,成等比数列,因为,,所以,,故.
故选:B
【点睛】本题考查等比数列前n项性质,熟记性质是关键,是基础题
8.将曲线向左平移个单位长度,得到曲线,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
变换得到,根据平移得到,计算得到答案.
【详解】,所以,
所以,则.
故选:
【点睛】本题考查了三角函数的平移,变换是解题的关键.
9.已知抛物线的焦点为,,是该抛物线上的两点,且,则线段的中点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断线段的中点到其准线的距离是,再计算到轴的距离.
【详解】,所以线段的中点到其准线的距离是
由题意可知,则线段的中点到轴的距离是.
故选:
【点睛】本题考查了抛物线上的点到准线的距离问题,意在考查学生的转化能力和计算能力.
10.已知函数,.若,,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件求出的值域,与的值域,由,,,可得两值域的包含关系,即可求得参数的取值范围.
【详解】解:因为,,所以的值域为.
因为,所以在上的值域为,依题意得,则
解得.
故选:C
【点睛】本题考查函数方程思想的综合应用,属于中档题.
11.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图.当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑,表面积为平方厘米,半球的半径为厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积,列出的表达式,再求出体积,解不等式即可.
【详解】解:设圆柱的高度与半球的半径分别为,,则,则,
所以酒杯的容积,
又,所以,
所以,解得,
故选:.
【点睛】考查了组合体的体积和表面积计算,属于中档题.
12.双曲线的左、右焦点分别为,,渐近线分别为,,过点且与垂直的直线交于点,交于点,若,则双曲线的离心率为( )
A B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
设:,:,联立方程得到,再计算,,利用余弦定理得到,计算得到答案.
【详解】记为坐标原点.由题意可得,不妨设:,:
则直线:.联立,解得
则故,.因为,所以
所以,,则.
因为,所以,
所以,整理得,则
解得.
故选:
【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题,综合性强,计算量大,意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若函数在上为减函数,则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将问题转化为导函数在上恒小于零,从而根据恒成立思想求解出的取值范围.
【详解】由题意可知,即对恒成立,
所以,所以即.
故答案为:.
【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围,难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数,则在指定区间上恒成立.
14.第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办,近日首批影展片单揭晓,《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位,则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 _____.
【答案】.
【解析】
【分析】
首先根据题意,列举出从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况,共10种情况,其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种,根据古典概型概率计算公式即可求结果.
【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为(《南方车站的聚会》,《春江水暖》),(《南方车站的聚会》,《第一次的离别》),(《南方车站的聚会》,《春潮》),(《南方车站的聚会》,《抵达之谜》),(《春江水暖》,《第一次的离别》),(《春江水暖》,《春潮》),(《春江水暖》,《抵达之谜》),(《第一次的离别》,《春潮》),(《第一次的离别》,《抵达之谜》),(《春潮》,《抵达之谜》),共10种情况,其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种,故所求概率为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了古典概型概率的计算,属于基础题.
15.根据记载,最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”,其中“股”,为“弦”上一点(不含端点),且满足勾股定理,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由等面积法求得,利用向量几何意义求解即可.
【详解】由等面积法可得,依题意可得,,
所以.
故答案为:
【点睛】本题考查向量的数量积,重点考查向量数量积的几何意义,属于基础题.
16.在数列中,,且
(1)的通项公式为________;
(2)在,,, ,这2019项中,被10除余2的项数为________.
【答案】 (1). (2). 403
【解析】
【分析】
(1)等式两边同除构造数列为等差数列即可求出通项公式;
(2)利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解
【详解】(1)因为,所以
,即,则为等差数列且首项为1,差为2,所以
,故
(2)因为,所以当n能被10整除或n为偶数且能被5整除时,被10除余2,所以,故被10除余2的项数为.
故答案为:;403
【点睛】本题考查数列的通项,考查构造法,注意解题方法的积累,属于中档题.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元)
人数
10
15
20
15
20
10
(1)求购买金额不少于45元的频率;
(2)根据以上数据完成列联表,并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元
少于60元
合计
男
40
女
18
合计
附:参考公式和数据:,.
附表:
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
【答案】(1)(或0.5);(2)列联表见解析,有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
【解析】
【分析】
(1)根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率;
(2)完善列联表,计算出跟参考数据比较得出结论.
【详解】解:(1)购买金额不少于45元的频率为.
(2)列联表如下:
不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
,
因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
【点睛】本题考查独立性检验,以及古典概型的概率计算问题,属于基础题.
18.设函数,a,b,c分别为内角A,B,C的对边.已知,.
(1)若,求B;
(2)若,求的面积.
【答案】(1) . (2)
【解析】
【分析】
(1)运用二倍角正余弦公式和辅助角公式,化简f(x),并求得,再利用正弦定理求得,可得结论;
(2)由三角形的余弦定理得结合面积公式,求得b,c的关系,即可得到所求三角形的周长.
【详解】(1),
因为,所以,即.
因为,所以,
因为,所以或,
又,所以.
(2)由余弦定理,可得,
即,解得(负根舍去),
故的面积为
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换,正弦函数的图形和性质,考查解三角形的余弦定理和面积公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
19.如图,在正方体中,,分别是棱,的中点,,分别为棱,上一点,,且平面.
(1)证明:为的中点.
(2)若四棱锥的体积为,求正方体的表面积.
【答案】(1)见解析;(2)24
【解析】
【分析】
(1)取的中点,连接,可证,再由线面平行得到,又,所以四边形为平行四边形,即可得证.
(2)设棱长为,易知到平面的距离为,由求出的值,即可求出表面积.
【详解】解:(1)证明:取的中点,连接
因为,所以为的中点,又为的中点,所以.
因为平面,平面,平面平面.
所以,即.
又,所以四边形为平行四边形,则,所以为的中点.
(2)设,则,,的面积分别为,,,
易知到平面的距离为,所以,
解得,故所求正方体的表面积为.
【点睛】本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质,属于基础题.
20.已知椭圆的焦距为,短轴长为.
(1)求的方程;
(2)若直线与相交于、两点,求以线段为直径的圆的标准方程.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据题意求出和的值,即可求出椭圆的方程;
(2)设点、,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,求出线段的中点和,即可得出所求圆的标准方程.
【详解】(1)设椭圆的焦距为,则,,
所以,,,所以的方程为;
(2)设点、,联立,消去,得
由韦达定理得,,
所以,线段的中点坐标为.
,
所以,所求圆的标准方程为.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解,一般将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理设而不求法来计算,考查运算求解能力,属于中等题.
21.已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求a,b的值;
(2)若对恒成立,求m的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】
(1)求导可得,由题,切线方程斜率为,解得,代回函数求得,即,可求得;
(2)如果求对恒成立,即求,利用导数判断单调性求得最小值即可求解不等式
【详解】解:(1),
因为在处的切线方程为,即,此时切线斜率,
则,解得,
所以,
所以,则,解得
(2)由(1)知,
设函数,则,所以在为增函数,因为,
令,得;令,得,
所以当时,;当时,,
所以,
从而,即
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求值,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查转化思想,考查运算能力
(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(,,为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线的极坐标方程为.
(1)求,,的值;
(2)已知点的直角坐标为,与曲线交于,两点,求.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据极坐标方程得到,根据参数方程得到答案.
(2)将参数方程代入圆方程得到,根据韦达定理得到,,计算得到答案.
【详解】(1)由,得,则,即.
因为,,所以.
(2)将代入,得.
设,两点对应的参数分别为,,则,.
所以.
【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程,利用直线的参数方程可以简化计算,是解题的关键.
23.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围,
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)利用分段讨论法去掉绝对值,求出不等式解集;
(2)利用绝对值三角不等式求出最大值,得出关于的不等式,求出解集即可.
【详解】(1)当时,,解得;
当时,,解得,则;
当时,,解得,则.
综上,不等式的解集为;
(2) ,
若对任意,不等式恒成立,
则,解得或.
因此,实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用,同时考查了不等式恒成立问题,属于中档题.