2018年湖北省武汉市东湖开发区豹澥中学高三数学理测试题（14页）
时间：2020-09-12 12:12:44 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
2018年湖北省武汉市东湖开发区豹澥中学高三数学理测试题
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知，，则（? ）
A． B． C．14? D．15
参考答案：
D
2. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数n,那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是（ ）
? A. n=n+1和6 B. n=n+2和6 C. n=n+1和8? D. n=n+2和8
参考答案：
D
3. 设方程和方程的根分别为和，函数
，则（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
A．
试题分析：方程和方程可以看作方程和方程，又因为方程和方程的根分别为和，即分别为函数与函数的交点B横坐标为；函数与函数的交点C横坐标为．由与互为反函数且关于对称，所以BC的中点A一定在直线上，联立方程得，解得A点坐标为．根据中点坐标公式得到，即，则函数
为开口向上的抛物线，且对称轴为，得到，且当时，函数为增函数，所以．综上所述，．故应选A．
考点：对数函数图像与性质的综合应用．
4. 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为( )
A. B. ? C. D.
参考答案：
C
5. 已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题，其中真命题是（? ）
A．对任意实数k与q，直线l和圆M相切
B．对任意实数k与q，直线l和圆M没有公共点
C．对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切
D．对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切
（2）（本小题满分5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F、G分别为AB、BC、BB1的中点．则以B为顶点的三棱锥B-GEF的高h=________．
参考答案：
C
略
6. 若非零向量，满足||＝||，(2＋)·＝0，则与的夹角为（? ）
A．150° B．120° C．60°? D．30°
参考答案：
B
7. 已知函数则不等式f（x）≤2的解集是(? )
A．[0，+∞） B．[﹣l，2] C．[0，2] D．[1，+∞）
参考答案：
A
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由不等式f（x）≤2可得①，或②．分别求出①和②的解集，再取并集即得所求．
【解答】解：由不等式f（x）≤2可得①，或②．
解①可得 0≤x≤1，解②得 x＞1，
故不等式的解集为 {x|0≤x≤1或 x＞1 }={x|x≥0 }，
故选A．
【点评】本题主要考查指数不等式对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
8. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.
? A．972? B．1456 C．4096 D．5460
参考答案：
C
试题分析：由题意可知，蜜蜂数列成等比数列，其首项，其第六项为
.
考点：等比数列通项公式.
9. 执行右边的程序框图，若，则输出的（ ）.
.? ? . . .
参考答案：
B
略
10. 已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+?）（ω＞0，0＜?＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，?的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，，则 ? ．
参考答案：
12. 已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为__________．
参考答案：
略
13. 已知数列的前
上，则数列? .
参考答案：
由题意可得：
14. 如图，在半径为3的球面上有三点，=90°，,
球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是__________.
?
参考答案：
略
15. 抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线交抛物线于，两点，点，在抛物线准线上的射影分别是，，若四边形的面积为，则抛物线的方程为____
参考答案：
略
16. 设向量，，满足，且，则，则=_____________．
参考答案：
略
17. （5分） 已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围 ．
参考答案：
（﹣，﹣2）∪（2，）
【考点】： 函数单调性的性质．
【专题】： 函数的性质及应用．
【分析】： 解法一：不等式即 ln（x2﹣4）+＜2，令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2 ①．令h（t）=lnt+2t，由函数h（t）的单调性可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．
解法二：根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，f（1）=2，由不等式可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．
解：解法 一：∵函数f（x）=lnx+2x，∴f（x2﹣4）=ln（x2﹣4）+，
∴不等式即 ln（x2﹣4）+＜2．
令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2 ①．
令h（t）=lnt+2t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2，
∴由不等式①可得t＜1，即 x2﹣4＜1，即x2＜5．
由解得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，
故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．
解法二：由于函数f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2，
再根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x2﹣4）＜2可得x2﹣4＜1，
求得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，
故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．
【点评】： 本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分)
（1）证明不等式：
（2）已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。
（3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数的最大值。
参考答案：
解：（1）令，
则
∴g(x)在上单调递减，即g(x)<g(0),从而成立 ……………4分
（2）由，当x=0或时，，由已知得在上恒成立，∴，又f(x)在有意义，∴a≥0，综上：；
………………8分
（3）由已知在上恒成立，∵，
当x>0时，易得恒成立，…………10分
令得恒成立，由（2）知：令a=2得：（1＋x）>,
∴； …………12分
由（1）得：
当时，；∴当时，不大于；∴；
当x=0时，b∈R，综上： ………14分
19. 已知等差数列{an}，a2＝9，a5 ＝21
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn
参考答案：
解：（1）a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1
（2） {bn}是首项为32公比为16的等比数列，Sn=.
20. 设、分别是椭圆的左、右焦点．
（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．
参考答案：
解：（1）易知 所以，设，则?
-------------- 3分
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 ，
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值．?-------------- 5分
（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，将代入，消去，整理得：
∴，? -------------- 7分
由得：或, --- 8分
又
∴又
∵，即? ∴ -------------- 11分
故由①、②得或? -------------- 12分
21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，E为线段PB的中点．
（1）若F为线段BC上的动点，证明：平面平面；
（2）若F为线段BC，CD，DA上的动点（不含A，B），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】
(1)利用,可得平面,根据面面垂直的判定定理可证平面平面;
(2) 由底面，得平面平面．将问题转化为点到直线的距离有无最大值即可解决.
【详解】（1）证明:因为，为线段的中点，所以,
因为底面，平面，所以,
又因为底面为正方形，所以，,
所以平面,
因为平面，所以,
因为，所以平面,
因为平面，所以平面平面.
（2）由底面，则平面平面,
所以点到平面的距离（三棱锥的高）等于点到直线的距离,
因此，当点在线段，上运动时，三棱锥的高小于或等于2,
当点在线段上运动时,三棱锥的高为2,
因为的面积为,
所以当点在线段上，三棱锥的体积取得最大值,
最大值为.
由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积,
所以三棱锥的体积存在最大值.
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题.
22. 如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2.
(Ⅰ)作平面CDE与平面ABE的交线l，并写出作法及理由；
(Ⅱ)求证：BD⊥CE；
(Ⅲ)若平面ADE⊥平面ABE，求多面体ABCDE的体积.
参考答案：
解：(Ⅰ)过点作（或）的平行线，即为所求直线.
和交于一点，四点共面.又四边形边长均相等.
四边形为菱形，从而.
又平面，且平面，平面.
平面，且平面平面，.
(Ⅱ)证明：取的中点，连结，.，，，.
又，平面，平面，故.
又四边形为菱形，.又，平面.
又平面，.
(Ⅲ)解：平面平面，平面.
故多面体的体积.
?
