综合数学实验报告(mathematica)
时间：2020-09-08 12:19:51 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
数学综合实验报告
学 院： 数学与统计学院
专 业： 数学与应用数学
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学 号： ##########
班 级： ##########
综合实验
实验一：观察数列极限
一、实验目的
利用数形结合的方法观察数列的极限，可以从点图上看出数列的收敛性，以及近似地观察出数列的收敛值；通过编程可以输出数列的任意多项值，以此来得到数列的收敛性。通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。
二.实验环境
学校机房，Mathematica 4.0软件
三、实验的基本理论和方法
1、Mathematica中常用的函数及函数调用的方法；
2、对Fabonacci数列、调和级数以及3n+1问题规律的掌握。
四、实验内容及步骤
设为实数列，为定数．若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于定数称为数列的极限，并记作或。下面，我们以求为例进行实验，程序编写及运行如下：
程序运行结果如下：
五、实验结果和结果分析
由运行结果和图像可知，发现在时，函数值无限靠近2.7左右。
实验二：函数图像绘制
一、实验目的
通过函数图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关性态，建立数形结合的思想。
二.实验环境
学校机房，Mathematica 4.0软件
三、实验的基本理论和方法
1、Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制一元函数时的方法；
2、函数迭代法的基本理论以及在Mathematica中的使用。
四、实验内容及步骤
1、求的所有根（先画图再求解）。
2、求方程与的根。
3、求下列各题的解。
（1）； （2），求；
（3）（精确到17位有效数字）； （4）；
（5）将在处展开（最高次幂为8）；（6），求。
4、作sinx的n阶Taylor展开(n=10,30,60)并比较图像
5、已知函数，作出并比较当分别取-1，0，1，2，3时的图形，并从图形上观察极值点、驻点、单调区间、凹凸区间以及渐近线。
在mathematica中输入下面语句：
Do[Plot[1/(x^2+2x+c),{x,-5,4},GridLines→Automatic,
Frame→True,PlotStyle→RGBColor[1,0,0]],{c,-1,3}]
程序运行结果如下：
实验结果和结果分析
观察图可得：
第一幅图：极大值点为，驻点为，单调区间为增、,减、,凸区间为、,凹区间为,渐近线为水平,垂直, .
第二幅图：极大值点为，驻点为，单调区间为增、，减、，凸区间为、，凹区间.
第三幅图：没有极值点，没有驻点，单调增区间为，单调减区间为，凸区间为、.
第四、五幅图：极大值点为，驻点为，单调区间为增，减，凸区间为、.
实验三：泰勒公式与函数逼近
一、实验目的
利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，根据图形观察泰勒展开的误差，进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想，并对泰勒公式与原函数作出比较。
二.实验环境
学校机房，Mathematica 4.0软件
三、实验的基本理论和方法
一个函数若在点的邻域内足够光滑，则在该邻域内有泰勒公式
，
当很小时，有
，
其中，称为在点处的n阶泰勒多项式；为余项。
四、实验内容及步骤
通过绘制图像，利用泰勒多项式近似计算.程序编写如下：
For[i=1,i<11,a=Normal[Series[Log[Cos[x^2]+Sin[x]],{x,0,i}]];Plot[{a,Log[Cos[x^2]+Sin[x]]},{x,-Pi/4,Pi/4},PlotStyle{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}];i=i+2]
运行过程及结果如下：
五、实验结果和结果分析
由图看出，随n值增大，泰勒公式的函数越来越趋向于原函数。
实验四：分形
一、实验目的
1、Mandelbrot集与Julia集的计算机实现，掌握四元数生成Mandelbrot集和Julia集；
2、掌握用L系统语言生成分形；
3、了解混沌的概念,掌握Julia复动力系统及其IFS诠释.
二.实验环境
学校机房，Mathematica 4.0软件
三、实验的基本理论和方法
1、生成元
早在19世纪末20世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形。由于这类图形长期以来被视为“不可名状的”或“病态的”，因而，只有当人们想到反例时才想到它们，这类图形的构造方式都有一个共同的特点，即最终图形F都是按一定的规则R通过初始图形不断修改得到的。其中最具有代表性的图形是Koch曲线，Koch曲线的构造方式是：
给定一条直线段，将该直线三等分，并将中间的一段用以该直线为边的等边三角形的另外两条边替代，得到图形。然后，再对图形中的每一小段按上述方式修改，以至无穷。则最后得到的极限曲线即是所谓的Koch曲线。
Koch曲线的修改规则是将每一条直线段用一条折线替代，我们称为该分形的生成元。分形的基本特性完全由生成元决定。因此，给定一个生成元，我们就可以生成各种各样的分形图形。以下是几个经典分形图形程序及其生成元。
2、Julia集绘制方法
（1）设定初始值，一个最大的迭代次数，图形的分辨率大小和使用的颜色数（如）（或者给定灰度级）。
（2）设定一个上界值。
（3）将矩形区域分成的网格，分别以每个网点，，，，作为初始值利用riter做迭代（实际上，只需对满足的初始点迭代）。如果对所有，，将图形的像素点用黑色显示。否则，如果从迭代的某一步开始有，则利用第种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）。
3、Mandelbrot集绘制方法
（1）设定一个最大的迭代次数，图形的分辨率大小和使用的颜色数（如）（或者给定灰度级）；
（2）设定一个上界值；
（3）将矩形区域分成的网格，分别以每个网点，，，，作为参数值利用riter做迭代（实际上，只需对满足的初始点迭代）。每次得带的初值均为。如果对所有，，将图形的像素点用黑色显示。否则，如果从迭代的某一步开始有，则利用第种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）.
四、实验内容及步骤
在我们生活的大千世界里，除了有像房屋建筑、公路桥梁、汽车飞机轮船以及各种劳动生活工具等这些人造的形态规则的几何形体之外，更广泛的充满了诸如花草树木、山川河流、烟雾云彩等形态极不规则的几何体。大自然在向人们展示美丽多变形态的同时，也提出了难以回答的询问：如何描述自然表象？如何分析其内在机理？科学家与艺术家一直在苦苦追寻这些问题的答案，并力图从传统的欧几里德几何体系中解放出来，最近几十年，一些科学家开始朦胧的感觉到了另一个几何体系的存在，这个几何世界的描述对象是自然界的几何形态，20世纪70年代，美国科学家B.Mandelbrot和Fractal这个词来定义这门新的几何学科——分形几何学。分析几何学把自然形态看作是具有无言嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是在简单的迭代过程中就可以得到描述复杂的自然形态的有效方法。
尽管分形的提出只有二十年的时间，但他已经在自然科学的诸多领域如数学、物理、化学、材料科学、地质、地理、天文、计算机乃至经济、社会、艺术等极其广泛的领域有重大应用。可以毫不夸张的说，“分形是大自然的几何学”，“分形处处可见”。
练习1
用计算机绘出Koch曲线，Sierpinski三角形及一树木花草的图形。
（1）Koch曲线
得到的图像为：
（2）Sierpinski三角形和地毯
(3)树木花草
练习2
定义 Weierstrass 函数如下：
对不同的s 值，画出函数的图像.观察函数的不规则性与s 的关系，由此猜测Weierstrass 函数图像的维数与s 的关系.
程序编写如下：
得到的图像为：
练习3
编写绘制Julia集的程序。对不同的参数：（0，1），（-1，0），（0.11，0.66），（-0.10281，0.95732），（-1.25，-0.01）观察Julia集的不同局部放大，你能看到某些自相似现象吗？
程序编写如下
运行结果如下
练习4
绘制Mandelbrot集。然后，任意选取他的一个局部将其放大，然后再将放大图形的局部放大。由此观察Julia集与Mandelbrot集有何关系。进一步，取参数位于Mandelbrot集的不同部位（如内部、外部、边界、某个孢芽的内部等），观察相应的Julia集的形状变化。
程序编写如下
运行结果如下
五．实验结果分析
通过实验，对分形及其应用有了一定的了解，实验结果良好.
实验心得
数学实验是一门基础的课程，不仅仅是我们自己动手参与的实验给予了我们很多启示，还有很多实验都给了我们启发。使我对数学的学习有了新的认识，在枯燥繁琐的计算之外，数学有着自己更广阔的天地，而且内容丰富多彩，更有学习的价值。通过这门课，我们学会用一种从未尝试过的方法来学习数学，学会用另一种角度来看待数学，学会如何发现数学中美的一面。可以说，数学实验课让我对数学的学习产生了一种全新的认识。另外，《数学实验》与计算机知识的紧密结合，使我在作业过程中学习了Mathematica数学应用软件，对以后的学习很有帮助。
最后，感谢老师对我们的教诲！
