模拟试卷 广东省韶关市第一中学2019届高三上学期第一次调研考试数学（文）试题（11页）
时间：2020-11-28 04:14:27 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
2019 届高三上学期第一次调研
数学（文）考试试题
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合
A?x|1 x 2
，
B?x|x 2 2x 0
? ，则 AUB=（
）
A.
?x|0 x 2
B.
?x|0 x 2
C.
?x|1 x 0
D.
?x|1 x 0
z
2. 在复平面内，复数 z 所对应的点 A 的坐标为（3，），则 z
?
（
）
4
A. 5
? i
4
B. 5
? i
3
C. 5
? i
3
D. 5
?
4
5
i
3.若双曲线
x 2
3
2
x 2
8
?
y 2
p
? 1有公共焦点，则 p 的值为（
）
A． 2
B． 3
C． 4
D． 4 2
4.将函数 y sin(2x
?
3
?
6
?
6
?
4
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（
12 12
）
5.已知向量 a (2,1) ， b (1,3) ，且 a (a mb) ，则 m （
）
A．1
B． 5
C．1
D．5
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）、侧视图、俯
视图.则该几何体的体积为（
）
A．
5
3
B．
10
3
C．
8
3
D． 3
? x 0
?
?2 x 2 y 1 0
，若目标函数 z mx y (m 0) 取得最大值时的最优解有无
穷多个，则实数 m 的值为（
第页
）
y 1与椭圆A． x) 图象向左平移B． xC． xD． x
4
3
5
3
5
4
5
? y 1与椭圆
A． x
) 图象向左平移
B． x
C． x
D． x?
7.已知实数 x ， y 满足条件 y 1
?
A．1
B．
1
2
C．
1
2
D．1
8.偶函数 f ( x) 在0, 单调递增，若 f (?2) 1 ，则 f ( x 2) 1 的 x 的取值范围是（
）
A．0, 2?
B．2, 2?
C．0, 4?
D．4, 4?
9.执行如图的程序框图，如果输入 p 8 ，则输出的 S （
）
A．
10.若曲线 y
A．1
2e
B． C． D．
B．
）
2
AF BF
AF BF
?
（
）
a
a
A. 2
B. 4
C. 2a
D. 4a
12. 已知函数
?ln(? x 1), x 0
?x 3x, x 0
，若 f ( x) (m 2) x 0 ，则实数 m 的取值范围是（
）
A.
,1?
B.
2,1?
C.
?0,3?
D.
[3,?
二、填空题（本大题每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上）
2
?x y 0
?
? y 0
15.若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为
．
16.在锐角ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且满足 (a b)(sin A sin B) (c b) sin C ，
第页
127 255641281281 2x 与曲线 y a ln x 在它们的公共点 P(s, t ) 处具有公共切线，则实数 a （C．?
63
64
127 127 255
64
128
128
1 2
x 与曲线 y a ln x 在它们的公共点 P(s, t ) 处具有公共切线，则实数 a （
C．1
D． 2
1
2
11. 直线 l 过抛物线 y ax（a 0) 的焦点 F 且与抛物线交于 A , B 两点，则
f ( x)? 2
13. 方程 x x n 0? n0,1 没有实根的概率为__________．
14. 已知 x, y 满足x y 2 ，则 z 2 x y 的最大值为__________．
?
若 a
3 ，则 b 2 c 2 的取值范围是
．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图,在四边形 ABCD 中,A
（1）求 BD 的长;
（2）求证:ABC?ADC π .
π
4
, tanABD 3, AD 6 2, BC 2 2,CD 4 .
18.如图，在四棱锥 S ABCD 中， SD 底面 ABCD ， M 为 SD 的中点，底面 ABCD 为直角梯形，
AB AD ， AB / /CD ，且 CD 2 AB 2 AD 2 .
（1）求证： AM / / 平面 SBC；
（2）若 SB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为
3
3
，求四棱锥 S ABCD 的体积.
19.某校初一年级全年级共有 500 名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广
泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分
已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为 8.3 万字.根据阅读量分组按分层抽
样的方法从全年级 500 人中抽出 20 人来作进一步调查.
第页
3
（1）在阅读量为 3 万到 5 万字的同学中有 20 人的成绩优秀，在阅量为11万到13 万字的同学中有 25 人成
绩不优秀，请完成下面的 2 2 列联表，并判断在“犯错误概率不超过 0.005 ”的前提下，能否认为“学生
成绩优秀与阅读量有相关关系”；
（2）在抽出的同学中，1）求抽到被污染部分的同学人数；2）从阅读量在 3 万到 5 万字及11万到13 万字
的同学中选出 2 人写出阅读的心得体会.求这 2 人中恰有1人来自阅读量是11万到13 万的概率.
参考数据：
第页
2
n(ad bc) 2
(a b)(c d )(a c)(b d )
，其中 n a b c d .
4阅读量为 3 万到
阅读量为 3 万到 5 万人数
阅读量为11万到13 万人数
合计
成绩优秀的人数
成绩不优秀的人数
合计
2
2
P(K k 0 )
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：
参考公式： K
2
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过点 Q(1,1) 作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A ，B .若直线 AR ，BR 分别交直线 l ：y 2x 2
于 M ， N 两点，求线段 MN 最小时直线 AB 的方程.
x
x （其中）.
（1）当 k 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）当 k 0 时，讨论函数 f x 的零点个数.
第页
520.已知抛物线 C 的方程为 y?
20.已知抛物线 C 的方程为 y 2 px( p 0) ，点 R(1, 2) 在抛物线 C 上.
21.设函数 f x x 1? e
k 2
2
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.
22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]
x 1? 2cos
? y 1? 2sin
．
（Ⅰ）写出曲线 M 的极坐标方程，并指出它是何种曲线；
（Ⅱ）设 l1 与曲线 M 交于 A, C 两点， l2 与曲线 M 交于 B, D 两点，求四边形 ABCD 面积的取值范围．
23.[选修 4—5：不等式选讲]
已知函数 f ( x) x ( x R) .
（Ⅰ）求不等式 f ( x1) f ( x 1) 4 的解集 M；
（Ⅱ）若 a, b M , 证明： 2 f (a b) f (ab) 4
第页
6在直角坐标系中，已知曲线 M 的参数方程为(?
在直角坐标系中，已知曲线 M 的参数方程为
(? 为参数 ), 以原点为极点 x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，直线 l1 的极坐标方程为： ，直线 l2 的极坐标方程为? =? +
2
数学试题(文科)（参考答案）
一、选择题
1-5: DCCCB
二、填空题
6-10: CACCA
11、12：BB
13.
3
4
14.
4
15.
5：
16.
?5，6
三、解答题
17、解：（Ⅰ）在ABD 中,因为 tanABD 3,ABD?0, π? ,所以 sin?ABD
3 10
10
,
根据正弦定理有:
BD
sin?A
?
AD
sin?ABD
,代入 AD 6 2,A
π
4
,可得 BD 2 10 .
（Ⅱ）证明:在BCD 中,根据余弦定理 cos?C
BC 2 CD 2 BD 2
2BC CD
,
代入 BC 2 2, CD 4 , BD 2 10 得 cos?C?
2
2
,
因为C?0, π? ,所以C
3π
4
,所以A?C π ,
而在四边形 ABCD 中,A?ABC?C?ADC 2π ,
所以ABC?ADC π .
18、证明：(I)设 SC 中点分别是 E ，连接 BE, ME 则
1
Q AB / /
DC ，
2
ME / /
1
2
DC
，
?四边形ABEM 为平行四边形，
Q AM / / EB ，
Q EB 平面 SBC ， AM 平面 SBC ，
平面.
（II） Q SD 平面ABCD ,
第页
72
2
? SD DB?SBD是SB与平面ABCD所成角,
? sinSBD
SD
SB
?
3
3
,
? SB 2 3SD 2 又正方形 ABED 中 BD= BD
2AB
2 直角三角形SDB中
SB
SD 2 DB 2 3SD 2 SD 2 2 SD 1 .
1
2
DC )AD
1
2
(1 2) 1
3
2
，
? v四棱锥SABCD
1
3
S梯形ABCD SD
1
3
?
3
2
? 1
1
2
.
19、解答：(I)
阅读量在 3 万到 5 万的小矩形的面积为 0.1，阅读量在 9 万到 11 万的小矩形的面积为 0.25,
阅读量在 11 万到 13 万的小矩形的面积为 0.15.
? 阅读量在 3 万到 5 万的人数为 50， 9 万到 11 万的人数为 125, 11 万到 13 万的人数为 75.
则
K 2
n(ad bc)2
(a b)(c d )(a c)(b d )
?
125(20 25 50 30)2
(20 50)(30 25)(20 30)(50 25)
? 8.658 7.879
.
? 能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“学生成绩优秀与阅读量有相关关系” .
(II)
1）由(I)知阅读量在 5 万到 9 万的小矩形的面积为 1-（01+0.25+0.15）=0.5
则被污损部分的同学人数为 10 人，
2）按分层抽样的方法，抽得阅读量在 3 万到 5 万的人数为 2 人，阅读量在 11 万字到 13 万字的为 3 人，
设阅读量在 3 万字到 5 万字的 2 个同学为 a, b ，阅读量为 11 万字到 13 万字的 3 个同学为 A, B, C
则从这 8 个同学中选出 2 个同学的情况有：
? a, b? a, A a, B , a, C? b, A b, B? b, C
? A, B? A, C? B, C ，共 10 种情况，
第页
8阅读量为 3 万到 5 万人数阅读量为 11 万到 13 万人数合计成绩优秀的人数205070成绩不优秀的人数302555合计5075125
阅读量为 3 万到 5 万人数
阅读量为 11 万到 13 万人数
合计
成绩优秀的人数
20
50
70
成绩不优秀的人数
30
25
55
合计
50
75
125
又
又 S 梯形 ABCD= (AB
2 人中恰有 1 人来自阅读量是 11 万到 13 万的有：
? a, A a, B? , a, C? b, A b, B? b, C ，共 6 种情况，
? P
?这 2 人中恰有 1 人来自阅读量是 11 万到 13 万的概率为 3 .
5
2
（II）设 AB 所在直线方程为 x m( y 1) 1(m 0) ， A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 与抛物线联立
? y 2 4x
?
y 2 4my 4(m 1) 0 ，所以 y1 y2 4m, y1 y2 4(m 1) ，
设 AR ：
y k1 (x 1) 2 ，
?
由
得
xM
k1
k1 2 ，而
y 2
x11
y 2
?1
?
4
y1 2
，
可得
xM?
2
y1 ，同理
xN?
2
y2 ，
所以
| MN |? 5 | xM xN |? 2 5
m 2 m 1
| m 1|
.
令 m1 t (t 0) ，则 m t1 ，
所以
1 1
t 2
3
4
? 15
，
此时 m?1， AB 所在直线方程为：x+y-2=0.
21、解答：(I)函数
f x?
的定义域为
?,? ， f x e x? x 1? e x kx xe x kx x e x k ，
1
k 0 时，令 f x 0，解得 x 0 ，所以 f x? 的单调递减区间是, 0? ，
单调递增区间是
?0,? ，
②当 0 k 1时，令
f x 0
，解得 x lnk 或 x 0 ，
所以
第页
f x?
在
?, ln k 和 0,? 上单调递增，在ln k, 0? 上单调递减，
93520、解答：(I)将 R(1, 2) 代入抛物线中，可得 p 2 ，所以抛物线方程为 y 4x .? x my m 1得：? y k1( x1) 2y 2x 2
3
5
20、解答：(I)将 R(1, 2) 代入抛物线中，可得 p 2 ，所以抛物线方程为 y 4x .
? x my m 1得：
? y k1( x1) 2
y 2x 2
k1 1
? 12
y1
4
| MN |? 5 | xM xN |? 2 5 ( )2
（II）
f01
，①当 k 0 时，
f1
k
2
? 0
，又
f x?
在
?0,? 上单调递增，所以函数 f x? 在
?0,? 上只有一个零点，在区间, 0? 中，因为 f x x 1? e
x
?
x x 1
x
，取
x
2
k
? 1
，
于是
? k k 2 k
2
k
2
? 0
，又
f x?
在
?, 0? 上单调递减，故 f x? 在, 0?
上也只有一个零点，
所以，函数
f x?
在定义域
?,? 上有两个零点；
②当 k 0 时，
f x x1? e
x
在单调递增区间
?0,? 内，只有 f1 0 ．
而在区间
?, 0? 内 f x 0 ，即 f x? 在此区间内无零点．
所以，函数
f x?
在定义域
?,? 上只有唯一的零点.
?x 1 2cos
22.解：（Ⅰ）由
2 2
2
∴曲线 M 是以 (1,1) 为圆心， 2 为半径的圆．
2
1 +? 2 =2( sin? cos? )，?1? 2 = 2 ，
2
①，
?
2
1
2
1
2
(144 16sin 2 2)
sin 2 2[0,1]? S四边形ABCD[4 2, 6] ．
2x, x?1
?
,
? x 1
2
2 2 2
第页
10k 22k 22? 2 2k 2f? 1? 1 1 1 y 1 2sin（β为参数）消去参数β得： ( x1) (
k 2
2
k 2
2
? 2
2
k 2
?
?
f? 1? 1 1 1
? y 1 2sin
（β为参数）消去参数β得： ( x1) ( y1) 4 ，
将曲线 M 的方程化成极坐标方程得：? 2? (sin? cos? ) 2 0 ，
（Ⅱ）设 | OA |1,| OC |2 ，由 l1 与圆 M 联立方程可得? 2? (sin? cos? ) 2 0
∵ O, A, C 三点共线，则 | AC |?|1? 2 |? (1? 2 ) 41? 2 12 4sin 2?
同理用 +
代替 可得
| BD |? 12 4sin 2? , l1 l2 ,? S四边形ABCD = |AC|?|BD|=
23.解：（Ⅰ） x 1 x 1?2, 1 x 1 由 x 1 x 1 4 M [?2,2];
?2x,
（Ⅱ）法一：要证 2 a b ab 4 ，只需证 4(a b) ( ab 4），
即证 4a 8ab 4b (ab) 8 ab 16 （*）式
2 2 2 2 2
所以（*）式显然成立，故原命题得证.
法二：
a b a b ，?要证 2 a b ab 4
只需证 2 a 2 b ab 4 ，即证 ( a 2)( b 2) 0
由（Ⅰ）：a 2, b 2, 上式显然成立，故原命题得证.
第页
118ab 8 ab ，又由（Ⅰ）：a 2, b 2, 则 (a 4)(b 4) 0
8ab 8 ab ，又由（Ⅰ）：a 2, b 2, 则 (a 4)(b 4) 0 ，即 4a 4b (ab) 16
