苏科版八年级上册 第六章 一次函数实际问题分类 路程相遇追击问题 阶梯分段函数、方案选择问题 含压轴题和变形x
时间：2020-11-15 20:46:23 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
一次函数实际问题分类
题型归纳：
题型1：阶梯收费问题（可用分段函数的思想求解）
分析：此类问题可以通过审题列出对应自变量的函数表达式或通过待定系数法的使用得到从而进行求解。
例题：
1.一家小型放映厅的盈利额．y(元)同售票数x(张)之间的关系如图所示，其中保险部门规定：票数超过150张时，要缴纳公安消防保险费50元．试根据关系图，回答下列问题：
(1)试就0<x≤150和150<x≤200，分别写出盈利额 y(元)与x(张)之间的函数关系式；
(2)当售出的票数x为何值时，此放映厅不赔不赚?当售出的票数x满足何值时，此放映厅要赔本?当售出的票数x为何值时，此放映厅能赚钱?
(3)当售出的票数x为何值时，此时所获得的利润比当x=150时多?
2. 某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。
（1）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式：
①用水量小于等于3000吨_____________；
②用水量大于3000吨_____________。
（2）某月该单位用水3200吨，水费是_________元；若用水2800吨，水费_______元。
（3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？
3. ．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20 m3时，按2元／m3计费；月用水量超过20 m3时，其中的20 m3仍按2元／m3收费，超过部分按2．6元／m3计费．设每户家庭用用水量为x m3时，应交水费y元．
(1)分别求出当0≤x≤20和x>20时，y与x的函数表达式；
(2)小明家第二季度交纳水费的情况如下：
月份
四月份
五月份
六月份
交费金额
小明家这个季度共用水多少立方米?
巩固练习：
1. 某市出租车的计费标准如下：行驶路程不超过5 km
时，收费8元，行驶路程超过5 km的部分，按每千米1．5元计费．
(1)求出租车收费y(元)与行驶路程x(km)之间的函数关系式；
(2)若某人一次乘出租车付出了车费11元，求他这次乘坐了多少千米的路程?
2.某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所
示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．
(1)当x≥30时，求y与x之间的函数关系式．
(2)若小李4月份上网20 h，则他应付上网费用多少元?
(3)若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少?
3.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识．某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段汁费办法收费．即一月用水10 t以内(包括10 t)的用户．每吨收水费a元，一月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b元(b>a)收费．设一户居民月用水x(t)，应缴水费y(元)．y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求a的值，某户居民上月用水8 t．应收水费多少元?
(2)求b的值，并写出当x>10时．y与x之间的函数关系式；
(3)已知居民甲上月比居民乙多用水4 t．两家共收消费46元．求他们上月分别用水多少吨?
题型2：路程问题（包含相遇问题以及追击问题）
分析：路程的关键是找出等量关系以及已知条件的切入点，通过公式以及待定系数法求解。明确图像中交点以及转折点的具体含义，需要仔细分析。
例题
1. 小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁之间的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁．图中折线OABC和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为_______分，小聪返回学校的速度为______米／分；
(2)请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分）之间的函数关系式；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
2. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，如图所示的折线表示y与x之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
(1)甲、乙两地之间的距离为_______km；
(2)请解释图中点B的实际意义；
(3)求慢车和快车的速度；
(4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
3. 小明的父亲饭后出去散步，从家走20分钟到一个离家900米的报亭，看10分钟报纸后，用15分钟返回家里．下面四个图象中，表示小明父亲的离家距离与时间之间关系的是（ ）
4. 某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止. 结合风速与时间的图像，回答下列问题：
（1）在y轴（ ）内填入相应的数值；
（2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？
（3）求出当x≥25时，风速y（千米/时）与时间x（小时）之间的函数关系式.
（4）若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间？
5. 一辆慢车和一辆快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程y(km)与时间x(h)的函数图象如图所示．
(1)慢车比快车早出发_______h，快车追上慢车时行驶________km，快车比慢车早__________h到达B地；
(2)①快车追上慢车需要几小时?
②求慢车、快车的速度；
③求A、B两地之间的路程．
巩固练习：
1. ．小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地走去，如图所示，图中的线段y1，y 2分别表示小东、小明离B地的距离(千米)与所用时间(小明)的关系．
(1)试用文字说明：交点P所表示的实际意义；
(2)试求出A、B两地之间的距离．
2. 如图，已知A地在B地正南方3 km处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离s(km)与所行的时间t(h)之间的函数关系的图象由如图所示的AC和BD给出，当他们行走3 h后，他们之间的距离为_________k m．
3.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是……………………………………（ ）
4.为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途径乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y（km）与自行车队离开甲地时间x（h）的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：
（1）自行车队行驶的速度是 ；
（2）邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？
（3）邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离
甲地多远？
5. 甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图．根据图象解决下列问题：
（1）谁先出发先出发多少时间谁先到达终点先到多少时间？
（2）分别求出甲、乙两人的行驶速度；
（3）在什么时间段内，两人均行驶在途中（不包括起点和终点）在这一时间段内，请你根据下列情形，分别列出关于行驶时间x的方程或不等式（不化简，也不求解）：①甲在乙的前面；②甲与乙相遇；③甲在乙后面．
题型3:方案选择
分析：通过题目已知条件求出两个（或两个以上）方案的代数式表示，并确定自变量的取值范围。在比较后出临界值以及适合题意的答案。
重点：审题归类、通过已有公式，找出等量关系。
例题：在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在８天之内（含８天）生产Ａ型和Ｂ型两种型号的口罩共５万只，其中Ａ型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产Ａ型口罩每天能生产0.6万只，若生产Ｂ型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只Ａ型口罩可获利0.5元，生产一只Ｂ型口罩可获利0.3元．
（1）设该厂在这次任务中生产了Ａ型口罩万只．问：（１）该厂生产Ａ型口罩可获利润_____万元，生产Ｂ型口罩可获利润_____万元；
（２）设该厂这次生产口罩的总利润是万元，试写出关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（３）如果你是该厂厂长：
①在完成任务的前提下，你如何安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？
②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数?最短时间是多少？
分析：
（１）0.5x，0.3（5－x）；
（２）＝0.5＋0.3（5－）＝0.2＋1.5，
首先，1.8≤≤５，但由于生产能力的限制，不可能在８天之内全部生产Ａ型口罩，假设最多用天生产Ａ型，则（８－）天生产Ｂ型，依题意，得0.6＋0.8（８－）＝５，解得＝７，故最大值只能是0.6×7＝4.2，所以的取值范围是1.8（万只）≤≤4.2（万只）；
（３） eq \o\ac(○,1)要使取得最大值，由于＝0.2＋1.5是一次函数，且随增大而增大，故当取最大值4.2时，取最大值0.2×4.2＋1.5＝2.32（万元），即按排生产Ａ型4.2万只，Ｂ型0.8万只，获得的总利润最大，为2.32万元；
eq \o\ac(○,2)若要在最短时间完成任务，全部生产Ｂ型所用时间最短，但要求生产Ａ型1.8万只，因此，除了生产Ａ型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产Ｂ型．所需最短时间为1.8÷0.6＋3.2÷0.8＝７（天）．
例2：Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／吨与22元／吨，现已知Ｃ地需要220吨，Ｄ地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最小?
分析：根据需求，库存在Ａ，Ｂ两城的化肥需全部运出，运输的方案决定于从某城运往某地的吨数．也就是说．如果设从Ａ城运往Ｃ地吨，则余下的运输方案便就随之确定，此时所需的运费（元）也只与（吨）的值有关．因此问题求解的关键在于建立与之间的函数关系．
解：设从Ａ城运往吨到Ｃ地，所需总运费为元，则Ａ城余下的（200－）吨应运往Ｄ地，其次，Ｃ地尚欠的（220－）吨应从Ｂ城运往，即从Ｂ城运往Ｃ地（220－）吨，Ｂ城余下的300－（220－）＝15（220－）＋22（80＋），
即＝２＋10060，
因为随增大而增大，故当取最小值时，的值最小．而０≤≤200，
故当＝０时，最小值＝10060（元）．
因此，运费最小的调运方案是将Ａ城的200吨全部运往Ｄ地，Ｂ城220吨运往Ｃ地，余下的80吨运往Ｄ地．
巩固练习：
1.甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠，某班级需购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）．
(1) 设购买乒乓球盒数为 (盒)，在甲店购买的付款数为甲（元）；在乙店购买的付款数为乙（元），分别写出甲、乙与的函数关系式；
(2) 就乒乓球的盒数讨论去哪家商店购买合算？
2. 某办公用品销售商店推出两种优惠方法：④购1个书包，赠送1枝水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每枝定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干枝（不少于4枝）．
(1)分别写出两种优惠方法的购买费用y（元）与所买水性笔x（枝）之间的函数关系式；
(2)对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
(3)小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12枝，请你设计怎样购买最经济．
3. 小明用的练习本，一般在甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是一次购买10本以上，从第l1本起按标价的70％卖；乙商店的优惠条件是全部按八五折优惠．
(1)若小明打算买30本，到哪家店购买省钱?
(2)小明现有38元钱，最多可买多少本练习本?
