江门市2017年普通高中高二调研测试(一)数-学(理科)（11页）
时间：2020-10-31 12:23:25 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
江门市2017年普通高中高二调研测试cBrABD* 92■A. 22+己知向量C+当j:> 0时6,下列结论中’正碉的是A. 2B+当x>0时，、任D,当0 <
江门市2017年普通高中高二调研测试
c
B
r
A
B
D* 9
2
■
A. 2
2+己知向量
C+当j:> 0时
6,下列结论中’正碉的是
A. 2
B+当x>0时，、任
D,当0 < x < 2时
选择题：本题共㈡小題.每小題5分，在每小題给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
IX以上都不是
5,则
氏 已知等差数列｛知｝满足如
A. 3 B, 5
bX
IL丙角三角形
D.鄆博三角形或直角三角形
d当20目“1叭S +虛"
广用的最小值为2
4,抛物线yz = lx的焦点到其准线的葩离是
^>2
VX
—2无最大值
10. ua<-r是：关于x的不尊式axz + 2x4-a<0的解集为R"的 A*充分不必耍条件 B.必要不充分条件
C+充曼条件 D.既不充分不临要条件
9.己知入磁中，角B所对的边分别是a^b,若acosA = bcosB.则AABC_定 是
A.等腰三甫形
匚寻赛直角三和形
E —个焦点为（山6）. 11与双曲线—-/ = 1冇川同渐近线的双曲线的方程見
数 学（理科）2017.1
0r - 1), b = (-3t 2, 2)> 则 |
IX 5
7,若e h* f成等比数列.则函数/（Jr） = fix3 + bx + c零点的个数是
A?2个 R. 1亍 C. 0个
d-7
B* -a2
如右图，三棱锥A-BCD A条棱的长度均为a. E、F 分别是棱A% AD的中点，^lEF BC^
C, yfl2
已知集合 Af = {x| - 1 < x < 4}, = (x\x2 - x - 6 > 0}(则 M r\ N
A, [x|3 < x < 4] IL [x\x < -2 或丸鼻一 1}
C. {x\ - 2 < x < 4} D?[x|-l <x< 3)
《九章算术》中有如下问题：“今有五人分五钱.令上二人所得与下三人等.问 各得几何.”其总恩为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与 丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人外 得多少钱？”( “钱”是古代的一种巫量单?位)?这个问题中，甲所得为 A.扌钱 B.扌钱 C.牛钱 D?
已知抛物线x2=y+l上 淀点力(一1, 0)和两动点P、Q,当PA丄PQ时，点0 的横坐标的収值范帀是
A. (―oot — 3] B. [1* + oo) C?[—3? 1] D. (―oot — 3]U[1? +8)
本誉包括必考题枚选考题两部分.第13题?第21题为必考题.每个试题考生都 必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
己知命题p： 3XO GZ,坊的个位数字等于2.则命题「p： ?
己知数列｛如满足如=一占an = 1 - —(n>l),计算并观察数列｛如的
4 an-l
前若「项，根据前若「项的变化规律推测，02016=
2x -X2
2x -X2 > 0
在平面直角坐标系xOy中.不等式组｛ y-2<0所农小的平面区域的面积是
、x-y< 1
三、解答题：解答应写出文字说明■证明过程或演算步骤?
(本小題满分12分)
已知AABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c. sln2C = cosC.
(I )求角C的大小：
(II)若 c = 1> a = \/3> 求 b 的值.
(本小题满分12分)
己知正项数列(｝, = 2, = 2an+1 + 2an, n E N*.
(I )求证：｛aj是等差数列：
(II)记数列｛—｝的前n项和为s“?求士+ ￡+ + S1 s2 sn
19?（本小题满分12分）
如图.四边形ABCI）为正方彤.PI）丄平面ABCD, QA〃PD? QA=AB = ^PD.
（I ）证明：平面PQC丄平面DCQ： （II）求二而角Q-BPC的余弦值.
20?（本小题满分12分）
（2知 /（X）= ax2 一（a + l）x + b a 是常数.
（丨）若a>0,解关于x的不等式/（x） < 0：
（II）若对任意的a6[-l. 1].不等式/（x）> 0恒成立.求X的取位范凤
（本小题满分12分）
AT?
d?平而直的坐标系尢0y中.椭圆C： — + ^7=1 （a > b > 0）的离心*为丁, F是愉圆的一个焦点，过F且与x柚垂直的直线被椭圆截得的线段长为V2.
（1 ）求椭圆C的方程：
（II）经过点M（0, 2）的宜线与椭圆郴交于旅B两点，求AOAB而积的最大值.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（木小题满分10分）
正数 a、b 满足 a A- b = ab - 3.
（I ）求证：a + b > 6：
（II）求丄+ f的取值范国.
a b
（本小题满分10分）
(x-y + 2 > 0
12血儿y满足不等式组x + y-4> 0.
(2x — y - 5 < 0 (I )求Zj = x + y的最大(ft：
(II)求z2 = x2 + y2的最小值?
参考答案及解析
、选择题:
1 . A 【解析】M = {x|— 1 g 4, N = {x|x2— x—6>0} = {x|xv— 2 或 x> 3}, a M AN = { x|3v x< 4}故选 A.
B 【解析】由题意，知 a+ b= (— 2, 2, 1), a |a+ b|= ( — 2)2+ 22+ 12 = 3，故选 B.
D【解析】等差数列{ an}中，ai, a3 , a5也成等差数列，由 ai = 1 , a3= 5 ,得a5= 9,故选D.
1 1
B【解析】抛物线y2= 2x的焦点为Fq , 0),准线为直线I: x=—-,点F到直线I的距离为1,故选B.
D【解析】在厶 ABD中，由中位线定理得 EF = ?BD , a EF BC= ^BD BC = -|BD| |BC|cos60 °a2,故选 D.
1 1
B【解析】A:①当x> 1时，lgx>0,则lgx+展》2当且仅当lgx=辰，即x=10时取=”；
1 1 1 1
A选项错误.②当 0vxv 1 时，lgxv0, lgx+ —=—【(—lgx) + (二1g^)］三2，当且仅当一lgx=—gx，即卩 x
A选项错误.
1 1Qx>0，则 心
1 1
Qx>0，则 心+孑》2当且仅当 五=『，即卩x= 1时取=”；B选项正确.
1
ex> 1,贝U ex+三> 2,故C选项错误.
C :当x> 0时，
1 3
D:函数f(x) = x— 一在(0,+^上单调增，则在(0, 2］上有最大值f(2) = 2,故错误?
x 2
C【解析】由a, b, c成等比数列，得 b2= ac且b^Q
贝U △= b2— 4ac= b2— 4b2 =— 3b2v 0,所以函数 f(x)= ax2 + bx+ c 只有 1 个零点，故选 C.
c【解析】设所求双曲线方程为 ±——5= 1 (焦点在y轴上)，
由题意，得(一
由题意，得(一5 + (— 2 5 = 36,解得 =—12,a所求双曲线的方程为
2 2
工—x_
12 24
=1，故选C.
【注意】本题要注意要对焦点位置进行讨论，否则会错选 D;当然也可以直接用双曲线的定义进行求解
D 【解析】由正弦定理，得 sin A cos A= sin B cos B, a sin 2A= sin 2B,
n
D.A 2A= 2B或2A + 2B= n,即A = B或A+ B= 则厶ABC是等腰三角形或直角三角形，故选
D.
10. C
10. C【解析】由 关于x的不等式ax2 + 2x+ av 0的解集为R”得,
av 0 2
II △= 4 — 4a2v 0,
解得
av— 1”是 关于x的不等式ax2+ 2x+ av0的解集为R”的充要条件，故选 C.
A【解析】设甲，乙，丙，丁，戊所得的钱数分别为 a1, a2, a3, a4, a5，且组成公差为d的等差数列,
此数列的前5项和为S5,由题意，得S5= 5.由等差数列的性质，得 S5= 5a3,A a3= 1.
由题意，得 a1 + a2 = a3 + a4 + a5，即卩 2a1 + d = 1 + 2a1 + 7d ①；
由等差数列的性质，得 a1 + a5 = 2a3, 即卩2a1 + 4d= 2 ②；
联立①②，得a1 = 4，即甲所得为4钱，故选A.
D 【解析】设 P(X1 , X12— 1) , Q(X2, X22 — 1)，则有 AP= (X1 + 1 , X12— 1) , PQ = (X2 — X1, X22 — X12)
由PA丄PQ，得AP PQ =0」(X1 + 1)(X2— X1) + (X12— 1)(X22— X12)= 0
二(X1 + 1)(X2— X1)+(X1+ 1)(X1 — 1)(X2— X1)(X2+ X1)= 0 /? 1 + (X1 — 1)(X2+ X1)= 0 /? X2=— (-1 + X1 — 1) 一1
X1 — 1
①当X
①当Xi> 1时,
X2=—(h+X1-1) — 1 — 3 当且仅当 X1—7=X1-J 即 X1=2 时，取=”；
②当X1
②当X1V 1时,
X2=— (—X1— 1) — 1》,1 当且仅当
X1— 1
—^ = X1— 1,即卩 X1= 0 时，取'=”;
X1— 1
综合①②所述,Q点的横坐标
综合①②所述,
Q点的横坐标X2的取值范围是（一g,
—3] U [1 ,+g),故选 D.
二、填空题:
13.
护的个位数字不等于a
14.
4
5【解析】
1 4 1
由题意，得 a1 = —；, a2= 5, a3=— -, a4=—；,易观祭，得 an + 3 =
4 5 4
4
an,「a2016 6672X3=少 一 5.
15.
4【解析】
由题意，得 X,
0 $ W2
y的线性约束条件为宅y— 2WQ其表示区域如右图阴影部分所示
x— yW1
易观察，阴影部分面积与正方形 OABC的面积相等，则其面积为 2X2 = 4.
16.
【解析】以D1为原点，DA DC、D1D方向分别为x轴、y轴、z轴建系,
不妨假设 AD = 2，则 A(2, 0, 2), C(0, 2, 2),
C1(0, 2, 0), E(0, 1 , 2), AC = (— 2, 2 , 0) , C1E= (0 , — 1 , 2).
AC C1E — 2 \；；10
?-cOS<AC, C1E > = ACHCE广 2.2 X； 5=—而,
故异面直线ac与Ge所成角的余弦值为 十0 三、解答题:
1 化解:(1 ) ^sm2C = c^C^t 2sinCcosC' = cusC —1 分
当 cost? = 0 时，C =—
([1 ) V c = a llc<tr 二取「—兰,
6
*****'10 分由余弦定理得l=(V3f
*****'10 分
2
【注意】（I）中当cos C
【注意】（I）中当cos C = 0时，cos C不能被约掉,
故要讨论这种情况；而题目没有注明厶 ABC是什么三角形,
故C可为锐角或钝角；（H）中由于cv a，由大边对大角可知C的大小只能是n
解：(1)tY+i-必=2a卄x + 2a和 an > 0
％-? = 2(常数)
……2分
是以2为首项，2为公差的等差数列
……4分
(II)由(I〉得a” =2 + (m-1)x2 = 2/z
……e分
(2 + 2/;)// z t lx 耳= = w(? + l)
■
……?分
1111
……10分
s. "(〃 + l) n ” + 1
*+*++￡ =(i?￡)+(；-￡)+l +(-)=
s2 务 2 2 3 n w +1
! 1 "
=1
Z/ + 1 " + 1
12分(裂项2分，求和与化简分)
解：设线段DA的长为1,以D为坐标原点，射线DA为 的正半轴建立空间頁角坐标系D-xyz?
(I〉依題总有01 山))，C(O.O,1)?"(020), 则 Z^ = (LL0). DC = (0.0,1). 7^ = (1-1,0)? 所以殛?万0 = (). 函?灰= ()? 即〃。丄 DQ, "0丄QC 且DQriDC =D 故P0丄平面DC0 又P0U平而「?所以平面〃 丄平而"0
(1【)依题意有,而(1Q0),莎(一 12-1)?
f h * CB = 0
设〃“如是平而咙的法向氐叫临"即I
因此可取n = (0-l-2)
设加是平面的法向母，则<m ?
设加是平面的法向母，则<
m ? BP = 0, 万瓦=0.
10分
(列方程组与求得法向呈各I分〉
所以cos(w) =-巴二 11分
由图形知二面用Q-BP-C为钝你 故二面角Q-BPY的余弦值为-匹.……12分
5
解：(I )依题意(av-lX^v-l)<0
……1分
(at-lX-￥-l) = 0解为旺=丄，x, = 1
……2分
Ovav 1时.不等式的解集为｛x\\<x<丄｝
a
……3分
时，不等式的解集为空集0
……4分
“>1时，不等式的解集为｛x|丄VX<1｝
……5分
渦
r(i)
分
如
±—b
a,则二二空.知 a 2
n xt + as
(n)【另写法】令g(a) = (x2—x)a—x+ 1,(变换主元法)
[|[ A = {Sfr)- -24(2^z + l)>0- fnA'2 >-
I'l A,J - A' < U J 即 0 < f < 1 吋+ S/Ehn/tt ?,</(!) = x; — 2jf + L = (Jf 1)' > 0 -'jZ
原题意等价于 g(a)= (x2—x)a— x+ 1 > 0对任意的a€ [ — 1, 1]恒成立
即x的取值范围是(一1, 1).
* 4
过点F且导工報垂宜的直曳庁裡为程入橢圆号翅*有竺-+匚=1,鮮轉 a~ b'
F是压=迈?解^b = l 3分.MIS(/ = 72x = ] 彳分
<11)设4(斗」小 垃壬由亀意可设宜践仙 的力程为，二后+ 2. ...6 5r
由<壬 悄占F 井赅理.i^(2jt- + l).v+^ +6 = Or
—- + V' = L
lll/+—?得兀加e ￡字
i 2
当R仅舟24, F =2时成丸
所也曲睑积的址大値为甞
.12甘
(U〉曲/(jf)-ar -(rt + l)y + J. >0(4 = (x1 - x)fl - x + 1.
若 x2 - \ > 0，即..V A 1 或.t < 0 U'J,削理人讪=El-』)=-x2 +1
足系件的X的取值0)
嫌卜”工的趾但范沫(一「1)
只要满足
1(- 1)——
9(1) = x2—
x2+ 1> 0
2U〔>0 即可，解得—1 V XV 1,
|听以瞒冋「
的方唧吟2
3分綽得分井I：由10分衣示的町行域如国晰示分a2 = 0的交点为J(7.9)分直线作宜线x+y = 0的平行域分）由约束条伴王&10分G分严的最小值为8联立直线AB与椭圆经检验?爭足许纯胃BC上设 A(Xi, yi), B(X
3分
綽得
分
井
I：
由
10分
衣示的町行域如国晰示
分
a
2 = 0的交点为J(7.9)
分
直线
作宜线x+y = 0的平行域
分
）由约束条伴
王&
10分
G分
严的最小值为8
联立直线AB与椭圆
经检验?爭足许纯胃BC上
设 A(Xi, yi), B(X2
圉为埶巾祁为止独+所以
0与直线耳
2乳?
C,得
所以彳兰
n）【法
设直线AB的方程为
由题意知，直线 AB的斜率必定存在且不为 0
由图禺当/经过点"⑺刃吋
巨乩或口 +力W -2
I yi — y2|= (yi + y2)2 — 4yiy2= |k|
o+b+3 - 3 S 分
x + v取得最大值.此时z = x + v = 7 + 9 = 16
2
y2），直线AB交x轴于点P,贝U P（ —-, 0），其草图如右所示
3
令△= 16+ 4(2k2+ 1)(2k2— 4)>0，得 k2>|
y= kx+ 2 ( k^0,即 x = ^(y— 2)
x2+ 2y2= 2
1 c\，消去 X,得(2k2+ 1)y2— 4y+ 4— 2k2= 0 x=- (y— 2)
<n）z2 =x2 + ya,H何倉义为点F*刃到点（0,0）的距离的平方：
11］图知?最小值为他0）到巨线a + j-4 = 0的距离的平方土 J--^10 + 0~4
由己知得（21￡）2 >a + /）+ 3,即（口 +血尸一讯口 +酊一订倉
由基本不等式（学尸之口乩 当且仅当a = b吋，等号成也
4 4 — 2 k2
由韦达定理，得 yi+ y2= 2k2 +1, yiy2 = 2k2+ 1
.山OAB的面积S= 2中yi — y2|=捅7器+謬782用 其后做法与以上相同，求得△ OAB的面积的最大值为 号.
8(2k2— 3) (2 k2 + 1)2
=上巴一二1———6分
ah a+b+J a+b+3
