福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座高考推理和创新题新人教版
时间：2020-11-19 13:06:04 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
福建省福州市2012年10月高中数学学科会议专题讲座 高考推理和创新题
考点透析：
推理既包括演绎推理，也包括合情推理；一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.
（1）演绎推理。高考对推理论证能力的考查主要体现在对演绎推理的考查上，试卷中考查演绎推理的题型，既可使用选择题、填空题的形式，也可使用解答题的形式进行重点考查。
（2）合情推理.归纳和类比均属于合情推理.在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论。
对于创新：提倡开放探索 关注创新意识
高考作为选拔性考试，应该偏重于能力测验，特别是能力倾向测验，适当考查考生在未来的学习或工作中是否具有创新意识。因此，高考中可适当设置开放性、探索性试题，考查创新意识和探究精神。考查创新意识的问题应立足于中学数学，以中学数学的基础知识为基本素材，考查学生创造性地应用知识分析问题、解决问题的能力。
高考对创新意识的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖的问题。高考对应用意识和创新意识的考查，其意义已超出了数学学习，对提高考生的学习能力、工作能力和数学素养都有重要的意义。
具有创新性质的思维活动表现为：
能从题目的条件中提取有用的信息，从题目的求解(或求证)中考虑需要的信息。
能在记忆系统里储存的数学信息中提取有关的信息，作为解决问题的依据，推动①中信息的延伸。
③将①、②中获得的信息联系起来，进行加工、组合，主要是通过分析和综合，一方面从已知到未知，另一方面从未知到已知，寻找正反两个方向的知识“衔接点”——一个固有的或确定的数学关系。
将③中的思维过程整理,形成一个从条件到结论的行动序列.
高考中对创新意识的考查要求考生能够将能力要素进行有机的组合,能力要素的有机组合首先是各种能力的综合,但又不是所有能力要素的综合,是解题所需的能力要素的组合,它包括观察能力、记忆能力、理解能力、分析能力和运用知识的能力等,以及空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和数据处理能力的综合运用.
近几年来高考多会结合合情推理知识点，相继推出一些背景新颖、构思精巧、情境别致，具有相当深度和明确导向的创新题型，试题中此类题目分值10分左右（上海、湖北、湖南、江苏较为典型），并且主观题、客观题设置较为灵活，这些创新型问题往往成为了试卷的闪光点和把关点。
福建高考2010、2011、2012年三年推理和创新题数据统计分析：
理科
年份
题号
题型
分值
考查知识点
2010年
10
15
选择题
填空题
9分
函数
函数
2011年
10
15
选择题
填空题
9分
函数、向量
映射
2012年
10
15
选择题
填空题
9分
函数
函数
文科
年份
题号
题型
分值
考查知识点
2010年
12
15
16
选择题
填空题
填空题
13分
集合
集合
类比推理、三角函数
2011年
12
16
选择题
填空题
9分
推理
函数
2012年
12
16
选择题
填空题
9分
导数
推理
上表说明了近三年福建省对创新题考查比较稳定，基本上是最后一道选择题和最后一道填空题，是整卷的把关点之一，难度较大。考查知识涉及集合、函数、导数、三角函数、向量、推理。
考点例析：
创新方向一：定义“新概念”或“新运算”型
新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的．
例1.（2012年广东理8）对任意两个非零的平面向量α和β，定义。若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则= （ ）
A． B. 1 C. D.
【解析】：因为，
且和都在集合中
所以，，，所以
所以，故有
评注：在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．
例2.（湖南文16）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.
（1）b2+b4+b6+b8=__；
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.
【答案】（1）3；（2）2.
【解析】（1）观察知；；
一次类推；；
；，，，
b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.
创新方向二：归纳类比型
求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，并对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联；求解归纳推理问题的关键是从一些特殊的例子中寻找共同的规律．
例3.(2012湖南理)设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.
（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.
【答案】（1）6；（2）
【解析】（1）当N=16时,
,可设为,
,即为,
,即, x7位于P2中的第6个位置,；
（2）当时，在第个位置，在第44个位置，
当时，被分成段，每段64个数，而落在第一段第22个偶数位，在位置为个位置，分成8段，每段32个数字，而落在第二段第11个偶数位，在位置为；
当时，被分成段每段4段，每段128个数，而落在第一段第22个偶数位，在位置为个位置，分成8段，每段64个数字，而落在第二段第11个偶数位，在位置为；以此归纳推理知位于P4中的第个位置。
评注：本题题目文字较多，理解题意是解题的关键。是考查在新环境下的创新意识，考查运算能力、阅读理解能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.
创新方向三：探索探究型
探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题．
例4.(2012年福建理科)函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P。设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1,3]上的图像是连续不断的；
②f（x2）在[1,]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有
其中真命题的序号是
A.①② B.①③ C.②④ D.③④ （福建理10）
【答案】D．
【解析】若函数在时是孤立的点，如图，则①可以排除；函数具有性质p，而函数不具有性质p，所以②可以排除；设，则,
即，又，所以，因此③正确；
所以④正确.故选D.
评注：本题是凹函数性质的研究和应用，常见的形式是：在“连续”条件下，利用数形结合思想解决问题，此类题目比较多考察的目标和方法也比较单一，但命题老师采用“变异”创新的手段进行试题编制，通过弱化条件促使考试及其解决问题所需使用的数学思与方法等产生突变，进而使原试题考查从单一到走向多元化。这道题4选项容易判断正确，因此1必定是错误，只要在命题2、3中选择1个并作出判断即可。
创新方向四：信息迁移型
信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题．
例5.（2012全国卷二理）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝37。动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为
（A）16（B）14（C）12(D)10
2.(2012全国卷二文)正方形ABCD的边长是1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=1/3，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当P第一次碰到E时，P与正方形边碰撞次数为
（A）8 （B）6 （C）4 （D）10
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可。
评注：本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。应用物理学知识通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。对文理两道题目的比较，文科题目容易通过作图实现，但理科题目就不是那么容易了！但是我们运用归纳推理的思想方法，就易得到结论。在两题目的题干中的差异就是理科E,F是七分点，文科E,F是三分点，所以不妨运用归纳推理：若AE=BF，当E,F是中点时，若P第一次碰到E时，P与正方形边碰撞次数为4；当E,F是三分点即AE=BF=1/3时，若P第一次碰到E时，P与正方形边碰撞次数为6；………，于是E,F是七分点，可推理出当P第一次碰到E时，P与正方形边碰撞次数为14.
事实上，在新课程理念下的高考越来越重视学生能力的培养，注重知识的生成和迁移，注重知识的广度和深度，注重思想方法，试题灵活程度越来越强，这就对教师的教学提出了更高的要求，在教学中能真正做到让学生成“主人”！
创新方向五：高等数学与初等数学的衔接型
将高等数学问题下放，用初等方法来解决高等与初等数学的衔接问题，这是近年高考中的一个特点．
例6．（2010年福建理科）对于具有相同定义域D的函数和,若存在函数为常数),对任给的正数m,存在相应的,使得当且时,总有,则称直线为曲线和的“分渐近线”.给出定义域均为D=的四组函数如下:
①, ; ②,;
③,; ④,.
其中, 曲线和存在“分渐近线”的是( )
A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④
【答案】C
【解析】和存在分渐近线的充要条件是时，-→0．对于①，=,当＞1时便不符合，所以①不存在；对于②=，= QUOTE 2x-3x 肯定存在分渐近线，因为当＞1时，-→0；对于③= QUOTE x2+1x ，= QUOTE xlnx+1lnx ， ，设且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；④当时，，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是②④选C
评注：本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，-→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．
例7.（福建2011年理科）设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量以及任意∈R，均有
则称映射f具有性质P。
先给出如下映射：
①
②
③
其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）
解析：①
具有性质P的映射,同理可验证③符合，②不符合,答案应填①③.
创新方向六： 图形信息型 在日常生活和生产中经常会出现图表问题，如每日的股市曲线图、菜场上的价目表、报纸上的有关国民经济的统计数据表等等，都是高考命题的源泉.图形中隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系，对于图形的分析要能慧眼独具，不为浮云遮望眼，透过现象看本质.看清图形的本质，问题解决也就有了基础.例8.（2012年福建文科）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____16________。
考点：演绎推理。
难度：中。
分析：本题考查的知识点为演绎推理，理解题意，直接计算最小值即可。
【解析】题目要求联通所有的城市，且费用最小，则首先连接费用最小的城市，连接方法如下：
(1)连接，此时联通两个城市，费用为；
(2)再连接，此时联通三个城市，费用为；
(3)再连接，此时联通四个城市，费用为；
(4)再连接，此时联通五个城市，费用为；
(5)再连接，此时联通六个城市，费用为；
(6)再连接，此时联通七个城市，费用为。
所以铺设道路的最小总费用为16。
评注：本题方法上没有形式化的套路可循。但是，只要能从文字和图形中提取正确的信息，寻找问题的实质，探求解题的方案，就可以得以解决。本题对考生的推理论证能力、抽象概括能力要求比较高，能够较好考查考生的数学能力素养。
创新方向七： 综合知识型 综合知识型试题包括数学学科内各个章节知识交汇及跨学科综合两种类型，考查考生利用数学知识和思想方法分析问题和解决问题的能力，具有良好的区分度.命制综合知识型试题目的是方便重点高校挑选优秀考生.
例9.（2011年福建理科）已知函数fx
①△ABC一定是钝角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是
A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④
【解析】,
不妨设,则,，,△ABC一定是钝角三角形;
若,则
即,而,
则，即，与函数为单调增函数矛盾.
故只有①④判断正确，答案应选B。
评注：数学学科内各个章节知识交及学科间综合创新题注重了数学的现实性与时代性，关注生活、关注热点，命题呈现题意新颖、题型创新的特点，通常用到的数学知识有函数、数列、不等式、向量、概率等.
复习建议：
培养学生的推理和创新能力是一项长期的工作，它不可能在一天，几天，甚至几个月内完成，需要我们持之以恒，循序渐进。在高考复习建议：
1.化整为零，对于推理和创新题的复习要渗透到各个考点。比如我们复习集合、函数、数列，这些知识点创新题材比较多，能结合有关这些知识的创新题效果就很好了。比如：在复习数列通项公式可以结合
例10.（湖北2012年文科数学17题）传说古希腊毕拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项； (5030)
（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示） ()
【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故从而由上述规律可猜想：（为正整数）， 故,即是数列中的第5030项.
【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.复习中需注意类比推理以及创新性问题的考查.
2. 注意收集有关创新题素材，研究其它省市近几年高考创新题,并以这些题做为母题，进行改造，再重新。比如今年理科12：
例11.（2012年福建理科）对于实数，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_____。
分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数。
【解析】由题可得，
可得，,
且
所以时, ，所以。
该题母题为2010年高考全国课标卷理11，
已知函数，若互不相等，且，则的 取值范围是（ ）
A. B. C. D．
试题通过引入运算“*”定义函数，达到了对题的实质改造，并把对数模型改造为二次函数，从而隐含条件“bc=1(设a<b<c)”改变为“ QUOTE ”借此增加问题的思维度。如果能够把母题思想方法给学生讲解透彻，对解这道题应该帮助很大。
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