2020年统计与概率
时间：2020-11-14 04:44:51 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
10．【2012 高考新课标文 18】（本小题满分 12 分）
某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. （Ⅰ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位元)关于当天需求量 n（单位枝，n∈N）的函数解析式.
（Ⅱ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位枝），整理得下表
日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位元）的平均数； (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率. 【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题. 【解析】（Ⅰ）当日需求量 17 n 时，利润 y=85； 当日需求量 17 n 时，利润 10 85 y n ， ∴ y 关于 n 的解析式为10 85, 17, ()85,
17,n ny n Nn ； （Ⅱ）(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元，20 天的日利润为 65 元，16 天的日利润为 75 元，54 天的日利润为 85 元，所以这 100 天的平均利润为 1(55 10 65 20 75 16 85 54)100 =74； (ii)利润不低于 75 元当且仅当日需求不少于 16 枝，故当天的利润不少于 75 元的概率为 0.16 0.16 0.15 0.13 0.1 0.7 p
1【2102 高考北京文 17】（本小题共 13 分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位吨）
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 （Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率； （Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a , , 其中 a＞0， c b a =600。当数据 c b a , , 的方差2s 最大时，写出 c b a , , 的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值。
（注
] ) ( ) ( ) [(12 22212x x x x x xnsn ，其中 x 为数据nx x x , , ,2 1 的平均数）
考点定位】此题的难度集中在第三问，基他两问难度不大，第三问是对能力的考查，不要求证明，即不要求说明理由，但是要求学生对方差意义的理解非常深刻。
（1）厨余垃圾投放正确的概率约为 “ 厨余垃圾” 箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量=23==+ +400400 100 100 （2）设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确。
事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即 P( A ),约为+ +=0.7400 240 601000。所以P(A)约为 1－0.7=0,3。
（3）当 600 a ， 0 b c 时，2S 取得最大值.因为1( ) 2003x a b c ， 所以2 2 221 [(600200) (0 200) (0 200) ] 80003S ．
1【2012 高考湖南文 17】（本小题满分 12 分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13至16件 17 件及以上 顾客数（人）
x
30 25 y
10 结算时间（分钟/人）
1 5 2 5 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％. （Ⅰ）确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．． 2 分钟的概率.（将频率视为概率）
【解析】（Ⅰ）由已知得 25 10 55, 35, 15, 20 y x y x y ，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为: 1 15 5 30 2 25 5 20 3 109100 (分钟). （Ⅱ）记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，1 2 3, , A A A 分别表示事
件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为 5 分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率，得 1 2 315 3 30 3 25 1( ) , ( ) , ( )100 20 100 10 100 4P A P A P A . 1 2 3 1 2 3, , , A A A A A A A 且 是互斥事件， 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A A A P A P A P A 3 3 1 720 10 4 10 . 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为710. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表 和 100 位 顾 客 中 的 一 次 购 物 量 超 过 8 件 的 顾 客 占 55 ％ ， 知25 10 100 55%, 35, y x y 从而解得 , x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过．．． 2 分钟的概率. 1【2012 高考山东文 18】(本小题满分 12 分) 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为 1， (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率. 【答案】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种红 1 红 2 ，红 1 红 3 ，红 1蓝 1 ，红 1 蓝 2 ，红 2 红 3 ，红 2 蓝 1 ，红 2 蓝 2 ，红 3 蓝 1 ，红 3 蓝 2 ，蓝 1 蓝 2 .其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况，故所求的概率为310P . (II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的 10 种情况外，多出 5 种情况红 1 绿 0 ，红 2 绿 0 ，红 3 绿 0 ，蓝 1 绿 0 ，蓝 2 绿 0 ，即共有 15 种情况，其中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况，所以概率为815P . 1【2012 高考全国文 20】（本小题满分 12 分）（注意在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）
乒乓球比赛规则规定一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（Ⅰ）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率； （Ⅱ）求开始第 5 次发球时，甲得分领先的概率。
【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论。
解记iA 为事件“第 i 次发球，甲胜”，i=1,2,3，则1 2 3( ) 0.6, ( ) 0.6, ( ) 0.4 P A P A P A 。
（Ⅰ）事件“开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 ”为1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A A A A A A A ，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) P A A A A A A A A A 0.6 0.4 0.6 0.4 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.352 。
即开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352 （Ⅱ）五次发球甲领先时的比分有
3:1,4:0 这两种情况 开始第 5 次发球时比分为 3:1 的概率为
2 2 1 1 2 22 2 2 20.6 0.4 0.6 0.6 0.4 0.4 0.1728 0.0768 0.2496 C C C C
开始第 5 次发球时比分为 4:0 的概率为
2 2 2 22 20.6 0.4 0.0576 C C
故求开始第 5 次发球时，甲得分领先的概率为 0.2496 0.0576 0.3072 。
【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用。情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时间，容易丢情况。
1【2012 高考重庆文 18】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 6 分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3 次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率。
独立事件同时发生的概率计算公式知1 1 2 2 1 1 2 2 3( ) ( ) ( ) p D p A B A B p A B A B A
1 1 2 2 1 1 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p A p B P A P B p A p B P A P B p A 2 2 2 22 1 2 1 1 4( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 27
1【2012 高考天津文科 15】
（本小题满分 13 分）
某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6 所学校对学生进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
（II）若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取结果； （2）求抽取的 2 所学校均为小学的概率。
【解析】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为 21:14:7 3:2:1
得从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1
（2）（i）设抽取的 6 所学校中小学为1 2 3, , A A A ，中学为4 5, A A ，大学为6A；
抽取 2 所学校的结果为1 2 1 3 1 4 1 5 1 6{ , },{ , },{ , },{ , },{ , } A A A A A A A A A A ， 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }, A A A A A A A A A A A A A A
4 5 4 6 5 6{ , },{ , },{ , } A A A A A A 共 15 种；
（ii）抽取的 2 所学校均为小学的结果为1 2 1 3 2 3{ , },{ , },{ , } A A A A A A 共 3 种
抽取的 2 所学校均为小学的概率为3 115 5
1【2012 高考陕西文 19】（本小题满分 12 分）
假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计如下
（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率； （Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了 200 小时，试估计该产品是甲品牌的概率。
【解析】（Ⅰ）甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为5 20 1100 4 ，用频率估计概率，所以，
甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为14．
（Ⅱ）根据抽样结果，寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个，其中甲品牌产品
是 75 个，所以在样本中，寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是75 15145 29 ，
用频率估计概率，所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为1529． 1【2012 高考江西文 18】（本小题满分 12 分）
如图，从 A 1 （1,0,0），A 2 （2,0,0），B 1 （0,1,0,）B 2 （0,2,0），C 1 （0,0,1），C 2 （0,0,2）这6 个点中随机选取 3 个点。
（3）求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； （4）求这 3 点与原点 O 共面的概率。
【解析】（1）总的结果数为 20 种，则满足条件的种数为 2 种所以所求概率为2 120 10
（2）满足条件的情况为1 2 1( , , ) A A B ,1 2 2( , , ) A A B ,1 2 1( , , ) A A C ,1 2 2( , , ) A A C ,1 2 1( , , ) B B C , 1 2 2( , , ) B B C ,所以所求概率为6 320 10 .
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