统计计算方法复习题（11页）
时间：2020-10-23 12:27:33 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
统计计算方法复习题
一、填空题 :
XI、若随机变量的概率密度为,则的方差为。XXfxcex(),,,,,01
PX(),,12 、若服从二项分布 B(5000,0.001), 则由泊松定理知 。
X
PXX(|),,,833 、若服从均值为 5 的指数分布，则 。
X
N(t)PN(())20,,4 、设服从参数为 2的泊松过程,则 。
,10x5、设的概率密度为,则其分布函数的逆函数为 。Xfxex()10,0,,
二、选择题 :
1,2,3,4,56、能产生等可能取值为中一个数的 MATLAB?序是()
floor(5*rand) (C)floor(6*rand) (D)randperm(5) (A) ceil(5*rand) (B)
7、 在MATLAB^ ,表示二项分布的分布函数的是()(A) binopdf (B) binocdf (C) nbinpdf (D) nbincdf
8、 能产生均值为5的指数随机数的MATLAB?序是()(A) -5*1 n(rand) (B) -log(rand)/5 (C) -5*log(rand) (D) 5*log(rand)
9、 在MATLAB^ ,表示正态分布的分位数的是()(A) normcdf (B) norminv (C) normpdf (D) normrnd
ZN~(,)01||Z10 、 , 则的方差为( )
222(A) 1 (B) (C) , (D) ， 11,,,
三、计算题 :
,xUU~(,)01,log()U11 、设，X的分布函数为证明：的 Fxex(),,,10
Fx(). 分布函数也是
,2,xIedx,12 、积分， (1) 利用数值方法给出积分的计算结果 ; ,,,
(2) 利用 Monte Carlo 方法编?计算积分。
13、设的概率分布为 X
PXPXPX().,().,().,,,,,,103205302
写出利用舍选抽样法产生随机数的算法步骤和 MATLAB?序。14、设的概率分
布函数为 X
, F(x),1,exp(,,x),x,0
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写出逆变换法产生随机数的算法步骤和 MATLAB?序。
15、 某工厂近 5 年来发生了 63 次事故，按星期几分类如下
星期 一 二 三 四 五 六 次数() 9 10 11 8 13 12 Ni
,,0.10 问:事故的发生是否与星期几有关 ,( 注意不用编?，显著性水平 )
22,( 附表: 其中表示自由度为的随机变量在点的分布函数值， ,(y)ynn
22,(.).,1666701069,) ,(1.6667),0.052365
16、 某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔 1 5分钟观察一次计 算机的运行状态，收集了 24个小时的数(共作97次观察) ，用 1 表示正常状态，用 0 表示不正常状态，所得的数据序列如下 :
11100100111111100111101111110011111111100011011011110110110101111011 1011
1101111110011011111100111
设Xn为第n(n=1,2,…,97)个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏
链，从上数据序列中得到 :96 次状态转移情况是 : 0?0:8 次; 0?1:18 次;
1?0:18 次; 1?1:52 次。求
一步转移概率矩阵 ;
已知计算机在某一时段 (15 分钟)的状态为 0，问在此条件下，从此时段
起，该计算机能连续正常工作 45分钟(3 个时段)的条件概率 .
： X,n,0)n,,17 、设是具有三个状态 0，1，
： X,n,0)n
3/41/40,,,,1 ，初始分布为 P,1/41/21/4P(X,i),,i,0,1,2,,03,,03/41/4,, 求 :;; (1)P(X,0,X,1,X,1)(2)P(X,1,X,1|X,0)024240
. (3)P(X,0,X,0,X,0,X,0|X,0)12340
答案:
一、填空题 :
2ee,,311,1,5,4e1 、U 2、 3、 4、 5、 6ee,,,,ln(1),01yy2(1)e,10
二、选择题 :
6、A 7、B 8、C 9、B 10、C
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三、计算题 :
,log()U,,log()1UU1,U11 、解: 注意到与同分布， 从而与同分布， ,,log()1U 设的分布为，于是 Fu()1
,uFuPUuPUe()(log())(),,,,,,,11 1
u,0 显然当时，有 Fu(),,01 ,,uuu,0FuPUee()(),,,,,11 当时，有 1 ,x,log()U 从而的分布函数也是 Fxe().,,1
yx,12 、(1) 解: 令，则
2
22yy,,,,11122 Iedyedy,,,,,2,,,,,,222,
,dx12dyydx,,,(2) 令，则，于是 y,21 ，x()1 ，x ,1211,x2Iedxdy,,,,exp(())221 ,,200yy
MATLAB?序如下：
N=5000; y=rand(N,1);( 或 y=unifrnd(0,1,N,1))
for i=1:N
In t(i)=2*exp(-(1/y(i)-1F2)/y(iF2;
end
I=mean(Int);
13、解: 令为取值为 1、2、3 的离散均匀分布，则概率分布为 Y
1 则 c=0.5/(1/3)=1.5 PYkk(),,,.,,,1233 的随机数产生的舍选抽样法算法步骤如下 : X
STEP1产生的随机数和均匀随机数 U; Y
,P(X,Y)/0.5STEP2:若 U,贝U令 XY,;否贝U返回 STEP1
MATLAB?序如下：
p=(0.3,0.5,0.2);
Y=floor(3*rand+1); U=rand;
while (U>p(Y)/0.5)
Y= floor(3*rand+1); U=rand;
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end
X=Y;
xU,,,(log(1)/),14 、解: 令 可解得 Ux,,,1exp(),,
1,xU,,(log()/),U1,U 因为与同分布,贝。
算法步骤为 :
STEP1产生均匀随机数U;
XU,,(log()/)(log(1)/),,U,,STEP2: 令或,贝得到
的随机数。
X
MATLAB?序：
alpha=5;beta=3; U=rand;
X=(-log(U)/alphaF(1/beta);
115、解: 检验假设为 HPXipi,,,, ？:(),1,2,,60i6 n,63, 使用卡方检验统计量
n2()N,266i(),Nnp26ii,,,,1.6667 ,,nnpii,,11i
6
22 因, 计算得 ,,~(5)
22， PP(1.6667)1(1.6667)10.10690.8931,,,,,,,,,
由 P 值为 0.8931 ，说明不能拒绝原假设，即不认为发生事故与星期几有关。
16、 (1) 一步转移概率可用频率近似地表示为 :
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88PPXX,,,,,0|0, ，，001nn，， 81826
1818PPXX,,,,,0|1 ，，011nn，， 81826 1818PPXX,,,,,1|0, ，， 1 0 1 nn，， 1 85270 5252PPXX,,,,,1|1 ，， 1 1 1 nn，， 1 85270
,,2626,, 所以一步转移矩阵为 :P,; 1852,,,,7070,, (2) 某一时段的状态为 0，定义为初始状态，即，所求概率为 : X,00 P(X,1,X,1,X,1|X,0)1230
,P(X,1|X,0)P(X,1|X,0,X,1)P(X,1|X,0,X,1,X,1) 102013012 ,PPP,0.382011111
17、首先由C-K方程得两步转移矩阵为：551 ,, 81616 ,,(2) 2531PP,,16216,,
，， 16164
022，，，，，， 5511 1 0,1,1PXXXpPP,,,,, ，， ,，， ,,02400111316296
，， ,, 24001111623222，，，， 5512
，， ,, 240011116232
3
3 0,0,0,0|0PXXXXX,,,,, ，，,,12340
371111111, ，, ，，，，，，， ,PPPPPPPP0111111001122110 42244444256 第 5 页共 10 页
一、填空题 :
,5x1 、若随机变量的概率密度为 ,则的方差为 。
XXfxcex(),,,0
PX(),,12 、若服从二项分布 B(500,0.01), 则由泊松定理知 。
X PXX(|),,,2001003 、若服从失效率为 0.05 的指数分布，则 。
X N(t)PN(())20,,4 、设服从参数为 0.5 的泊松过程 , 则 。
1f(x),,x,R5 、设的概率密度为 , 则其分布函数的逆函数 X2,(1 ， x) 为。
二、选择题 :
1,2,3,46、能产生等可能取值为中一个数的 MATLAB?序是()(A)
ceil(5*rand) (B) ceil(4*rand) (C)floor(4*rand) (D)randperm(4)
7、 在MATLAB^ ,表示负二项分布的概率密度函数的是()(A) binopdf (B) binocdf (C) nbinpdf (D) nbincdf
8、 能产生失效率为5的指数分布随机数的MATLAB?序是()
(B) -log(rand)/5 (C) -5*log(rand) (D) 5*log(rand) (A) -5*ln(rand)
U(0,1)9、在MATLAB^,不可能产生一个均匀分布随机数的是哪个，()(A) unifrnd(0,1) (B) unidrnd(1,1,1) (C) unifrnd(0,1,1) (D) rand(1)
110、设时齐Markov链，其一步转移概率矩阵为，
{X,n,1,2, ？}P,n,,213,, 则该过?的 5步转移概率矩阵为 ( )
..1111, ，，,,,,,555511,,,,1112113333,,,,(A) (B) (C)
(D) ,,,,,,1121,,,,1111 ，,, ，,,,,,,
三、计算题 :
,,x,,X11 、设X的分布函数为证明：服从区Fxex(),.,,,10FXe(),,1 间(0,1)上 的均匀分布。
22xy，，,,,212 、 (1) 计算概率积分 ; Iexy,dd,,,,,,
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(2)利用Monte Carlo方法编程计算积分的MATLAB?序。I
23x13、利用逆变换方法产生概率密度函数的随机数，写出推fxx(),11,,,,2 导过程和MATLAB?序。
14、 利用舍选抽样法产生概率分布为
1 2 3 4 5 6 X
0.15 0.1 0.2 0.15 0.3 0.1 P
的随机数的算法步骤和 MATLAB?序。
15、 考虑随机变量，其可能取值为 1,2,3,4,5 ，我们检验假设随机变量是等可 能取这些值，如果样本大小为 50，观测分别为 12,5,19,7,7 ，利用检验方法说明该 数据
22, 是否来自离散均匀分布。
(附表： 其中表示自由度为的分布在点的 ,(y)ynn
22 分布函数值， )) 。
,(12.8),0.9747,(12.8),0.9877,54
16、 (1) 简述 Metropolis 准则;
1, ？n(2) 若要产生密度的随机数，设当前状态为，从 xxxx,(,,,) ？px()12n
PXxPXxXxji()(|,),,,,, 中等可能取一坐标，按分布函数产生随 ijj 机数，则为下一个状态，证明 ： 吉布斯 (Gibbs)yxxxxx,(,,,,,,) ？？
x111iin, ，
抽样法的转移概率 ; ,(,)xy,1
(,)0BYy,(3) 设随机变量和均在区间。设在下的条件密度为 XYX
,xyXx, 及下的条件密度为 YfxyCyexB(|)(),,,,0fyx(|),
CxeyB(),0,,,xy(,)XY ，利用吉布斯抽样法给出随机向量的随机数程序 答案:
CxeyB(),0,,
一、填空题 :
,,5,1,55e1,ee1 、2 2、 3、 4、 5、 tan(y,),0,y,1,2 二、选择题:
6、B 7、C 8、C 9、B 10、A
三、计算题 :
YFX,(),y,1y,011 、记 当时，当时， Fy()0;,Fy()0;,YY
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,,,,XX 当时 ,01()()(1)(1),,,,,,,,,,yFyPYyPeyPeyY
1 ln(1),,y1,x,,,,,,,,,PXyexy(ln(1))d,(8 分 ),0,
0,1,y,,
,YFX,()U(0,1). 所以 故服从 Fyyy(),01,,,,,Y
,1,1.y,,
,xryrDrrcos,sin,{(,)|02,0}.,,,,,,,,,,,,,12 、(1) 令
22rr2,,,2,,r22,,,,2()2.,,Idrerdred ,,,0002
222xyx,,,,,,2222(2) IedxedyIIedx,,,,. 其中 11,,,000
1112 令 ydydxdxydyx,,,,,,,,,,1.2xxy ，， 1(1)
Matlab 程序为 :
N=10000;y=rand(N,1); for i=1:N
l1(i)=exp(-(1/(y(i)-1F2/2)*y(iF2;
end
l=(mea n( 11)八2;
x,,11x13 、当时， Fxtdttx,,, ，(),,,122322,1
11133Fxu(),, 即解得 令 xu,,(21).xu ，,,22
Matlab 程序 :
X=(2*ra nd-1F(1/3);
p0.31X,,,1.8.c14 、取则 pPYjj,,,, ？ (),1,2,,6,Yp1/66Y
算法步骤为：第一步：产生随机数U1和U2;第二步：令丫=1 nt(6U1);
PXYPXY()(),,,,第三步：若U2时，令X=Y;否则返回。cpO.3Y
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Matlab 程序 ：
P=[O.15,O.1,O.2,O.15,O.3,O.1]; Y=floor(6*rand+1);U=rand; while (U>P(Y)/O.3)
Y=floor(6*rand+1); U=rand; end
X=Y;
115、原假设为 ： pPXijn,,,,, ？(),1,2,,5,5O.i5
25()Nnp,2ii 检验统计量为 ,,,12.8.,np,i1i
2222 由于 则 P值为 PP(12.8)1(12.8)0.0123,,,,,,,,,,~(4),
？xnn因 P
？xnn
16、(1) 设马尔可夫链 y 是按照某概率原则产生的状态，的 {},1,2,,xn,
下一步状态以概率接受状态，即 ; 以概率保持不变，即 xy,x,n ， 1n， 1
。
xx,nn ， 1
(2)采用H-M算法有
1()pyqxyPXxXxji(,)(|,),,,,,, ijjnnPXxji(,),,jj
则转移概率为
px(),,py(),,nPXxji(,),,,,pyqyx()(,)jj,,,(,)min,1min,1xy,,,,py(),,pxq
xy()(,),,px() ,,nPXxji(,),,jj,,
,,pypx()(),,mi n,11.(15) 分,,pxpy()(),.
(3) Matlab 程序为 :
N=10000; B=50;
X=zeros(N,1);Y=zeros(N,1); X(1)=unifrnd(0,B); Y(1)=unifrnd(0,B); for i=2:N
X(i)=-log(rand)/Y(i-1);
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Y(i)=-log(rand)/X(i);
end
或
X0=unifrnd(0,B); Y0=unifrnd(0,B);
X=-log(rand)/Y0;
Y=-log(rand)/X; 第 10 页共 10 页
