北航数值分析报告大作业第八题
时间：2020-11-12 20:22:46 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
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北京航空航天大学
数值分析大作业八
学院名称
自动化
专业方向
控制工程
学
号
学生姓名
许阳
教
师
孙玉泉
日
期
2014 年 11月 26 日
标准
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一．题目
关于 x , y , t , u , v , w 的方程组 (A.3)
0.5cost
u
v w
x
2.67
t
0.5sin u
cosv
w
y 1.07
(A.3)
0.5t u
cosv w
x
3.74
t
0.5u
v
sin w
y
0.79
以及关于 z , t , u
的二维数表（见表 A-1 ）确定了一个二元函数 z=f(x , y)。
表 A-1
二维数表
t
z
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
u
0
-0.5
-0.34
0.14
0.94
2.06
3.5
0.2
-0.42
-0.5
-0.26
0.3
1.18
2.38
0.4
-0.18
-0.5
-0.5
-0.18
0.46
1.42
0.6
0.22
-0.34
-0.58
-0.5
-0.1
0.62
0.8
0.78
-0.02
-0.5
-0.66
-0.5
-0.02
1.0
1.5
0.46
-0.26
-0.66
-0.74
-0.5
1. 试用数值方法求出 f (x , y) 在区域 D {（ x, y) | 0 x 0.8,0.5 y 1.5} 上的
近似表达式
k k
p(x, y) crs xr ys
i 0 j 0
要求 p(x , y)以最小的 k 值达到以下的精度
10
20
[ f (xi , yi ) p( xi , yi )] 2
10 7
i 0
j 0
其中 xi 0.08i, yi
0.5 0.05 j 。
2. 计算 f ( xi*
, y*j ), p( xi* , y*j
) (i=1,2, ,8 ; j=1,2, ,5) 的值，以观察 p(x , y) 逼
近 f (x , y)的效果，其中 x*
i
y*
0.5 0.2
j 。
i
0.1 ,
j
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二．算法设计
（一）总体思路
k k
1.题目要求 p(x, y) crs x r ys 对 f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘
i 0 j 0
拟合。
( xi , yi ) 与 f (xi , yi ) 的数表由方程组与表 A-1 得到。
2. f (xi* , y*j ) 与 1 使用相同方法求得， p( xi* , y*j ) 由计算得出的 p(x,y)直接带入 ( xi* , y*j ) 求得。
（二）算法实现
( xi , yi ) 与 f ( xi , yi ) 的数表的获得
对区域 D {（ x, y) | 0 x
0.8,0.5 y 1.5} 上的 f (x , y)值可由方程组及二维
数表得到。将区域 D 上的 ( xi
, yi ) 分别回代于方程组 (A.3)，成为关于 t,u,v,w 的 4
元非线性方程组，解出每个 ( xi , y j ) 对应的 t,u。再通过表 A-1 进行插值近似，得
到相应的 z 值。对应的 z 即为 D 区域上 ( xi , yj ) 对应的 f ( xi , y j ) 。从而得到 (xi , y j )
与 f (xi , yi ) 的数表。
4 元非线性方程组求解
(xi , yi ) 代入 (A.3) 后，原方程组变为关于 t,u,v,w 的 4 元非线性方程组。
观察到
方程组中方程形式较为简单，易于对变量 t,u,v,w 求偏导数，故而选用 Newton 法
对方程组求解。
计算方程组矩阵为：
0.5cost
u v w xi
2.67
t
0.5sin u
cosv
w
yi 1.07
F (t, u, v, w)
cosv w
xi
3.74
0.5t u
t
0.5u
v sin w
yi
0.79
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计算方程组偏导数矩阵为：
0.5sin t
1
1
1
1
0.5 cosu
1
1
F ' (t, u,v, w)
1
sin v
1
0.5
1
0.5
1
cosw
迭代公式为：
