湖北省十堰市2020届高三元月调研考试文科数学试题 （20页）
时间：2020-11-12 00:17:04 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
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十堰市2020年高三年级元月调研考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出集合，再根据交集的定义，即可得解.
【详解】解：因为，
.
故选：D
【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.
2.复数上的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到计算虚部得到答案.
【详解】，所以的虚部为.
故选：
【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.
3.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
由面面垂直的性质定理、线面垂直的概念，结合充分、必要条件，判断出正确选项.
【详解】若，根据面面垂直的性质定理可知；若，则由可得.所以“”是“”的充要条件
故选：C.
【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
4.某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（ ）
A. 甲景区月客流量的中位数为12950人
B. 乙景区月客流量的中位数为12450人
C. 甲景区月客流量的极差为3200人
D. 乙景区月客流量的极差为3100人
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.
【详解】根据茎叶图的数据：
甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.
甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.
故选：
【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.
5.执行下边的程序框图，若输入的的值为5，则输出的的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】执行程序框图：依次为，，，，∵
∴输出的的值为4.
故选：
【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生对于程序框图的理解能力.
6.设函数若是奇函数，则=( )
A. -3 B. -9 C. -1 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据函数是奇函数可得，又，据此即可求出结果.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
又，所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及利用分段函数求函数值，属于基础题.
7.已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. 16 B. 19 C. 20 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】
利用，，成等比数列求解
【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.
故选：B
【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题
8.将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
变换得到，根据平移得到，计算得到答案.
【详解】，所以，
所以，则.
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的平移，变换是解题的关键.
9.已知抛物线的焦点为，，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断线段的中点到其准线的距离是，再计算到轴的距离.
【详解】，所以线段的中点到其准线的距离是
由题意可知，则线段的中点到轴的距离是.
故选：
【点睛】本题考查了抛物线上的点到准线的距离问题，意在考查学生的转化能力和计算能力.
10.已知函数，.若，，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件求出的值域，与的值域，由，，，可得两值域的包含关系，即可求得参数的取值范围.
【详解】解：因为，，所以的值域为.
因为，所以在上的值域为，依题意得，则
解得.
故选：C
【点睛】本题考查函数方程思想的综合应用，属于中档题.
11.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为平方厘米，半球的半径为厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积，列出的表达式，再求出体积，解不等式即可．
【详解】解：设圆柱的高度与半球的半径分别为，，则，则，
所以酒杯的容积，
又，所以，
所以，解得，
故选：．
【点睛】考查了组合体的体积和表面积计算，属于中档题．
12.双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
设：，：，联立方程得到，再计算，，利用余弦定理得到，计算得到答案.
【详解】记为坐标原点.由题意可得，不妨设：，：
则直线：.联立，解得
则故，.因为，所以
所以，，则.
因为，所以，
所以，整理得，则
解得.
故选：
【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将问题转化为导函数在上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出的取值范围.
【详解】由题意可知，即对恒成立，
所以，所以即.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数，则在指定区间上恒成立.
14.第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 _____．
【答案】.
【解析】
【分析】
首先根据题意，列举出从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况，共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，根据古典概型概率计算公式即可求结果.
【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（《南方车站的聚会》，《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》），（《春江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》），（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春潮》，《抵达之谜》），共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，故所求概率为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了古典概型概率的计算，属于基础题.
15.根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由等面积法求得，利用向量几何意义求解即可.
【详解】由等面积法可得，依题意可得，，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.
16.在数列中，，且
（1）的通项公式为________；
（2）在，，， ，这2019项中，被10除余2的项数为________.
【答案】 (1). (2). 403
【解析】
【分析】
（1）等式两边同除构造数列为等差数列即可求出通项公式；
（2）利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解
【详解】（1）因为，所以
，即，则为等差数列且首项为1，差为2，所以
，故
（2）因为，所以当n能被10整除或n为偶数且能被5整除时，被10除余2，所以，故被10除余2的项数为.
故答案为：；403
【点睛】本题考查数列的通项，考查构造法，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额（元）
人数
10
15
20
15
20
10
（1）求购买金额不少于45元的频率；
（2）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元
少于60元
合计
男
40
女
18
合计
附：参考公式和数据：，.
附表：
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
【答案】（1）（或0.5）；（2）列联表见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
【解析】
【分析】
（1）根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率；
（2）完善列联表，计算出跟参考数据比较得出结论.
【详解】解：（1）购买金额不少于45元的频率为.
（2）列联表如下：
不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
，
因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率计算问题，属于基础题.
18.设函数，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知，.
（1）若，求B；
（2）若，求的面积.
【答案】(1) . (2)
【解析】
【分析】
（1）运用二倍角正余弦公式和辅助角公式，化简f（x），并求得，再利用正弦定理求得，可得结论；
（2）由三角形的余弦定理得结合面积公式，求得b，c的关系，即可得到所求三角形的周长．
【详解】（1），
因为，所以，即.
因为，所以，
因为，所以或，
又，所以.
（2）由余弦定理，可得，
即，解得（负根舍去），
故的面积为
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的图形和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，，分别为棱，上一点，，且平面.
（1）证明：为的中点.
（2）若四棱锥的体积为，求正方体的表面积.
【答案】（1）见解析；（2）24
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，可证，再由线面平行得到，又，所以四边形为平行四边形，即可得证.
（2）设棱长为，易知到平面的距离为，由求出的值，即可求出表面积.
【详解】解：（1）证明：取的中点，连接
因为，所以为的中点，又为的中点，所以.
因为平面，平面，平面平面.
所以，即.
又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.
（2）设，则，，的面积分别为，，，
易知到平面的距离为，所以，
解得，故所求正方体的表面积为.
【点睛】本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.
20.已知椭圆的焦距为，短轴长为.
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于、两点，求以线段为直径的圆的标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出和的值，即可求出椭圆的方程；
（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点和，即可得出所求圆的标准方程.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，，
所以，，，所以的方程为；
（2）设点、，联立，消去，得
由韦达定理得，，
所以，线段的中点坐标为.
，
所以，所求圆的标准方程为.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求解能力，属于中等题.
21.已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）若对恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）,
（2）
【解析】
【分析】
（1）求导可得,由题,切线方程斜率为,解得,代回函数求得,即,可求得；
（2）如果求对恒成立,即求,利用导数判断单调性求得最小值即可求解不等式
【详解】解：（1）,
因为在处的切线方程为,即,此时切线斜率,
则,解得,
所以,
所以,则,解得
（2）由（1）知,
设函数,则,所以在为增函数,因为,
令,得；令,得,
所以当时,；当时,,
所以,
从而,即
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求值,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查转化思想,考查运算能力
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）求，，的值；
（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.
（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.
【详解】（1）由，得，则，即.
因为，，所以.
（2）将代入，得.
设，两点对应的参数分别为，，则，.
所以.
【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.
23.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围，
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式解集；
（2）利用绝对值三角不等式求出最大值，得出关于的不等式，求出解集即可．
【详解】（1）当时，，解得；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则.
综上，不等式的解集为；
（2） ，
若对任意，不等式恒成立，
则，解得或.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
