北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一(含答案)（13页）
时间：2020-11-27 13:10:16 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一
数学试题（文）
考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，，则（ ）
A． B． C．3 D．
4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是
A．； B．； C．； D．
5.若函数与的对称轴完全相同，则函数在哪个区间上单调递增
A． B． C． D．
6.若函数的最小值为，则实数的取值范围为
A．或； B．或；
C．或； D．或；
7．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
A． B．C． D．
8．已知直线 QUOTE 与双曲线的斜率为正的渐近线交于点，曲线的左、右焦点分别为 QUOTE QUOTE ，若 QUOTE ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 或 B． C．D．
第二部分（非选择题 共110分）
填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知函数，则2.
10．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为6．
11．已知实数，满足约束条件，则的最大值___2____．
12．如果，，，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，，， QUOTE 是抛物线C的焦点，若，则___20______．
13．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为__________．
14．已知四棱椎中，底面是边长为2的菱形，且，则四棱锥体积的最大值为_______．
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．已知数列{}是等差数列，首项，且是与的等比中项．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设，求数列{}的前n项和．
解：(1)设数列的公差为d，a1＝1，且是与的等比中项．
，
或
当时，，是与的等比中项矛盾，舍去.
数列的通项公式为
(2)
16.已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）在中，内角所对的边分别是．若，且面积，求的值．
解：（1）
由已知得
又
即
17．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
销售单价（元）
9
9.5
10
10.5
11
8
销售量（件）
11
10
8
6
5
14.2
（1）根据1至5月份的数据，求出关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．
参考公式：回归直线方程，其中，参考数据：．
解：（1）解析：（1）因为，
·
所以，则，
于是关于的回归直线方程为；
（2）当时， ，则
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；
（3）令销售利润为，则，
因为，
当且仅当，即时， 取最大值．
所以该产品的销售单价定为7．5元/件时，获得的利润最大
18.如图，在四棱锥中，，
，，.
（１）求证：；
（２）若，，为的中点．
（ = 1 \* roman i）过点作一直线与平行，在图中画出
直线并说明理由；
（ = 2 \* roman ii）求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．
证明：(1)取中点,连接,
,为中点
又,为中点
又
面
又面
(2)( = 1 \* roman i)取中点,连接,,则，即为所作直线
理由如下:
在中、分别为、中点
,且
又,
且
四边形为平行四边形.
( = 2 \* roman ii),,
面
又在中,,,
又,
面
方法一：
方法二：在中，为中位线
方法三：
…
19. 已知函数f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然对数的底数，e≈2.718…)．
(1) 求函数f(x)的极值；
(2) 若函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(3) 若函数h(x)＝eq \f(f（x）＋g（x）,x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b，求b的最小值．
(1) f(x)＝(3－x)ex，f′(x)＝(2－x)ex，
令f′(x)＝0，解得x＝2，列表如下：
所以当x＝2时，函数f(x)取得极大值，极大值f(2)＝e2，无极小值．
(2) 由y＝f(x)g(x)＝(3－x)(x＋a)ex，
得y′＝ex[－x2＋(3－a)x＋3a－2x＋(3－a)]＝ex[－x2＋(1－a)x＋2a＋3]．
因为ex>0，令m(x)＝－x2＋(1－a)x＋2a＋3，
所以函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增等价于对任意的x∈[1，2]，函数m(x)≥0恒成立，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（1）≥0，,m（2）≥0，))解得a≥－3，
故a的取实范围是[－3，＋∞)．
(3) 由题意得h(x)＝eq \f(f（x）＋g（x）,x)＝eq \f(（3－x）ex＋x＋a,x)，
则h′(x)＝eq \f(ex（－x2＋3x－3）－a,x2).
令r(x)＝ex(－x2＋3x－3)－a,
因为h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，
所以h′(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根，
即r(x)＝ex(－x2＋3x－3)－a＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根x1，x2(x1<x2)．(10分)
因为r′(x)＝ex(－x2＋3x－3－2x＋3)＝ex(－x2＋x)＝x(1－x)ex，
所以当x∈(0，1)时，r′(x)>0，r(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，r′(x)<0，r(x)单调递减，则0<x1<1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r（0）<0，,r（1）>0，))解得－3<a<－e，
所以req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq \f(3,4)eeq \s\up6(\f(3,2))－a<－eq \f(3,4)eeq \s\up6(\f(3,2))＋3<0.
因为r(x)在区间(0，＋∞)上连续且r(0)·r(1)<0，r(1)·req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<0，
所以r(x)＝0在区间(0，1)和区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上各有一个实数根，
所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值时，有－3<a<－e，并且在区间(0，1)上存在极小值f(x1)，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上存在极大值f(x2)，
所以h(x2)＝eq \f(（3－x2）ex2＋x2＋a,x2)，且h′(x2)＝eq \f(ex2（－xeq \o\al(2,2)＋3x2－3）－a,xeq \o\al(2,2))＝0，
所以a＝ex2(－xeq \o\al(2,2)＋3x2－3)，
所以h(x2)＝[(3－x2)ex2＋x2＋ex2(－xeq \o\al(2,2)＋3x2－3)]×eq \f(1,x2)＝ex2(2－x2)＋1，
令H(x)＝ex(2－x)，则H′(x)＝ex(1－x)，
当x∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，H(x)单调递减，
因为x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，
所以heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<h(x2)<h(1)，
即h(x2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e\s\up6(\f(3,2))＋1，e＋1))，
则3<eq \f(1,2)eeq \s\up6(\f(3,2))＋1<e＋1<4.
因为h(x)的极大值小于整数b，
所以满足题意的整数b的最小值为4.
20．在直角坐标系中，动圆与圆外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)设过定点的动直线与曲线交于两点，试问：在曲线上是否存在点（与两点相异），当直线的斜率存在时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）设圆的半径为，
因为动圆与圆外切，
所以，①
又动圆与直线相切，
所以，②
由①②消去得，
所以曲线C的轨迹方程为．
（2）假设存在曲线上的点满足题设条件，不妨设
则，，，
，，
所以，③
显然动直线的斜率存在且非零，设，
联立方程组，消去得，
由Δ＞0得t＞1或t＜－1，所以，且
代入③式得，令（m为常数），
整理得，④
因为④式对任意恒成立，
所以，
所以或，即或
即存在曲线上的点或满足题意．
