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    第四章随机变量数字特征案例2020版概率与统计学习导引

    时间：2020-11-23 20:21:47　来源：勤学考试网 本文已影响 人 勤学考试网手机站

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    千里之行 始于足下

    第四章 随机变量的数字特征案例

    案例1 气体分子的速度X服从马克斯韦尔分布，其概率密度为

    其中a＞0常数

    求：（1）系数A；

    （2）气体分子运动平均速度E(X)及方差D(X)。

    分析 确定概率密度中待定常数的最基本方法，就是利用概率密度的性质

    通过解方程得到。在确定了系数A之后，直接利用（4.2），（4.4）及（4.8）式计算即可。

    解答

    。

    （2）

    ，

    又

    ，

    因此

    案例2 一袋中含有a只白球，b只黑球，从中摸出c只球（c≤a+b），求摸出白球数X的数学期望。

    解答 从袋中摸出c只，可视为不放回地摸c次。设

    则有 ，

    由第一章例7知

    所以

    因此 。

    案例3 在长为l的线段上任取两点，求两点间的距离的数学期望及方差。

    分析 我们把长为l的线段放在数轴上，使与区间[0,l]重合，用随机变量X,Y分别表示任取两点的坐标，则X,Y都在[0,l]上服从均匀分布，且相互独立，此时问题就转化为求随机变量Z=|X－Y|的数学期望及方差。

    解答 随机变量X,Y的概率密度分别为

    由于X,Y相互独立，从而随机向量（X,Y）的联合概率密度为

    因此两点间的距离Z=|X-Y|的数学期望为

    又

    因此

    .

    案例4 两台生产同一零件的车床,一天中生产的次品数的分布列分别为

    甲(X)

    0

    1

    2

    3

    P

    0.4

    0.3

    0.2

    0.1

    乙(Y)

    0

    1

    2

    3

    P

    0.3

    0.5

    0.2

    0

    如果两台机床的产量相同,问哪台机床好?

    解答 ，

    ，

    因此，即乙机床好。

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