数值计算方法总结计划试卷试题集及答案（16页）
时间：2020-11-20 20:22:10 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
《计算方法》期中复习试题
一、填空题：
1 、已 知 f (1)
1.0,
f ( 2)
1.2,
f (3)
1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得
3
f ( x)dx
_________
f
(1)
。
1
, 用三点式求得
答案：，
2、 f (1)
1, f (2)
2, f (3) 1，则过这三点的二次插值多项式中
x2
的系数为
，
拉格朗日插值多项式为
。
答案： -1 ，
L2 ( x)
1 ( x
2)( x
3)
2(x
1)( x
3)
1 ( x 1)( x
2)
2
2
、近似值 x*
0.231关于真值 x
0.229 有
(
2
)
位有效数字；
3
4、设 f ( x) 可微 , 求方程 x
f ( x) 的牛顿迭代格式是 (
)
；
xn
1
xn
xn
f ( xn )
1
f ( xn )
答案
5、对 f ( x)
x3
x
1, 差商 f [ 0,1,2,3] (
1
),
f [ 0,1,2,3,4]
(
0
)；
6、计算方法主要研究 (
截断 ) 误差和(
舍入 )
误差；
、用二分法求非线性方程
f
(
x
)=0
在区间
(
a
b
内的根时，二分
n
次后的误差限为
7
,
)
b
a
(
2n 1
)
；
8、已知 f (1)
＝ 2， f (2) ＝ 3，f (4)
＝，则二次 Newton 插值多项式中 x2 系数为 ( )
；
11、 两点式高斯型求积公式度为(5)；
1
0
1
1
3
1
3
1
f ( x)dx
f (x)dx
2
[ f (
3
) f (
)]
≈( 0
2
2 3
) ，代数精
y
3
4
6
10
1)2
( x 1) 3
12、
为了使计算
x 1
( x
的乘除法次数尽量地少， 应将该表
y 10 (3 (4 6t)t)t , t
1
x
1
，为了减少舍入误差，应将表达式
达式改写为
2
2001
1999 改写为
2001
1999
。
13、 用二分法求方程 f ( x)
x3
x 1 0 在区间 [0,1] 内的根 , 进行一步后根的所在区
间为
，1
,
进行两步后根的所在区间为
，
。
1
xdx , 取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为
14、 计算积分 0.5
，用辛
卜生公式计算求得的近似值为
，梯形公式的代数精度为
1
，辛卜生公式的代
数精度为 3
。
15、 设 f (0) 0, f (1)
16, f (2)
46 , 则 l 1( x)
l 1( x)
x(x
2)
， f ( x) 的二次牛顿
插值多项式为
N 2 ( x)
16x
7 x( x 1)
。
b
n
Ak f ( xk )
f ( x)dx
的代数精度以 (
高斯型 ) 求积公式为最高，具
16、 求积公式 a
k 0
有(
2n
1
)
次代数精度。
5
f (x )dx ≈(
17、
已知 f (1)=1, f
(3)=5,
f
(5)=-3, 用辛普生求积公式求
1
12 )
。
18、
设 f
(1)=1 ， f (2)=2 ， f
(3)=0 ，用三点式求 f
(1) (
)
。
19、如果用二分法求方程
x 3
x
4
0 在区间 [1,2]
内的根精确到三位小数，需对分
（ 10
）次。
S( x)
x3
0
x
1
1 (x
1) 3
a( x
1) 2
b( x 1)
c 1
x
3
20、已知
2
是三次样条函数，则
a =( 3
) ， b =（ 3
）， c =（ 1
）。
21、 l 0 (x), l1 ( x),
,l n ( x) 是以整数点 x0 , x1 ,, xn 为节点的 Lagrange 插值基函数，则
n
n
l k (x)
(
1
)
，
xk l j ( xk )
(
x j
)
， 当 n
2
时
k 0
k 0
n
( xk4
xk2
3)l k ( x)
(
x4
x 2
3
) 。
k 0
22、区间 a, b 上的三次样条插值函数
S( x) 在 a,b 上具有直到 _____2_____阶的连续导
数。
23 、 改 变 函 数 f ( x)
x 1
x
( x 1 ) 的 形 式 ， 使 计 算 结 果 较 精 确
f x
1
x
1
x
。
24、若用二分法求方程 f x
0 在区间 [1,2] 内的根，要求精确到第
3 位小数，则需要对
分 10
次。
S x
2 x3 ,
0
x
1
25、设
x 3
ax2
bx
c,
1
x
2 是 3 次样条函数，则
a= 3
, b= -3 , c=
1
。
1
ex dx
0
6
26、若用复化梯形公式计算
，要求误差不超过 10
，利用余项公式估计，至少用
477 个求积节点。
27、若 f ( x ) 3x4
2x 1 ，则差商 f [2, 4, 8,16, 32]
3
。
1
2[ f ( 1)
8 f (0)
f (1)]
f ( x)dx
28、数值积分公式
1
9
的代数精度为
2
。
选择题
1、三点的高斯求积公式的代数精度为 (
B ) 。
A ． 2
B．5
C ． 3
D
． 4
2、舍入误差是 ( A ) 产生的误差。
A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值
C． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值
3、是π的有 ( B ) 位有效数字的近似值。
A ． 6
B． 5
C
． 4
D
． 7
4、用 1+ x 近似表示 ex 所产生的误差是 (
C
)
误差。
A． 模型
B
． 观测
C． 截断
D
． 舍入
x
3 1 x 所产生的误差是 ( D )
5 、用 1+3
近似表示
误差。
A． 舍入
B
． 观测
C ．模型
D． 截断
6 、-324 ．7500 是舍入得到的近似值，它有 ( C
)
位有效数字。
A ． 5
B
． 6
C． 7
D
． 8
、设 f
(-1)=1,
f
(0)=3,
f
(2)=4,
则抛物插值多项式中
x2 的系数为
( A )
。
7
A． –0．5
B ．0．5 C ．2
D
． -2
8 、三点的高斯型求积公式的代数精度为 ( C ) 。
A ．3 B ．4 C．5 D ．2
9、 ( D ) 的 3 位有效数字是× 102。
(A) × 103 (B)
×10－2
(C)
(D) × 10－1
10、用简单迭代法求方程
f(x)=0
的实根，把方程
f(x)=0
表示成 x=j(x)
，则
f(x)=0
的
根是(B)
。
(A) y=j(x)
与 x 轴交点的横坐标
(B) y=x
与 y=j(x)
交点的横坐标
(C) y=x
与 x
轴的交点的横坐标
(D) y=x
与
y=j(x)
的交点
11、拉格朗日插 多 式的余 是
( B
),
牛 插 多 式的余 是 ( C ) 。
(A) f(x,x0,x1,x2,
?,xn)(x
－ x1)(x
－x2) ?(x － xn－1)(x －xn) ，
Rn ( x) f ( x)
f ( n
1) (
)
Pn (x)
1)!
(B)
( n
(C) f(x,x0,x1,x2,
?,xn)(x
－ x0)(x
－x1)(x －x2) ?(x － xn－1)(x －xn) ，
Rn ( x)
f ( x) Pn
f (n 1)
(
)
n 1 ( x)
( x)
1)!
(D)
(n
12、用牛 切 法解 方程 f(x)=0
， 初始 x0 足 ( A
), 它的 解数列
{xn}n=0,1,2,
?一定收 到方程 f(x)=0
的根。
(A ) f (x0 ) f ( x) 0
(B) f ( x0 ) f ( x) 0
( C) f ( x0 ) f ( x) 0(D) f ( x0 ) f ( x) 0
13、 求方程 x3― x2―1=0 在区 [,] 内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相
的迭代公式，迭代公式不收 的是 (A) 。
x 2
x
1
,迭代公式 : xk 1
1
(A)
1
xk
1
x
1
1
,迭代公式 : xk 1
1
1
2
2
(B)
x
xk
(C) x
3
1
x
2
,
迭代公式
: xk 1
(1
2
)
1/ 3
xk
x3
1
x2 , 迭代公式 : xk 1
1
xk2
xk2
(D)
xk 1
b
f (x)dx (b
a
14、在牛 - 柯特斯求 公式：
公式的 定性不能保 ，所以 用中，当（使用。
（1） n 8 ， （2） n 7 ， （3） n 10，23、有下列数表
n
a) i 0 Ci(n ) f ( xi ) 中，当系数 C i(n ) 是 ，
） 的牛 - 柯特斯求 公式不
（4） n 6 ，
x
0
1
2
f(x)
-2
-1
2
所确定的插 多 式的次数是（
）。
（1）二次；
（2）三次；
（3）四次；
（ 4）五次
15、取
3
1.732 算 x
(
3
1) 4
，下列方法中哪种最好（
）
16
16
(A) 28
16
3； (B) (4
2
3)2
；
( C)
(4
2 3)2
； (D)
(31)4
。
S( x)
x3
0
x
2
26、已知
2( x 1)3
a( x
2) b 2 x 4 是 三 次 条 函 数， a, b 的
(
)
( A)6 ，6；
(B)6
， 8；
(C)8
，6；
(D)8
，8。
16、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（
）
xi
１
２
３
f ( xi )
-1
(A) 5；
(B)
4；
(C)
3；
(
D)
2 。
b
f ( x )dx
A1 f ( x1 )
A2
f ( x2 )
A3 f ( x3 ) 的高斯（ Gauss）型求积公式的代数精
17、形如 a
度为（
）
(A) 9；
(B)
7；
(
C)
5；
(D)
3 。
18、计算
3 的 Newton 迭代格式为 (
)
xk 1
xk
3
xk 1
xk
3
xk 1
xk
2
x k 1
xk
3
2x k ；(C)
xk 。
(A)
2
xk
；( B)
2
2
xk ；(D)
3
19、用二分法求方程 x 3
4x 2
10
0 在区间 [1, 2] 内的实根，要求误差限为
1
10 3
2
，
则对分次数至少为 (
)
( A)10；
(B)12
；
(C)8
；
(D)9
。
9
20、设 l i ( x) 是以 xk
kl i (k )
)
k(k
0,1,L
,9) 为节点的 Lagrange 插值基函数，则 k 0
(
(A) x；
（B） k；
（C） i；
（D）1。
33、5 个节点的牛顿 - 柯特斯求积公式，至少具有 (
)
次代数精度
(A)5；
(B)4
；
(C)6
；
(D)3
。
S( x)
x3
0
x
2
2( x
1)3
a( x
2) b
2
x
4是三次样条函数，则 a, b 的值为 (
21、已知
)
( A)6 ，6；
(B)6， 8；(C)8
，6；
(D)8
，8。
、已知方程 x 3
2x 5 0
在
x
2 附近有根，下列迭代格式中在x0
2
不收敛的是
35
(
)
xk 1
2
5
x
2xk3
5
x k 1
3 2 xk
5
xk 1
x k3
xk
5
k 1
3x
2
2
(A)
； (B)
x k
；(C)
； (D)
。
k
22、由下列数据
x
0
1
2
3
4
f ( x)
1
2
4
3
-5
确定的唯一插值多项式的次数为 (
)
(A)4；
(B)2
；
(C)1
；
(D)3
。
23、5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为 (
)
(A)8；
(
B)9；
(C)10
；
(D)11
。
三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打
?，否则打′）
、已知观察值 ( xi
，
，，， ，
m)
n
次拟合多项式 Pn ( x)
i
, 用最小二乘法求
时，
1
P n ( x) 的次数 n 可以任意取。
( )
、用
x2
x 产生舍入误差。
2
1-
2 近似表示
cos
( )
( x
x0 )( x
x2 )
3
、 ( x1
x0 )( x1
x2 ) 表示在节点 x1 的二次
(
拉格朗日
)
插值基函数。
( ? )
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
( ? )
1 1
2 5 3
5、矩阵 A= 1 2 5 具有严格对角占优。 ( )
四、计算题：
1
1 ) f ( 1 )]
f ( x) dx A[ f ( 1) f (1)] B[ f (
1
2
1
高, 并求其代数精度；利用此公式求
I
dx
1
x ( 保留四位小数 ) 。
答案： f ( x)
1, x, x 2
是精确成立，即
2 A
2B
2
2 A
1 B
2
A
1 , B
8
2
3
得
9
9
f (x)dx
1 [ f ( 1)
f (1)]
8[ f (
1 )
f ( 1)]
1
求积公式为
1
9
9
2
2
当 f ( x)
x3
f ( x)
x4
2
1
时，公式显然精确成立；当
时，左=5
，右 = 3 。所以代
数精度为 3。
2
1
t
2 x 3
1
1
1
1
1
8
1
1
dx
1 x
dt
[
]
[
]
1 t 3
9
1313
9
1/23123
97
0.69286
140
2、已知
xi
1
3
4
5
f (xi )
2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求
f (x) 的三次插值多项式 P3 (x) ，并求 f ( 2)
的近似值（保留四位小数） 。
L3
( x) 2 ( x 3)( x 4)( x 5)
6 (x
1)( x 4)( x 5)
答案：
(1 3)(1 4)(1
5)
(3
1)(3
4)(3 5)
5 ( x 1)( x
3)( x 5)
4 ( x
1)( x
3)( x
4)
(4 1)(4 3)(4 5)
(5
1)(5
3)(5
4)
差商表为
xi
yi
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2
3
6
2
4
5
-1
-1
5
4
-1
0
1 4
P3 (x) N 3 ( x) 2 2(x 1) ( x 1)( x 3)
1 ( x 1)( x 3)( x 4)
4
f ( 2) P3 (2) 5.5
5 、已知
xi
-2
-1
0
1
2
f (xi
)
4
2
1
3
5
求 f (x) 的二次拟合曲线 p2 ( x) ，并求 f (0) 的近似值。答案：解：
i
xi
yi
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi2 yi
0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20
0
15
10
0
34
3
41
5a0
10a2
15
10a1
3
正规方程组为
10a0
34a2
41
a0
10 , a1
3 , a2
11
7
10
14
p2 ( x)
10 3 x
11 x 2
p2 (x)
3 11 x
7
10
14
10
7
f (0) p2 (0)
3
10
6、已知 sin x 区间 [ ， ] 的函数表
xi
yi
如用二次插值求 sin 0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。
答案：解： 应选三个节点，使误差
| R ( x) | M 3
|
3
( x) |
3!
尽量小，即应使 | 3 ( x) |尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点
{ 0.5,0.6,0.7} 最好，实际计算结果
sin0.63891
0.596274，
且
sin
0.63891
0.596274
1 ( 0.63891
0.5)(0.63891
9 0.6)( 0.63891
0.7)
3!
0.55032
10
4
7、构造求解方程 ex
10x
2
0 的根的迭代格式 xn 1
( xn ), n
0,1,2, ，讨论其收敛
性，并将根求出来， | xn 1
xn |
10 4
。
答案：解：令
f ( x)
ex
10x
2,
f ( 0)
2
0, f (1) 10 e
0 .
且 f ( x) ex
10
0
对 x
(
，
) ，故 f ( x )
0 在 (0,1)
内有唯一实根 . 将方程
f (x) 0 变形为
1 x
x ( 2 e )
则当 x
(0,1) 时
1
ex
e
( x)
x
)
| ( x) |
1
(2
e
10
10
10
，
故迭代格式
xn 1
1 ( 2 ex n )
10
收敛。取 x0 0.5 ，计算结果列表如下：
n
0
1
2
3
xn
127 872
424 785
877 325
n
4
5
6
7
xn
595 993
517 340
525 950
525 008
且满足 | x7
x6 | 0.000 000 95 10 6
. 所以 x*
0.090 525 008 .
、已知下列实验数据 xi
f ( xi )
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
x
时， f
(x)
f (x)
1
解：当
x
，则
e，且 0
ex dx
有一位整数
.
0< <1
e
R( n)
( f )
1
10 4
要求近似值有
5 位有效数字，只须误差
1
2
.
R(n )
( f )
( b
a) 3
f
( )
由
1
12n 2
，只要
R1(n) (ex )
e
e
1
10 4
12n 2
12n 2
2
即可，解得
n
e
10
2
67.30877
6
所以 n
68 ，因此至少需将 [0,1] 68
等份。
12、取节点 x0
0, x1 0.5, x2 1 , 求函数
f (x) e x 在区间 [0,1]
上的二次插值多项式
P2 ( x) , 并估计误差。
P2 ( x)
e 0
(x
0.5)( x
1)
e 0.5
( x 0)( x 1)
解：
(0
0.5)(0
1)
(0.5
0)(0.5
1)
e 1
( x
0)( x
0.5)
(1
0)(1
0.5)
2(x
0.5)( x 1)
4e 0.5 x( x 1)
2e 1 x( x 0.5)
f ( x) e
x , f
( x)
e
x , M 3
max | f
( x) |
1
又
x [0,1]
| R
( x) |
| e x
P ( x) |
1 | x( x
0.5)( x
1) |
2
2
3!
故截断误差
。
14、给定方程 f ( x)
( x
1)ex
1
0
分析该方程存在几个根；
用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字；
说明所用的迭代格式是收敛的。
解： 1）将方程
( x
1)ex
1
0
（1）
改写为
x
1
e x
（2）
作函数 f1 ( x)
x 1， f 2( x)
e
x 的图形（略）知（ 2）有唯一根 x*
(1,2) 。
2) 将方程（ 2）改写为
x
1 e x
xk
1
1
e x k
构造迭代格式
x0
1.5
(k
0,1,2,
)
计算结果列表如下：
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xk
3)
( x) 1 e x ，
( x)
e x
当 x
[1,2] 时， ( x)
[ (2),
(1)]
[1,2] ，且
| ( x) | e 1
1
所以迭代格式xk 1
(xk )
(k
0,1,2, ) 对任意 x0
[1,2] 均收敛。
15、用牛顿 ( 切线 ) 法求 3 的近似值。取 x0=, 计算三次，保留五位小数。
解：
3 是 f (x) x 2
3 0 的正根， f ( x)
2 x ，牛顿迭代公式为
xn 1
xn2
3
xn
3
xn
xn 1
(n 0,1,2, )
2x
n
，
即
2
2xn
取 x0=, 列表如下：
n
1
2
3
xn
16、已知 f (-1)=2
，f (1)=3 ，f
(2)=-4 ，求拉格朗日插值多项式
L2 ( x) 及 f (1 ， 5) 的
近似值，取五位小数。
L2 ( x) 2
( x
1)( x 2)
3
( x
1)( x
2)
4
( x
1)( x
1)
解：
(11)(12)
(1
1)(1
2)
( 2
1)(
2
1)
2 ( x 1)( x 2)
3 ( x 1)( x 2)
4 ( x 1)( x
1)
3
2
3
f (1.5) L2 (1.5)
1
0.04167
24
1
x
17、n=3, 用复合梯形公式求 0 e dx 的近似值（取四位小数） , 并求误差估计。
1
T3
1
0 [ e0
2(e1 3
e2 3 )
e1 ]
1.7342
exdx
解： 0
2
3
f ( x)
ex , f ( x) ex ， 0
x 1时， | f ( x) | e
| R | |ex
T |
e
e
0.025
0.05
3
12
32
108
至少有两位有效数字。
20、（8 分）用最小二乘法求形如 y a bx 2 的经验公式拟合以下数据：
xi
19
25
30
38
yi
解：
span{ 1, x2 }
AT
1
1
1
1
19 2
252
312
382
yT
19.0
32.3
49.0
73.3
解方程组
AT AC
AT y
AT A
4
3391
AT y
173.6
其中
3391
3529603
179980.7
C
0.9255577
0.0501025
所以 a
0.9255577，
b
0.0501025
解得：
1
e x dx 时，试用余
21、（15 分）用 n
8 的复化梯形公式（或复化
Simpson 公式）计算
0
项估计其误差。用 n
8 的复化梯形公式（或复化
Simpson 公式）计算出该积分的近似
值。
R [ f ]
b
a h2 f (
)
1
1
e0
1
0.001302
解：
T
12
12
82
768
h [ f (a) 2
7
T(8)
f ( xk )
f (b) ]
2
k
1
[1 2 (0.8824969 0.7788008 016
0.5352614
00
0
0.6329434
22、（15 分）方程 x3
x 1
0 在 x
1.5 附近有根， 把方程写成三种不同的等价形式 （1）
1
xn 1
1
1 对应迭代格式 xn
xn
1；(2)
x
1
x 对应迭代格式
1
x
3 x
1
3
xn ；（3）
x
x3
1对应迭代格式 xn 1
xn3
1 。判断迭代格式在 x01.5 的收敛性，选一种收敛格
式计算 x
1.5 附近的根，精确到小数点后第三位。
2
解：（1）
( x)
1 ( x 1）3
（1.5）
0.18
1 ，故收敛；
3
，
( x)
1
1
2x 2
1
（1.5）
0.17
1 ，故收敛；
（2）
x ，
（3）
( x)
3x2
，
（1.5）
3
1.52
1，故发散。
选择（
1）：
x0
1.5
x 1.3572
，
x
2
1.3309
，
x3
1.3259
，
x
1.3249
，
， 1
4
x5
1.32476 ， x6
1.32472
25、数值积分公式形如
1
xf ( x)dx
S( x)
Af (0)
Bf (1)
Cf (0) Df
(1) 试确定参数 A, B,C , D 使公式代数精
0
C 4 [0,1] ，推导余项公式 R(x)
1
S(x) ，并估计误差。
度尽量高；（2）设 f ( x)
0
xf (x)dx
分布代入公式得： A
3
7
1
1
解：将 f ( x)
1, x, x2 , x3
20
, B
20
, B
30 ,D
20
H 3 (xi )
f ( xi )
构造 Hermite
插值多项式 H 3 ( x) 满足 H 3 ( xi )f
(xi )
i
0,1 其中 x0
0, x1 1
1
f ( x) H 3 (x)
f
(4) (
)
2
( x 1)
2
则有： 0
xH 3 (x)dx
S(x) ，
4!
x
R( x)
1
x[ f ( x)
S( x)] dx
1
f
(4)( )
3
(x 1)
2
dx
0
0
x
4!
f
(4)( ) 1
3
( x
1)
2
dx
f (4 ) ( )
f ( 4) ( )
4!
x
4!
60
1440
0
27、（10 分）已知数值积分公式为：
h
f ( x)dx
h [ f (0)
f ( h)]
h 2 [ f ' (0)
f ' ( h)]
0
2
，试确定积分公式中的参数
，使其代
数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
解： f (x) 1显然精确成立；
h
h
2
h [ 0
h2 [1
xdx
h]
1]
f ( x)
x 时， 0
2
2
；
2
x 2 dx
h
3
h [0
h 2 ]
h 2[ 0
2h]
h
3
2 h
1
h
f (x) x 时， 0
3
2
2
12；
h
3
h
4
h
3
1
2
2
x dx
2 [0 h ]
12 h [ 0
3h ]；
f (x) x3 时， 0
4
h
4
h
5
h
4
1
2
3
h
5
x dx
2 [ 0 h ]
12 h [ 0
4h ]
f (x) x 4 时， 0
5
6；
所以，其代数精确度为 3。
28、（8 分）已知求 a(a 0) 的迭代公式为：
x
1
1 (x
k
a )
x
0
k 0,1,2
k
2
xk
0
证明：对一切 k
1,2,
, xk
a ，且序列 xk 是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
xk 1
1
( xk
a
1
2
xk
a
2
xk
)
a k 0,1,2
证明：
2
xk
故对一切 k
1,2,
, xk
a 。
xk
1
1 (1
a2 )
1(1 1)
1
x k
xk 1
xk
xk
又
2
xk
2
所以
，即序列
是 减有下界，从而
迭代 程收 。
29、（ 9 分）数 求 公式
精度是多少
3
3 [ f (1)
f (2)]
f ( x) dx
0
2
是否 插 型求 公式 什么其代数
x
2
x
1
解：是。因 f (x) 在基点 1、 2 的插 多 式
p( x)
2
f (1)
f (2)
1
2
1
3
3 [ f (1)
f (2)]
p( x)dx
0
2
。其代数精度 1。
30、 (6
分 ) 写出求方程 4x
cos x 1在区 [0,1]
的根的收 的迭代公式，并 明其收
性。
xn 1xn
1 1
cos xn
(6 分)
4
，n=0,1,2, ?
' x
1
1
sin x
1
∴ 任意的初 x0
[ 0,1] , 迭代公式都收 。
4
4
31、(12 分) 以 100,121,144 插 点，用插 法 算 115 的近似 ，并利用余 估 差。
用 Newton插 方法：差分表：
10010
12111
14412
10+(115-100)(115-100)(115-121)
=
3 x
5
f ' ' ' x
2
8
R
f ' ' '
115
100
115
121 115
144
3!
1 3100
5
2
15
6
29
0.00163
6 8
1
sin x
I
dx
32、(10 分) 用复化 Simpson 公式 算 分
0
x的近似 ，要求 差限
0.5
10 5。
S1
1
0
4 f
1
f 1
0f
2
6
S2
1
f
0
4 f
1
2 f
1
3
f 1
012
4
4 f
4
2
I
S2
1
S2
S1
0.393
10-5
I
S2
015
f
x
sin x
x2
x4
x6
x8
x
1
5!
7!
9!
或利用余项：
3!
f (4)
x
1
7
x2
9
x 4
f ( 4)
x
1
5
2!
4!
5
R
b
a 5
f
(4)
1
0.5
10
5
2，I S2
2880n 4
2880
5n 4
， n
33、 (10 分) 用 Gauss列主元消去法解方程组：
x1 4x2 2x3 24
3x1 x2 5x3 34
2x1 6x2 x3 27
0.0 0000
x 2.0000,3.0000,5.0000
T
36、(6 分) 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
1
1
A1 f 1
xf x dx A0 f
0
2
取 f(x)=1,x ，令公式准确成立，得：
1
1
1
1
1
A0 A1
2，2A0A1
3
A0
3，A1
6
f(x)=x
2 时，公式左右 =1/4; f(x)=x
3 时，公式左 =1/5,
公式右 =5/24
∴ 公式的代数精度 =2
40、(10 分) 已知下列函数表：
x
0
1
2
3
f ( x)
1
3
9
27
写出相应的三次 Lagrange 插值多项式；
作均差表，写出相应的三次 Newton 插值多项式，并计算
解：（1）
L3
( x 1)( x 2)( x 3) ( x 0)( x
2)( x 3) ( x 0)( x
( x )
(1 0)(1
2)(1 3)
(2 0)(2
(0 1)(0 2)(0 3)
f (1.5) 的近似值。
1)( x
3)
( x
0)( x 1)( x
2)
1)(2
3)
(3
0)(3 1)(3
2)
4
x 3
2x 2
8
x
1
3
3
0
1
1
3
2
2
9
6
2
4
（2）均差表： 3
27
18
6
3
N 3 ( x ) 1 2x 2 x( x 1)
4
x ( x 1)( x 2)
f (1.5) N 3(1.5)
5
3
42、 (10 分 ) 取 5 个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分
1
1 2 x2 dx 的近似值（保留 4 位小数）。
f ( x)
1
解： 5 个点对应的函数值
2 x2
1
xi
0
1
2
f ( xi )
1
-----------------------------------------
-----------------
（2 分）
(1) 复化梯形公式（ n=4,h=2/4= ）：
T4
0.5
( 0.666667
0.333333
0.181818)
0.111111]
[1 2
2
0.868687
(2) 复化梯形公式（ n=2,h=2/2=1 ）：
S2
1
( 0.666667
0.181818)
2 0.333333
0.111111]
[1 4
6
0.861953
