第六章数理统计基本概念2020版概率与统计学习导引

时间：2020-11-23 20:23:02　来源：勤学考试网本文已影响人

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千里之行始于足下

第六章数理统计的基本概念

一、内容提要

数理统计学是数学的一个分支，它的任务是研究怎样用有效的方法去收集和使用带有随机性的数据，建立数学方法，去揭示所研究问题的统计规律性。它的主要内容是由样本来推断总体。

（一）基本概率

1. 总体、个体与样本：研究对象的全体称为总体，用X、Y等表示。组成总体的每个元素称为个体或单元。从总体中按一定的规律抽出一些个体就称为抽样，所抽及的个体称为样本，用X1,X2,…,Xn表示。一般样本容量小于50的样本称为小样本，样本容量大于等于50的样本称为大样本，但在样本不易实现时，样本容量大于30的样本可看作大样本。

包含有限个个体的总体称为有限总体，包含无限个个体的总体称为无限总体。

2. 简单随机抽样与简单随机样本：如果总体中各个个体被抽到的机会是均等的，并且在抽取一个个体后总体的成分不变，那么，抽得的一些个体就能很好地反映总体的情况，基于这种想法抽取个体的方法称为简单随机抽样。抽得的这些个体构成一个样本，用（X1,X2,…,Xn）表示，n为样本容量，X1,X2,…,Xn应是n个相互独立的且与总体X同分布的随机变量，并将这种样本称为简单随机样本，简称样本。

本书所讨论的样本，如无特别声明，均指简单随机样本。

样本（X1,X2,…,Xn）是n个相互独立的且与总体同分布的随机变量，而一次抽取之后，（X1,X2,…,Xn）又是n个具体的数据x1,x2…,xn，即样本的一组观测值，在不致引起混淆的情况下，样本和样本值都用（X1,X2,…,Xn）表示，这就是样本的二重性。

3. 样本分布函数（或经验分布函数）：设样本（X1,X2,…,Xn）的观测值按由小到大次序排列后为：

定义

，

为样本分布函数

对于样本的不同观测值（x1,x2…,xn），我们将得到不同的Fn(x)，所以Fn(x)是一个随机变量。对于这个随机变量，可以证明：

格利文科（W.Gliveoko）定量：当n→∞时，Fn(x)以概率1关于x均匀地收敛于总体的分布函数F(x)，即

4. 统计量：凡是由样本构成的不含任何未知参数的函数称为统计量。样本是随机变量，则统计量亦为随机变量，从而也都有确定的分布。一旦取得了样本值X1,X2,…,Xn以后，统计量又是具体的数，这就是统计量的二重性。

5. 样本均值、样本方差与样本标准差：

样本均值：称为样本（X1,X2,…,Xn）的样本均值。

样本方差：