电力系统分析与控制试卷

一． 试比较 P Q 分解法和极坐标形式 Newton-Raphson 法两种潮流求解方法的异

同。

采用极坐标形式的 Newton-Raphson 法，

?

节点电压课表示为 V i

Vi i

Vi (cos i

sin i )

Pi Vi

Qi Vi

Vi (Gij

j i

Vi (Gij

j i

cos ij

sin ij

Bij Bij

sin cos

ij )

ij )

i j

ij 为 i 、 j 两节点的电压的相角差，由于 n 1 m个 PV 节点的电压幅值是给定的，平

衡节点的

Vn ， n 也是给定的， 待求变量只有 n

1个节点的电压相角 1 ,

2 ,..., n

1 和 m 个

PQ 节点的电压幅值

V1,V2 ,...,Vm 。对于每一个 PQ 节点或者每一个 PV 都可以列写有功

不平衡方程式

Pi Pis Pi

Pis

Vi Vi (Gij

j i

cos ij

Bij

sin

ij ) 0

(i 1,2,..., n 1)

对于 PQ 还可以列写无功不平衡方程式

Qi Qis Qi

Qis

Vi Vi (Gij

j i

sin ij

Bij

cos

ij ) 0

(i 1,2,..., m)

修正方程式

H N

M L V / V

其中 P

P1

P2 ;

Q

Pn

Q1 Q2 ;

Qn



1

2 ； V

n

V1 V1

V2 ； V V2

Vn

Vn

式中 H 是 (n

1)*( n

1) 阶方阵，其元素为

H ij

Pi ； N 是 (n

j

1)*

m 阶矩阵，其元

素为 Nij

Pi；M 是

Vj

m*（n-1 ）阶矩阵， 其元素为

M ij Vi

Qi；L 是 m* m阶矩阵，

V j

其元素为

N ij Vi

Qi 。对功率不平衡方程式求偏导，得雅可比矩阵的元素如下：

V j

当 i j 时，

H ij

N ij

VVi j (Gij ViV j (Gij

sin ij

cos ij

Bij Bij

cos sin

ij )

ij )

M ij

ViV j (Gij cos ij

Bij

sin

ij )

Lij

VVi j (Gij

sin ij

Bij cos

ij )

2H ij Vii Bii Qi

2

当 i j 时，

2

N V

N V G P

M V

M V B P

ij ii ii i

L V B Q

L V B Q

ij ii ii i

极坐标形式修正方程式的数目为

n 1 m 个，雅可比矩阵各元素都是节点电压的函数，

其数值在迭代过程中将不断改变，矩阵中的非对角元素至于导纳中的对应元素

Yij

有关，

矩阵的元素或者子块都不具备对称性。

P Q 分解潮流计算法

在交流高压输电线路中， 输电线路等元件的点抗要比电阻大得多，有功功率的变化主要

取决于电压相角的变化， 无功功率的变化主要取决于电压幅值的变化， 所以可以简化牛

顿潮流算法的修正方程式如下：

P

Q V / V



，这样将原来的

n 1 m阶方程式

分解为一个 n 1阶和一个 m 阶的方程式。

又因为线路两端的电压的相角差不大， cos ij

1,Gij

sin ij

Bij

另外，与系统个节点的无功功率相对应的导纳

Q / V 2 通常远小于该节点的自导纳的虚部

Bii

，即 Qij



ii2

i

i

V B

V B

。于是矩阵 H 和 L 各元素的表达式可简化为：

H ij

ViV j Bij

(i, j

1,2,..., n 1)

Lij

ViV j Bij

(i , j

1,2,..., m)

系数矩阵 H 和 L 可表示为

H VBV'

L VB ''V

'''V 是各节点电压幅值组成的对角阵，由于 PV 节点的存在， B 及 B 的阶数不同，分别

'

''

为 n 1阶和 m 阶。

　P Q 分解法的修正方程式为

P / V B' (V )

Q / V B '' V

通过进一步的简化，修正方程式中的系数矩阵

B' 和 B'' 由节点矩阵的虚部构成，从而是

常对数对称矩阵，其区别只是阶数不同，矩阵

B' 为 n

1 阶，不含平衡节点对应的行和

''列，矩阵

''

B 是 m 阶的，不含平衡节点和 PV 节点所对应的行和列。

牛顿法在开始的收敛速度比较慢，当收敛到一定程度后，收敛速度就非常快，而 P Q

分解法几乎是按照同一速度收敛的。

二．何谓病态潮流问题如何用最优乘子牛顿潮流算法解决

病态潮流：对潮流方程修正方程式的求解，雅可比（ Jacobi ）矩阵条件数大（小的参数误差可能引起解的失真） ，就会出现无解或者难以收敛的情况。实际中，如重负荷系统、具有梳子庄放射结构的系统以及具有临近多根运行条件的系统等， 会往往出现计算过程振荡甚至不收敛的现象。

将潮流计算问题概括为求解如下的非线性代数方程组

fi ( x)

gi (x) bi 0

(i 1,2,..., n) 或者

f ( x) 0

式中 x 为待求变量组成的 n 维向量， x

[ x , x ,... x ]T , b

为给定的常量。可以构造标量

1 2 ni

1 2 n

i

函数为：

F ( x)

f ( x)2 [ g ( x) b ]2

i i i

i 1 i 1

或者 F (x) [ f

( x)] T

f (x) 如果非线性代数方程组的解存在，则

F (x) 的最小值应该为 0。

如 果最 小 值 不 能 为 0 ， 则 说 明 方 程 组 无 解 。

　这 样就 把 求 解 代 数 方 程 组 变 为 求

1 2nx* [ x* , x*

1 2

n

x* ]T 使

F (x* ) 最小的问题。

求出目标函数 F (x) 的极小值

确定一个初始估计值

x(0)；

置迭代次数 k 0;

从

( k)

x 出发，确定搜俗方向

(k )

x ，利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求的的修正

量 x(k )

J ( x( k) )

1 f (x(k ) ) 为搜所方向，并称之为目标函数在

x( k) 处的牛顿方向。

（4）

x(k 1)

x(k ) ( k)

x(k ) ， 为步长因子。确定最优步长因子

由 F (k 1)

F (x(k

1) )

F ( x( k) *( k)

x(k ) ) min

F ( x( k ) ( k)

x( k ) )

可 知 ， 对 一 定 的

x(k )

， 目 标 函 数

F ( x(k

1) )

是 步 长 因 子 ( k)

的 一 个 一 元 函 数

F ( x(k

1) )

F ( x( k) ( k)

x( k ) ) (

( k) )

dF ( k 1) d ( (k) )

对上式求导，



d ( k ) d ( k )

0 ，可以求的最优步长因子

下面对

( ( k) ) 的函数表达式

采 用 直 角 坐 标 的 潮 流 方 程 的 泰 勒 展 开 式 可 以 精 确 的 表 示 为

f ( x)

ys y( x)

ys y(x(0) )

J( x(0) )

x y(

x) 0

引入一个标量乘子 以乘以变量 x 的修正步长，于是上式可以表示为

f ( x)

ys y( x(0) )

J ( x(0) )(

x) y(

x) ys

y( x(0) )

J (x(0) )( x)

2y(

x) 0

其中 f

(x) [

f1( x),

f 2( x),...,

f ( x)] T ，为使表达式简洁，定义如下三个变量

nTs(0)Ta [ a1, a2 ,...,an ] y y( x )

n

T

s

(0)

T

T[ b1,b2

T

,..., bn ]

J ( x(0) ) x

[ c1, c2

,..., cn]

y( x)

于是简化为

f ( x) a b

2c 0

n n

原来的目标函数可以写为

F ( x)

f ( x)2 (a b 2 c )2 ( )

i i i i

i 1 i 1

将 F (x) 也即 ( ) 对 求导，并令其为 0，由此可以求得最优乘子 *

d ( ) d n 2 2 n 2

[ ( ai bi

ci ) ] 2 (ai bi

ci )( bi

2 ci ) 0

23d i 1 i 1

2

3

可得 g 0 g1

2 g 3

0 ，其中

gn

g

g0 (ai b)i

i 1

n

g (b2



2a c )

1 i i i i 1

n

g2 (bi ci )

i 1

2n

2

cg3 2 i

c

(ki 1

(k

校验

F (x(k

1) )

是否成立， 如果成立， 则 x

就是要求的解； 否则，令 k k 1 ，

转向（ 3）。

三、简述最优潮流问题的数学模型及使用牛顿法求解大基本原理

1、最优潮流问题在数学上可以描述为：在网络结构和参数以及系统负荷给定的条件下， 确定系统的控制变量，满足各种等式、不等式约束，使得描述系统运行效益的某个给定目标函数取极值。电力系统最优潮流计算是一个典型的有约束非线性规划问题

其数学模型为

目标函数 ： minf(u,x)

目标函数有各种各样大目标函数，一般有如下几种常用最优潮流目标函数 ;

全系统火电机组燃料总费用 ; 有功网损

等式约束 ：等式约束条件即基本的潮流方程式 g(u,x)=0

不等式约束 ： h(u,x) ≤0，包括控制变量约束 ：

各有功电源出力上下限约束

各发电机及无功补偿装置无功出力上下限约束移相器抽头位置约束

带负荷调压变压器抽头位置约束

状态变量约束 ：

各节点电压幅值上下限约束各支路通过的最大功率约束

线路两端节点电压相角差约束等

2、牛顿法基本原理

牛顿法是一种求无约束极值的方法。 设无约束最优化问题为 minf(x), 其极值存在的必

要条件是 , 一般为一个非线性代数方程组。在最优潮流牛顿算法中，对变量

不再区分为控制变量和状态变量，而统一写为 x，这样便于构造稀疏的海森矩阵，优化是在全空间中进行的。最优潮流计算可归结为如下非线性规划问题

minf(u,x)

h(u,x) ≤ 0

g(u,x)=0

不考虑不等式约束时 ：

不考虑不等式约束 h(x) ，可构造拉格朗日函数

定义向量 ，可得到应用海森矩阵法求最优解点的迭代方程式为

或用更简洁的方式表示为

由于 迭代方程式可写为分块矩阵形式

计及不等式约束

罚函数法：拉格朗日函数式将增广为

越界处理为等式约束， 起作用的不等式约束集， 所谓起作用的不等式约束集， 是指在最

优解点处，属于该约束集的所有不等式约束都成了等式约束，即

优解点

处，属于该约束集的所有不等式约束都成了等式约束，即

或者说若最优解点

正好处在由某个约束所定义的可行域的边界上时，则这个约束就

称为起作用的不等式约束。

四、列写换流器的基本方程并简述交直流电力系统潮流计算的基本思路

1、换流器基本方程

Vd2

Vdo

R I d

cos2、目广泛采用交直流电力系统潮流计算方多牛顿者 P-Q 分础上，主要分为统一解法

cos

（Integrated Methods）和顺序解法（ Sequential Methods ）两大类，是据交流系统潮流计算中如理直流输电环节方来分。

统一解法 : 一般以极标牛顿为础，将直流系统方程交流系统方程统一进行迭代求，即

潮流雅可比矩阵除包交流电网参数外，还包直流换流器直流输电路参数。扩展量迭代值与运行束：

扩展量迭代初值 ：展量迭代值采用其估计值。 对于每一换流器可以按其预估定直流功由换流器本方程估算展量值。估算时，对于已由换流器定控制方定值量，即直接取其定值 而将此量为常数

扩展量运行束：与传统潮流计算中对界量理方类似，若某展量界，将此量定所界值上。顺序解法 :

顺序解法本思是： 迭代计算过程中，将交流系统潮流方程直流系统潮流方程分别单独进

行求。求交流系统方程时，将直流系统换流站理接应交流节上一等效 P、 Q 负荷。而求直流系统方程时，将交流系统模换流站交流母上一恒定电压。每次迭代中，交流系统方

程求将为随直流系统方程求建立起换流站交流母电压值， 而直流系统方程求又为面交流系统方程求供了换流站等效 P、Q负荷值。

五．简述电力系统静态等值的基本前提以及 Ward 等值的基本原理。答：在一定稳态条件下，内部系统保持不变，而把外部系统用简化网络来代替，这种与潮流计算、静态安全分析有关的简化等值的方法就是电力系统的静态等值方法。

电力系统静态等值的基本前提是等值原则： 不同的等值方法可能得到不同的等值

网络，但任何一种等值方法都必须保证等值前后的边界条件相同。即：等值前后边界节

点电压和联络线传输功率应相等；当内部系统区域内运行条件发生变化时， 以等值网络代替外部系统后的分析结果应与简化等值前由全系统计算分析的结果相近或相同。

Ward等值的基本原理是：

）选取一种有代表性的基本运行方式，计算潮流得出全网各节点电压；

）确定内部系统和边界节点，然后对除去与内部系统有关的元素的系统矩阵进行高斯消元，消去外部系统，保留边界节点，得到仅含边界的外部等值导纳矩阵。

）计算出各边界节点的注入功率增量，并将其加到原边界节点注入功率上，得到边界节点的等值注入功率。

Ward等值过程在数学上是线性代数方程 Gauss消元法的消去过程，在物理意义上是对网络进行星 - 网变换的过程。

六. 试推导同步发电机的三阶实用模型并说明简化前提条件 。

答：实用三阶模型广泛应用于精确度要求不是很高，但需要计及励磁系统动态（即考虑

'Eq 的动态方程）的电力系统动态分析。

'

A．简化的前提条件是：

忽略定子 d绕组和 q绕组的暂态，即在定子电压方程中令



p d p q 0。

近似认为 1.0( p.u.) ，在转速变化不大的过渡过程中，这种近似引起的误差很小；

忽略阻尼绕组 D， g， Q，其作用可在转子运动方程中增加阻尼项近似考虑。B．根据上述前提条件，可以得到同步发电机模型简化的三阶模型：

p

TJ p Tm Te

1

D Pm



Pe D

T ' pE' E E' ( X X ' )i

d 0 q fq q d d d

X R i , E' X ' i R i

d q a d q q d d a q

q三阶状态模型变量为（ E' , , ）

q

七、凸极同步电机的哪些电感系数随转子位置变化其原因是什么

Laaaa a

L

aa

aa a

i

w (

2

a s

ad

co2sa

aq

sin2

) l

0

l cos2

2

2. 定子绕组的互感系数

3. 转子上各绕组的自感系数和互感系数，由于定子的内缘呈圆柱形，故对于凸极机和隐极机，不论其转子的位置如何，其磁路的磁导总是不变的，因而 转子上各绕组的a）自感系数均为常数，记为 Lf 、LD、LQ

b）互感系数

同理，转子各绕组间的互感系数亦为常数

⑴两个纵轴绕组（ f 绕组和 D绕组）之间的互感系数 LfD=LDf= 常数；

⑵纵轴和横轴阻尼绕组之间的互感系数为零

（因为两绕组相互垂直），即 LfQ=LQf= LDQ=LQD=0。

4 定子绕组和转子绕组间的互感系数无论是凸极机还是隐极机，这些互感系数都与定子绕组和转子绕组的相对位置有关

下面以励磁绕组和定子 a 相绕组间的互感为例分析如下：

当励磁绕组有电流 if 时，其对定子 a 相绕组产生的互感磁链为

同理可得定子各相绕组与纵轴阻尼绕组间的互感系数为

由于转子横轴落后于纵轴 90°，故定子各相绕组与横轴阻尼绕组间的互感系数为

磁链方程中的许多电感系数都与α角有关，而α角又是时间的函数，因而许多自感系数和互感系数都随时间周期性地发生变化；

八、电力系统稳定性、 安全性、 可靠性之间有何联系和区别我国电力系统如何进行稳定性分类的

稳定性：

电力系统稳定性是指在给定的初始运行方式下， 一个电力系统受到物理扰动后仍能够重新获得运行平衡点， 且在该平衡点大部分系统状态量都未越限， 从而保持系统完整性的能力。

影响电力系统稳定性的因素很多。为了分析方便，电力系统稳定性分解为：功角稳定性，电压稳定性。功角稳定性又分解为：静态稳定性，暂态稳定性等

安全性

电力系统运行的安全性， 通常是指在突发事故扰动下，系统保证避免发生广泛波及性供电中断的能力。

　由于安全性是对事故后果进行分析，涉及到系统事故后的稳态行为即暂态行为，安全性分析亦称之为预想事故分析，分为：静态安全分析和动态安全分析。

暂态稳定或者大扰动功角稳定性是指电力系统在遭受比较严重的大扰动后， 各同步电机保持同步运行并过渡到新的或恢复到原来稳态运行方式的能力， 通常指保持第一或第二个振荡周期不失步。大扰动一般指短路故障、负荷的瞬间大容量突变、大容量发电机组

的切除、输电或变电设备的切除等。

电力系统暂态稳定性与系统初始运行状态和扰动的严重程度有关。

　 暂态不稳定常常表现为由于扰动后功率的不平衡导致发电机之间相对功角的非周期性增大， 即所谓的第一摇摆失稳。

对于大型互联电力系统来说，暂态不稳定还有可能表现为另外一种形式，即在第 一次摇摆的过程中系统并没有失去稳定， 但由于系统同时存在较慢动态过程的区间振荡

和局部振荡， 两者的叠加导致系统中某些发电机功角发生较大的偏差， 从而失去暂态稳定。此外由于系统非线性因素的影响，也可能使得系统在第一摇摆之后失去稳定。

电力系统暂态稳定的研究通常所关心的是扰动发生后 3-5s 内的系统动态过程。对于大型电力系统，考虑到可能存在的区间振荡，由于振荡频率较低，通常需要考察更长时间

( 如 10-20s) 的动态过程。

可靠性

电力系统的可靠性是指在规定频率和一定的电压偏移范围内，保证电力供应的性能。电力系统可靠性基本上可以用供电不间断性和可维修性来描述。

电力系统运行可靠性， 就是系统承受这样或那样扰动的能力，可以以系统的稳定程度来

描述。系统稳定又可分为在系统中常发生的小扰动时的静稳定性和大扰动时的动稳定 性。扰动是多种多样的，例如，输电线短路、失去发电功率、增加负荷或甩负荷等等。电力系统可靠性取决于发供电设备和线路的可靠性、电力系统结构和接线、备用容量、运行方式 ( 静态稳定和动态稳定储备 ) 以及防止事故连锁发展的能力。

九．答：发电机节点处理主要有以下四种方法：

发电机采用经典模型，忽略其凸极效应。

计及凸极效应的直接解法

计及发电机凸极效应的迭代解法

考虑凸极效应的牛顿法

方法一是在暂态稳定计算过程较短 ( 不超过 1s) 和计算精度要求不高时， 发电机常常采用这种模型。

　这时近似认为发电机机端电压的幅值在计算过程中维持不变，其相角则

随发电机转子的摇摆情况而变化。因此当由发电机转子运动方程解出转子角度后， 其就可以完全确定。

方法二的实质是将网络复数线性代数方程的实部和虚部分开， 表示为 xy 同步坐标下的 2n 阶的实数线性方程，并将发电机方程由 dq 坐标化为 xy 坐标，再和网络方程联立求解。网络方程阶数变为 2n，内存增加且系数矩阵变化每次重新分解计算。

优点：物理概念清楚，不需迭代，求解网络方程就是求解实属现行代数方程组。缺 点：该方法对负荷非线性适应能力较差， 目前实用的暂态稳定分析程序采用此法的较少。

方法三是将电流表示成两部分：一部分与机端电压有关，但系数矩阵为常数；一部分为电流源，其值与电势、机端电压、功角有关。保持网络方程系数矩阵为常数，发电

机注入电流与电压的关系用迭代的方法求解。

方法四是发电机计及凸极效应， 负荷计及非线性， 系统中元件微分方程化为差分代数方程后与全网的代数方程联立求解， 可采用牛顿法求解这组非线性代数方程。相对于直接解法和迭代解法，该方法的缺点是雅可比矩阵元素随时间而变化，计算量大。但其

最大的优点是对非线性件元件模型的适应性好， 可将微分方程的差分代数方程和系统代数方程联立求解，无 " 交接误差 " ，故计算精度高、累计误差小，因而在暂态稳定分析中广泛应用 。

（可直接抄书上 P210）

机网接口也就是考虑发电机和负荷以何种形式接入网络， 或是在网络方程中如何处理发电机节点和负荷节点的问题。有以下几种方法：

改进欧拉法；

其方法算式简单，计算量小，但精度低，因为它仅利用了时间段开始处的微分值， 并将其用于整个时段。改进欧拉法通过使用时间间隔两端导数值的平均值来克服不足。

龙格 - 库塔法；

龙格一库塔法的精度较高，但运算量较大，其运算量是欧拉法的 4 倍。

隐式积分法

（可抄书上 P217-P219）

十．何谓参与因子与参与相量如何利用他们进行电力系统振荡分析

对于由 m 台发电机组成的互联电力系统来说，一般认为系统中机电振荡模态的总数为 m - 1 。根据对实际系统振荡的现场记录和大量的仿真结果，将电力系统出现的

振荡按振荡所涉及的范围及振荡频率大小大致分为两种类型： 局部模态（ Local Modes ） 和区域之间模态（ Interarea Modes ) :

( 1 ）局部模态涉及一个发电厂内的发电机组与电力系统其他部分之间的摇摆。由于发电机转子的惯性常数较大，因此这种模态振荡的频率大致在 1-2Hz 范围内。

( 2 ）区域之间模态涉及系统中一个区域内的多台发电机与另一个区域内的多台发

电机之间的摇摆。

　联系薄弱的互联系统中接近藕合的两台或多台发电机之间常发生这种振荡。

　由于各区域的等值发电机具有更大的惯性常数，因此这种模态要比局部模态振荡的频率还要低，大致在 0 . 范围内。当系统表现为两群发电机之间振荡时，振荡的频

率大致在 范围内； 当系统表现为多群发电机之间的振荡时， 振荡的频率大致在 0 . 4

一 0 . 7Hz 范围内。

这两种类型的机电振荡， 由于振荡频率较低， 因此，也常称为电力系统的低频振荡。