湖南省益阳市2021届高三9月调研考试数学试题 含答案x
时间:2020-10-21 16:26:35 来源:勤学考试网 本文已影响 人
益阳市2021届高三9月调研考试
数学
注意事项:
1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分;试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题四部分,共4页,时量120分钟,满分150分.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置.请按要求在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效.
3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.
试题卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,.则( )
A. B. C. D.
2.已知复数为纯虚数(其中为虚数单位,),则( )
A. B. C. D.2
3.已知半径为1的球被截去一部分后几何体的三视图如图所示,则该几何体体积为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量服从正态分布,若,则( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
5.2019年10月20日,第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”,其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解,且学生之间的选择互不影响,则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为( )
A. B. C. D.
6.在中,,,,则( )
A. B. C.2 D.4
7.过抛物线的焦点的直线交于,两点,且,为坐标原点,则( )
A. B. C.4 D.
8.已知函数,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
三、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知双曲线过点,则下列结论正确的是( )
A.的焦距为4 B.的离心率为
C.的渐近线方程为 D.直线与有两个公共点
10.已知定义在上的偶函数在上单调递增,且,则下列结论正确的是( )
A.直线是的一条对称轴 B.是周期为2的周期函数
C.在上单调递减 D.是函数的一个零点
11.下面的结论中,正确的是( )
A.若,则
B.若,,,则
C.若,,则
D.若且,则
12.函数的部分图象如图中实线所示,图中的、是圆与图象的两个交点,其中在轴上,是图象与轴的交点,则下列说法中正确的是( )
A.函数的一个周期为 B.函数的图象关于点成中心对称
C.函数在上单调递增 D.圆的面积为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.若,则________.
14.的展开式中的系数是________.(用数字填写答案)
15.已知函数,则的零点个数为________.
16.已知正方体的棱长为4,是中点,过点作平面,满足平面,则平面与正方体的截面周长为________.
四、解答题:本題共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成问题的解答.
问题:已知数列是等比数列,且,其中,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式
(2)记________,求数列的前项和.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
8.(本小题满分12分)
已知的角,,对边分别为,,,,.
(1)求;
(2)求面积的最大值.
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥的底面为正方形,平面平面,.
(1)求证:;
(2)若直线与所成角为,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒,其余5名未感染,需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者,呈阴性即为未感染者.
(1)若从这6名密切接触者中随机抽取2名,求抽到感染者的概率;
(2)血液化验确定感染者的方法有:方法一是逐一化验;方法二是平均分组混合化验,先将血液样本平均分成若干组,对组内血液混合化验,若化验结果呈阴性,则该组血液不含病毒,若化验结果呈阳性,则对该组的备份血液逐一化验;直至确定感染者.
(i)采取逐一化验,求所需化验次数的分布列及数学期望;
(ⅱ)采取平均分成三组混合化验(每组血液份数相同),求该分组方法所需化验次数的数学期望.
你认为选择哪种化验方案更合理?请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若不过坐标原点的直线与椭圆相交于,两点,且满足,求面积最大时直线的方程.
22.(本小题满分12分)
已知函数,.
(1)当时,求的单调区间;
(2)当时,有成立,求实数的取值范围.
益阳市2021届高三9月调研考试
数学参考答案
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.C 2.B 3.C 4.D 5.A 6.D 7.A 8.C
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.AC 10.ABC 11.BCD 12.BD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 14.80 15.2 16.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
解:(1)设数列的公比为,因为,,成等差数列,
∴,
又因为,所以,即,
所以,或(舍去,所以,. 4分
(2)由(1)知,选择条件①,则
∴,
∴,
∴,
∴. 10分
由(1)知,选择条件②,则,
所以,
. 10分
由(1)知,选择条件③,则,
∴
∴. 10分
18.(本小题满分12分)
解:(1)由正弦定理及得:,
∵,∴,即,
∵,∴,所以,即, 6分
(2)由(1)可知:,在中,由余弦定理得:,
即,所以,,
所以,,当且仅当时等号成立,
所以,即面积的最大值为. 12分
19.(本小题满分12分)
解:(1)∵四棱锥的底面为正方形,∴,
又平面平面,
∴平面,又平面,
∴,即. 5分
(2)取,的中点,,连接,,则,结合(1)知平面,因为,所以,,所以,以为坐标原点,,,分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,且直线与所成角的为,所以,,又,
所以,,令,
则,,,
所以,,,
设是平面的一个法向量,则,即,取,
则,所以,
又是平面的一个法向量,
所以,,
所以,所求二面角的余弦值为. 12分
20.(本小题满分12分)
解:(1)抽到感染者的概率. 3分
(2)(i)按逐一化验法,的可能取值为1,2,3,4,5,
,,,,
,
所以的分布列为
1
2
3
4
5
数学期望. 7分
(i i)平均分成三组即按分组,记所需化验次数为,则,
,
所以的分布列为
2
3
数学期望.
因为,所以按平均分组法较合理. 12分
21.(本小题满分12分)
解:(1)由题意得,解得,
所以椭圆的方程为; 4分
(2)由题意可知,直线的斜率显然存在,设直线的方程为
,,,
由得,
①
所以,所以,,
因为,所以,
解得:,代入①得且,
所以,
,
当且仅当,即时上式取等号,此时符合题意,
所以直线的方程为. 12分
22.(本小题满分12分)
解:(1)函数的定义域为,
当时,,,由得;
由得,由得,
故的单调递减区间为,递增区间为. 4分
(2)当时,不等式成立,即成立,
等价于成立,
令,则,
令,,
当时,;当时,;从而在上递减,在上递增,故.
∴,故在上单调递增,
∴,,两边取对数得,,即恒成立,
等价于.
令,,则,由得,由得,
由得,故在上递增,在递减.从而.
∴,即实数的取值范围为. 12分