几何证明好方法总结计划——截长补短（16页）
时间：2020-11-15 20:25:41 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
几何证明的好方法——截长补短
有一 几何 其命 主要是 明三条 段 度的“和”或“差”及其比例
关系。
一 目一般可以采取“截 ”或“ 短”的方法来 行求解。所
“截 ”，就是将三者中最 的那条 段一分 二，使其中的一条 段与已知
段相等，然后 明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所 “ 短” ，就
是将一个已知的 短的 段延 至与另一个已知的 短的 度相等。然后求出
延 后的 段与最 的已知 段的关系。有的是采取截 短后，使之构成某
种特定的三角形 行求解。
截 法：
1） 某一点作 的垂
2）在 上截取一条与某一短 相同的 段，再 剩下的 段与另一短 相等。
短法
1）延 短 。
2）通 旋 等方式使两短 拼合到一起。
几种截长补短解题法类型
我 大致可把截 短分 下面几种 型；
型① a± b=c
型② a± b=kc
a±b
型③
c
型④ c2=a·b
于 型①，可采取直接截 或 短， 后 行 明。
或者化 型② 明。
于②，可以将 a±b 与 c 构建在一个三角形中，然后 明 个三角形 特
殊三角形，如等 三角形，等腰直角三角形，或一个角 30°的直角三角形等。
于 型③，一般将截 或 短后的 a±b 与 c 构建在一个三角形中，与
型②相同。
上是求 型②中的 k 。
于 型④，将 c2=a· b 化 c = b 的形式，然后通 相似三角形的比例关系
c
行 明。在 明相似三角形的 程中，可能会用到截 或 短的方法。
例：
C F D
E
H
P
G
B A
在正方形 ABCD 中， DE=DF，DG CE，交 CA 于 G，GH AF，交 AD 于 P，交 CE延长线于 H，请问三条粗线 DG，GH，CH的数量关系
方法一（好想不好证）
C F D
E
H
P
G
B A
方法二（好证不好想）
C F D
E
H
P
G
B M A
例题不详解。
（第 2 页题目答案见第 3、4 页）
A B
F
D C
E
（ 1）正方形 ABCD中，点 E 在 CD 上，点 F 在 BC上， EAF=45o 。
求证： EF=DE+BF
（ 1）变形 a
A B
E D C
F
正方形 ABCD中，点 E 在 CD 延长线上，点 F 在 BC延长线上， EAF=45o 。
请问现在 EF、 DE、BF 又有什么数量关系
（ 1）变形 b
F
A B
D C E
正方形 ABCD中，点 E 在 DC 延长线上，点 F 在 CB延长线上， EAF=45o 。
请问现在 EF、 DE、BF 又有什么数量关系
（ 1）变形 c
A
F
E
B
j C
D
正三角形 ABC中， E 在 AB 上， F 在 AC 上
EDF=45o 。DB=DC， BDC=120o 。
请问现在 EF、 BE、 CF又有什么数量关系
（ 1）变形 d
A B
F
D
C
E
正方形
ABCD中，点
E 在
CD上，点
F 在
BC上，
EAD=15o ，
FAB=30o
。AD=
3
求 AEF的面积
（ 1）解：（简单思路）
A B
F
G D C
E
延长 CD 到点 G，使得 DG=BF，连接 AG。
由四边形 ABCD是正方形得
ADG= ABF=90o
AD=AB
又 DG=BF
所以 ADG ABF（ SAS）
GAD= FAB
AG=AF
由四边形 ABCD是正方形得
DAB=90o = DAF+ FAB
DAF+ GAD= GAF 所以 GAE= GAF- EAF
=90o -45 o =45o
GAE= FAE=45o
又 AG=AF
AE=AE
所以 EAG EAF（SAS）
EF=GE=GD+DE=BF+DE
变形 a 解：（简单思路）
A B
G
E D C
F
EF= BF-DE
在 BC 上截取 BG，使得 BG=DF，连接 AG。由四边形 ABCD是正方形得
ADE= ABG=90o
AD=AB
又 DE=BG
所以 ADE ABG（SAS）
EAD= GAB
AE=AG
由四边形 ABCD是正方形得
DAB=90o = DAG+ GAB
= DAG+ EAD= GAE
所以 GAF= GAE- EAF
=90o -45 o =45o
GAF= EAF=45o
又 AG=AE
AF=AF
所以 EAF GAF（SAS）
EF=GF=BF-BG=BF-DE
变形 b 解：（简单思路）
F
A B
D C E
G
EF=DE-BF
在 DC 上截取 DG，使得 DG=BF，连接 AG。由四边形 ABCD是正方形得
ADG= ABF=90o
AD=AB
又 DG=BF
所以 ADG ABF（ SAS）
GAD= FAB
AG=AF
由四边形 ABCD是正方形得
DAB=90o = DAG+ GAB
BAF+ GAB= GAF 所以 GAE= GAF- EAF
=90o -45 o =45o
GAE= FAE=45o
又 AG=AF AE=AE
所以 EAG EAF（SAS）
EF=EG=ED-GD=DE-BF
变形 c 解：（简单思路）
A
F
E
B
C
G
D
EF=BE+FC
延长 AC 到点 G，使得 CG=BE，连接 DG。
由 ABC是正三角形得
ABC= ACB=60o
又 DB=DC， BDC=120o
所以 DBC= DCB=30o
DBE= ABC+ DBC=60o +30 o =90o
ACD= ACB+ DCB=60o +30 o =90o
所以 GCD=180o - ACD=90o
DBE= DCG=90o
又 DB=DC，BE=CG
所以 DBE DCG（SAS）
EDB= GDC
DE=DG
又 DBC=120o = EDB+ EDC
GDC+ EDC= EDG 所以 GDF= EDG- EDF
=120o -60 o =60o
GDF= EDF=60o
又 DG=DE DF=DF
所以 GDF EDF（SAS）
EF=GF=CG+FC=BE+FC
变形 d 解：（简单思路）
延长 CD 到点 G，使得 DG=BF，连接 AG。
过 E 作 EH AG.前面如（ 1）所证，
ADG
GAD=
ABF， FAB=30o
EAG ，S
EAF
EAG=S EAF
在
Rt
ADG 中，
GAD=30o ， AD=
3
AGD=60o ，AG=2
设 EH=x
在 Rt EGH中和 Rt EHA 中
AGD=60o ， HAE=45o
HG= 3x，AH=x
3
AG=2=HG+AH=3x+x,EH=x=3-3
3
S EAF=S EAG=EH AG 2=3- 3.
（第 5 页题目答案见第
6 页）
A
B
O
E
D C
2）
正方形 ABCD中，对角线 AC 与 BD 交于 O，点 E 在 BD 上， AE 平分 DAC。
求证： AC/2=AD-EO
（ 2）加强版
N
A B
F
E
D C
M
正方形 ABCD中， M 在 CD上， N 在 DA 延长线上， CM=AN，点 E 在 BD 上， NE 平分 DNM。
请问 MN 、 AD、 EF有什么数量关系
（ 2）解：（简单思路）
A B
O
E
D C
过E作EG AD于G
因为四边形 ABCD是正方形
ADC=90o ，BD 平分 ADC， AC BD
所以 ADB= ADC/2=45o
因为 AE 平分 DAC， EO AC， EG AD
所以 EAO= EAG，
DGE= AOE= AGE=90o 又 AE=AE，
所以 AEO AEG（AAS）
所以 AG=AO，EO=EG
又 ADB=45o ， DGE=90o
所以 DGE为等腰直角三角形
DG=EG=EO
AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2
（ 2）加强版解：（简单思路）
N
Q
A B
P
G F
E
D M C
MN/2=AD-EF
过 E作 EG AD 于 G，作 EQ AB于 Q，过B做BP MN于P
按照（ 2）的解法，可求证，
GNE FNE（ AAS）
DGE为等腰直角三角形
AG=AD-DG=AD-EF，
因为四边形 ABCD为正方形，
ABC= GAQ= BCM=90o
BD 平分 ABC， BC=BA
ABD= ABC/2=45 o ，又 EQB=90o
EQB为等腰 Rt 三角形， BEQ=45o
因为 GAQ= EGA= EQA=90o
所以四边形 AGEQ为矩形，
PB=AGCA=AH∠H=CPBM=
∠DHCBA==DBC
BE=AAB=BC∠HPBDH= ∠
D
A D
A N
F
E
A BO MD B CE
E
B C
【例 1】 EQ=AG=AD-EF
EQ
o
o
o
o
BC
AC BC AC
BC AC
?
CE
PC
PC
PC
PB PB PB PA
PC
，
o
? AB AB AB AC BC CP CP
3BC AC 3? ?
PAPB 2
PC
2? ? ? ?
2 PA PB PC PC
? ? MNNCMN BP BP
AN MN AN
OM2 CM2 7 DE
DC
MD2 MC2 (MD MC)2
MA gMB MA gMB
2
CA CB CA
CB CA CB
CACB?
2
CD
CD
CD
CD
BC
NC
DE
DE
DE
AD 2
AE2
3
3
3
1
MN
DC
DC
DC
2
2
2
3
2 AD
21 ?
MD 2
MC 2
MD 2
MC 2
2
2
2AD
4
AC
MAgMB
MA gMB
2MAg 2MB
2
2
MD MC
ABC
A
o
BD CE
MAgMB
MAgMB
60
ABC . ACB BD CE O BE CD BC M ABD AB B DMN 60 MN ∠DBA N
DM MN BC CE AE BC CE 求证： BE+DF=AE.
【例 2】 五边形 ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，
ABC+∠AED=180 ，°求证： AD 平分
CDE
A
A
F
B E B E
C D C D
【例 3】 如图所示，
BDC 是顶角为顶点作一个
ABC 是边长为 1的正三角形，
的等腰三角形，以D 为
60 的 MDN ，点 M 、N分别在 AB、
AC 上，求 AMN 的周长．
A
N
M
B C
D
板块二、全等与角度
【例 7】如图，在 ABC 中， BAC 60 ，AD 是 BAC 的
平分线，且 AC AB BD ，求 ABC 的度数 .
A
B D C
由已知条件可以想到将折线 ABD“拉直”成 AE ，利用角平分线 AD 可以构造全等三角形 .同样地，将 AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的 .
需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想 .
上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法” ，它们是证明等量关系时优
先考虑的方法 .
【例 8】 在正 ABC 内取一点 D ，使 DA DB ，在
ABC 外取一点 E ，使 DBE DBC ，且 BE BA ，求 BED .
A
D
B
