【数学】安徽省宣城市2019-2020学年高一下学期期末调研考试（理）试题（解析版）
时间：2020-11-15 12:33:39 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
安徽省宣城市2019-2020学年高一下学期
期末调研考试（理）试题
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．第Ⅰ卷毎小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本卷命题范围：人教版必修2第一、二章，必修4第三章和必修5（除线性规划）．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．在正三棱柱中，M为侧面的中心，N为侧面的中心，P为BC的中点，则直线MN与直线AP所成的角为（ ）
A．0° B．45° C．60° D．90°
4．数列的前n项和为，若，则实数k等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．人体满足黄金分割比的人体是最美人体，0.618是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示为，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C．10 D．
7．已知中，角A，BC的对边分别为a，b，c，，．则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．7 C．8 D．4
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列满足：，．正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前几项和为（ ）
A． B． C． D．
11．中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且，若AC边上的中线，则的周长为（ ）
A．15 B．14 C．16 D．12
12．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，．若三棱锥外接球表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若圆台的母线与高的夹角为，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为________．
14．设是等比数列的前n项和，，且，则________．
15．已知，若数列中最小项为第3项，则________．
16．在中，，．当取最大值时，的外接圆半径为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，为正三角形，，的面积为．
（1）求CD的长；
（2）若，求的面积．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数在区间上的最值．
（2）若，，求的值．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且．
（1）求证：平面DEF
（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，M为AD上一点，，N为PC中点．
（1）证明：平面PAB；
（2）求点A到平面PMN的距离；
（3）求直线AN与平面PMN所成角的正切值．
22．（本小题满分12分）
已知等差数列满足，，数列的前n项和为，满足．
（1）求数列与的通项公式；
（2）若任意，恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案
1．A
由，得，故选A．
2．B
由，得，化简得
，故选B．
3．D
∵，，∴，故选D．
4．C
∵，数列是首项为1公差为4的等差数列，
∴，∴，得，故选C．
5．C
，故选C
6．D
由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得C到的几何体．
．故选D．
7．B
∵，∴，∴，
∴，∴．故选B．
8．A
由知
当且仅当，时等号成立，故选A．
9．B
因为，且，解得，，
又，所以，故，
因为，，故，
故，故选B．
10．C
由和累乘法可以知道，所以，
又，，成等比数列，所以，
所以，
所以．
故选C．
11．A
由a，b，c成等差数列知，又，所以，所以，所以，．若AC边上的中线为，
所以（也可以用余弦定理列方程），所以，，，所以的周长为15．故选A．
12．D
设，，由三棱锥外接球的表面积为，得外接球的半径，又平面ABC，A，所以，所以，所以．因为平面ABC，，所以，，过D作，垂足为E，则平面ABC，所以，所以，所以，
∴
，当且仅当，即，时，等号成立，三棱锥体积的最大值为2，故选D．
13．
设上、下底面半径分别为R、r，圆台高为h，根据轴截面可知，即，所以．
14．0或4
设等比数列的公比为q，由，得，即，所以，若，则，此时；若，则，此时，所以或者．
15．
由题意和数列图象可以知道，所以．
16． 2
设，
所以
所以，所以当时，，，
此时的外接圆半径为．
17．解：（1）设，则，
∵，∴．
∴或（舍），即； 2分
在中，，
∴ 5分
（2）∵，，∴．
在中，由正弦定理得
， 7分
∵ 8分
∴． 10分
18．解：
3分
因为，所以，
4分
所以，
故函数在区间的最大值为，
最小值为． 6分
（2）因为，，所以，
所以． 8分
所以
12分
19．解：（1）取AC的中点H，∵，∴．
∵，∴F为CH的中点
∵E为BC的中点，∴．则
∵是正三角形，∴．
∵平面BCD，∴．
∵，∴平面ABC．
∴． 4分
∵，∴平面DEF． 6分
（2）存在这样的点N，当时，平面DEF．
连CM，设，连OF．
由条件知，O为的重心，．
∴当时，，
∴． 12分
20．解：（1）当时，
；
当时， 3分
∴ 5分
（2）当时，，
∴当时，y取最大值，最大值为1600万元； 8分
当时，，
当且仅当，即时，y取得最大值，最大值为1800万元． 11分
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元． 12分
21．证明：（1）取PB中点G，连接AG，NG，
∵N为PC的中点，∴，且， 1分
又∵，，且．
∴，且，则且， 2分
∴四边形AMNG为平行四边形，∴，
又平面PAB，平面PAB，
∴平面PAB． 4分
22. 解：（2）取BC的中点H，连接AH，
∵，∴且，∴四边形AHCM是矩形，∴，
∵，PA，平面PAM，，
∴平面PAM，且，过点A作平面PMN于F，则AF即为点A到平面PMN的距离． 6分
∴，∴，
∴点A到平面PMN的距离． 9分
（3）连接AN，NF，由（2）知即为直线AN与平面PMN所成的角，
在中，，，，
又N是PC的中点，，，
∴直线AN与平面PMN所成角的正切值为． 12分
22．解：（1）设数列的公差为d，则解得．
所以． 2分
对于数列，当时，，所以．
当时，由，①可知，②
①-②得，即，故是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以．
（2）设，
由（1）知，当时，， 5分
当时，，③
，④
③-④得 6分
∴，∴，
当时也符合该式，所以， 7分
故题中不等式可化为， 8分
当时，不等式可化为，， 9分
当时，不等式可化为，此时， 10分
当时，不等式可化为，因为数列是递增数列，
所以． 11分
综上，实数t的取值范围是 12分
