三角函数定义及其三角函数公式总结计划大全x
时间：2020-11-14 16:25:05 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
三角函数定义及其三角函数公式汇总
1、勾股定理：直角三角形两直角边
a 、 b 的平方和等于斜边
c 的平方。
a 2
b2
c 2
2、如下图，在 Rt△ABC中，∠ C 为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 (∠ A 可换成∠ B)：
定
义
表达式
取值范围
关
系
正
A的对边
sin A
a
0
sin A 1
sin A
cosB
sin A
c
(∠A 为锐角)
弦
斜边
cos A
sin B
余
A的邻边
cos A
b
0
cos A 1
sin
2
A cos
2
A
1
cos A
c
弦
斜边
(∠A 为锐角)
正
A的对边
tan A
a
tan A 0
tan A
cot B
tan A
A的邻边
b
(∠A 为锐角)
cot A
tan B
切
1
tan A
(倒数 )
余
A的邻边
cot A
b
cot A 0
cot A
cot A
A的对边
a
(∠A 为锐角)
tan A cot A
1
切
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；
任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦
值。
由 A
B
B
90
对
得
B 90
A
斜边
c
sin A
cosB
sin A
cos(90
A)
a 边
b
cos A
sin B
cos A sin(90
A)
A
C
邻边
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；
任意锐角的余切值等于它的余角的正切
值
由 A
B
90
得 B
90
A
sin（α＋ β）＝ sin
α cos＋βcos α sin
β
sin（α－ β）＝ sin
α cos－βcos α sin
β
cos（α＋ β）＝ cos α cos－βsin α sin β
cos（α－ β）＝ cos α cos＋βsin α sin β
6、正弦、余弦的增减性：
当 0°≤ ≤ 90°时， sin
随
的增大而增大，
cos
随
的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：
当 0°< <90°时， tan
随
的增大而增大，
cot
随 的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：
①边的关系：
a2
b2
c2
；②角的关系：
A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注
意：尽量避免使用中间数据和除法
)
2、应用举例：
(1)仰角 ：视线在水平线上方的角； 俯角 ：视线在水平线下方的角。
视线
铅垂线
仰角
水平线
h
i h : l
俯角
视线
α
l
(2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即 i
h 。坡度
一般写成 1: m的形式，如 i
1:5 等。
l
把坡面与水平面的夹角记作
h
tan
。
(叫做坡角 )，那么 i
l
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，
叫做方位角。
如图 3，OA、OB、
OC、 OD 的方向角分别是： 45°、 135°、 225°。
4、指北或指南方向线与目标方向
线所成的小于 90°的水平角， 叫做方向角。如图 4,OA、
OB、OC、 OD 的方向角分别是：北偏东
30°（东北方向）
，
南偏东 45°（东南方向） ，
南偏西 60°（西南方向） ，
北偏西 60°（西北方向） 。
sin（α＋ β）＝ sin α cos＋βcos α sin β
sin（α－ β）＝ sin α cos－βcos α sin β
cos（α＋ β）＝ cos α cos－βsin α sin β
cos（α－ β）＝ cos α cos＋βsin α sin β
三角函数公式汇总 1
nπR
1
1
n
R2
⒈L 弧长 = R=180
S 扇=
2
LR=2
R2 =
360
⒉正弦定理：
a
=
b
= c
= 2R（ R 为三角形外接圆半径）
sin A
sin B
sin C
⒊ 余 弦 定 理 ： a 2
=b 2
+c 2
-2bc cos A
b 2
=a 2
+c 2
-2ac cosB
c 2 =a2 +b2 -2abcosC
cos A
b2
c 2
a 2
2bc
S⊿= 1 a ha = 1 ab sinC = 1 bcsin A = 1 acsinB = abc =2R2 sin A sin B sin C
2 2 2 2 4R
= a2 sin B sin C = b2 sin Asin C = c2 sin Asin B =pr=
p( p
a)( p b)( p
c)
2 sin A
2 sin B
2sin C
(其中 p
1 (a
b
c) , r 为三角形内切圆半径 )
2
⒌同角关系：
⑴商的关系：① tg
= y = sin
=sin
sec
② ctg
x
cos
cos csc
x
cos
y
sin
③
sin
y
cos
tg
④
r
r
1
tg
csc
sec
cos
x
⑤
cos
x
sin
ctg
⑥
r
r
1
ctg
sec
csc
sin
y
⑵倒数关系： sin
csc
cos
sec
tg
ctg
1
⑶平方关系： sin 2
cos2
sec2
tg 2
csc2
ctg 2
1
⑷ a sin
b cos
a 2
b2
sin(
)
（其中辅助角
与点（ a,b）在同
一象限，且 tg
b ）
a
⒍函数 y= Asin(
x
)
k 的图象及性质：（
0, A
0 ）
振幅 A，周期 T=2
,
频率 f= 1 ,
相位
x
，初相
T
3
⒎五点作图法：令
x
依次为 0
,
,2
求出 x 与 y，
依点
,
2
2
x, y 作图
⒏诱导公试
sin
cos
tg
ctg
-
-sin
+cos
-tg
-ctg
-
+sin
-cos
-tg
-ctg
+
-sin
-cos
+tg
+ctg
三角函数值等于
的同名 三
2
-
-sin
+cos
-tg
-ctg
角函数值，前面加上一个把
2k
+
+sin
+cos
+tg
+ctg
看作锐角时，原 三角函数
值的符号；即：函数名不变，
符号看象限
sin
con
tg
ctg
三角函数值等于
的异名
2
+cos
+sin
+ctg
+tg
三角函数值，前面加上一个
2
+cos
-sin
- ctg
- tg
把 看作锐角时，原三角函
3
-cos
-sin
+ctg
+tg
数值的符号 ;即：函数名改
2
3
-cos
+sin
- ctg
- tg
变，符号看象限
2
⒐和差角公式
①
③
sin(
) sin
cos
cos sin
② cos(
)
cos
cos
sin
sin
tg (
tg
tg
④ tg
tg
tg (
)(1
tg
tg )
)
tg
1 tg
⑤ tg (
)
tg
tg
tg
tg
tg
tg
其中当 A+B+C=π时,有:
tg
tg
tg
tg
tg
tg
1
i). tgA tgB
tgC
tgA
tgB
tgC
A
B
A
C
B
C
ii). tg
tg
tg
tg
tg tg
1
2
2
2
2
2
2
⒑二倍角公式： (含万能公式 )
① sin 2
2sin
cos
2tg
tg 2
1
② cos 2
cos2
sin 2
2 cos2
2 sin2
1
tg
2
1
1
2
1
tg
③ tg 2
2tg
④ sin
2
tg 2
1
cos 2
2
1 cos2
tg
2
1
tg
2
2
⑤ cos
2
1
⒒三倍角公式：
①
sin 3
3 sin
4 sin3
4 sin
sin(60
) sin(60
)
②
cos3
3 cos
4 cos3
4cos
cos( 60
) cos(60
)
③
3tg
tg 3
tg
tg ( 60
) tg (60
)
tg 3
1 3tg 2
⒓半角公式：（符号的选择由
2
所在的象限确定）
①
sin
1
cos
②
sin 2
2
1
cos
③ cos
1
cos
2
2
2
2
2
④ cos2
1
cos
⑤
1 cos
2sin2
2
⑥ 1 cos
2 cos2
2
2
2
⑦
1 sin
(cos
sin
)2
cos
sin
2
2
2
2
⑧
tg
1
cos
sin
1
cos
1
cos
1
cos
sin
2
⒔积化和差公式：
sin
cos
1 sin(
)
sin(
)
cos
sin
1 sin(
)
sin()
2
2
cos cos
1 cos(
)
cos(
)
sin
sin
1 cos(
)
cos
2
2
⒕和差化积公式：
① sin sin 2 sin cos ② sin sin 2cos sin
2 2 2 2
③ cos cos 2 cos cos ④ cos cos 2sin sin
2 2 2 2
⒖反三角函数：
名称
函数式
定义域
值域
性质
反正弦函
y
arcsin x
1,1
增
,
arcsin(-x)
-arcsinx 奇
2
2
数
反余弦函
y
arccosx
1,1
减
0,
arccos( x)
arccosx
数
反正切函
y arctgx
R 增
,
arctg(-x) - arctgx 奇
数
反余切函
y arcctgx
R 减
2 2
0, arcctg( x) arcctgx
数
⒗最简单的三角方程
方程
方程的解集
sin x
a
a
1
x | x
2k
arcsin a, k
Z
a
1
x | x
k
1 k arcsin a, k Z
cos x
a
a
1
x | x
2k
arccos a, k
Z
a
1
x | x
2k
arccos a, k
Z
tgx
a
x | x
k
arctga , k
Z
ctgx
a
x | x
k
arcctga , k
Z
三角公式汇总 2
一、任意角的三角函数
在角
正弦：
正切：
正割：
的终边上任取 一点 P( x, y) ，记：
2
2
rx
y ，
．．
y
x
sin
余弦： cos
r
r
y
x
tan
余切： cot
x
y
r
r
sec
余割： csc
x
y
注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数： 如图，与单
位圆有关的有向 线段
MP
、
OM
、
AT
分别叫做角
的正弦线、余弦线、正切线。
．．
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系： sin
csc
1， cos
sec
1， tan cot
1 。
商数关系： tan
sin
， cot
cos
。
cos
sin
平方关系： sin2
cos2
1， 1
tan 2
sec2
， 1 cot2
csc2
。
三、诱导公式
⑴
2k (k
Z ) 、
、
、
、 2
的三角函数值，等于
的
同名函数值，前面加上一个把
看成锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不
．．
变，符号看象限）
⑵
、
、 3
、 3
的三角函数值，等于
的异名函数值，
2
2
2
2
前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象
．．
限）
四、和角公式和差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
cos(
)
cos
cos
sin
sin
cos(
)
cos
cos
sin
sin
tan(
)
tan
tan
1 tan tan
tan tan
tan( )
1 tan tan
五、二倍角公式
sin 2 2sin cos
cos2 cos2 sin 2 2cos2 1 1 2 sin 2 ?( )
tan 2
2 tan
1 tan2
二倍角的余弦公式 ( ) 有以下常用 形：（ 律：降 角，升 角）
1
cos2
2 cos2
1
cos2
2sin2
1
sin 2
(sin
cos )2
1
sin 2
(sin
cos
)2
cos2
1 cos2
， sin2
1 sin 2
， tan
1
cos2
sin 2
。
2
2
sin 2
1 cos2
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
2 tan
1
tan2
， tan 2
2 tan
。
sin 2
2
， cos2
tan2
tan2
1 tan
1
1
万能公式告 我 ， 角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。
七、和差化积公式
sin sin 2sin cos ?⑴
2 2
sin sin 2cos sin ?⑵
2 2
cos cos 2cos cos ?⑶
2 2
cos cos 2sin sin ?⑷
2 2
了解和差化 公式的推 ，有助于我 理解并掌握好公式：
sin
sin
2
sin
cos
cos
sin
2
2
2
2
2
sin
sin
2
sin
cos
cos
sin
2
2
2
2
2
两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
cos
cos
2
cos
cos
sin
sin
2
2
2
2
2
cos
cos
2
cos
cos
sin
sin
2
2
2
2
2
两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。
八、积化和差公式
sin
cos
1
sin(
)
sin(
)
2
cos
sin
1
sin(
)
sin(
)
2
cos
cos
1
cos(
)
cos(
)
2
sin
sin
1
cos(
)
cos(
)
2
我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。
九、辅助角公式
a sin x b cos x
a 2
b 2 sin(x
) （）
其中：角
的终边所在的象限与点
(a,b) 所在的象限相同，
sin
a2
b
， cos
a
， tan
b 。
b2
a2
b2
a
十、正弦定理
a
b
c
（ R 为 ABC 外接圆半径）
sin A
sin B
2R
sin C
十一、余弦定理
a2
b2
c2
2bc
cos A
b2
a2
c2
2ac
cos B
c2
a 2
b2
2ab
cosC
十二、三角形的面积公式
1
S
ABC
2
底 高
S ABC
1
ab sinC
1 bcsin A
1 casin B
（两边一夹角）
2
2
2
S ABC
abc （ R 为 ABC 外接圆半径）
4R
S ABC
a b
c
2
r （ r 为 ABC 内切圆半径）
S ABC
p( p
a)( p
海仑公式（其中
b)( p c) ?
y
sin
cos
sin cos
sin
cos
p a b c ）
2
y
0
sin cos 0
o x
o
x
sin
cos
sin
cos
A(
2,2)
x y 0
0
A( 2,2)
x y 0
