统计计算方法期末试卷-答案--复习题（13页）
时间：2020-09-07 12:11:34 来源：勤学考试网 本文已影响 人 
F(x) 1 exp( x ), x 0写出逆变换法产生随机数的算法步骤和
F(x) 1 exp( x ), x 0
写出逆变换法产生随机数的算法步骤和 MATLAB程序。
、填空题:
1、若随机变量X的概率密度为f (x)cex, 0 x 1,
1、
若随机变量X的概率密度为f (x)
cex, 0 x 1,,则X的方差为
X 服从二项分布 B(5000,0.001),
则由泊松定理知
P(X 1)
X服从均值为5
N(t)服从参数为
P(X 8| X
2的泊松过程，则P(N(2) 0)
的指数分布，则
3)
设X的概率密度为
设X的概率密度为
f (x) 10e 10x,x 0,则其分布函数的逆函数为
、选择题:
6、能产生等可能取值为
6、能产生等可能取值为
123,4,5中一个数的MATLAB^序是(
(A) ceil(5*rand) (B) floor(5*rand) (C)floor(6*rand) (D)randperm(5)
7、在MATLA中,表示二项分布的分布函数的是( )
(A) bino pdf (B) bin ocdf (C) nbi npdf (D) nbincdf 8、能产生均值为5的指数随机数的 MATLAB^序是( (A) -5*1 n(rand) (B) -log(ra nd)/5 (C) -5*log(ra nd) (D) 5*log(ra nd)
9、在MATLA中,表示正态分布的分位数的是(
(D) normrnd(A) normcdf (B) norminv (C) no rmpdf
(D) normrnd
10、Z ~ N(0,1),则| Z| 的方差为(
(A) 1 (B)
(A) 1 (B)
(C) 1 -
(D)
三、计算题:
11、设 U ~ U(0,1)，
分布函数也是F(x).
X的分布函数为
F(x)
0.证明:
log( U )的
12
12、积分I
2
x dx，(1)利用数值方法给出积分的计算结果;
(2)利用 Monte Carlo
方法编程计算积分。
13、设X的概率分布为
3) 0.2MATLAB
3) 0.2
MATLAB 程序。
P(X 1) 0.3, P(X 2) 0.5, P(X
写出利用舍选抽样法产生随机数的算法步骤和
14、设X的概率分布函数为
6
6、A 7 、B 8 、C 9 、B 10 、C
星期
-一-
-二二
四
五
六
次数（Nj ）
9
10
11
8
13
12
15、某工厂近5年来发生了 63次事故，按星期几分类如下
问：事故的发生是否与星期几有关?
（注意不用编程，显著性水平
（附表：其中
0.10)
2 2
n （y）表示自由度为 n的 随机变量在点 y的分布函数值,
5(1.6667) 0.1069, 6(1.6667) 0.0523)
16、某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔 15分钟观察一次计算
机的运行状态，收集了 24个小时的数（共作97次观察），用1表示正常状态，用 0表示不正常状态，所得的数据序列如下：
111001001111111001111011111100111111111000110110111101101101011110111011 1101111110011011111100111
设Xn为第n（n=1,2,…,97）个时段的计算机状态， 可以认为它是一个齐次马氏 链，从上数据序列中得到： 96次状态转移情况是： 0t0: 8次；0~ 1 : 18次；
1 t0： 18次；1 t 1： 52 次。求
（1） 一步转移概率矩阵；
（2） 已知计算机在某一时段（15分钟）的状态为0,问在此条件下，从此时段起，
该计算机能连续正常工作 45分钟（3个时段）的条件概率.
17、设Xn, n 0）是具有三个状态0, 1, 2的时齐马氏链，一步转移矩阵为:
3/4 1/4 0
1
1/4 1/2 1/4，初始分布为 P(X。
i) -,i 0,1,2
3
0 3/4 1/4
1,X4 1|X° 0)；求：⑴ P(X。 0,X2 1,X
1,X4 1|X° 0)；
⑶ P(X1 0, X2 0,X3 0,X4 0|X。0).
答案：
一、 填空题：
和(1
和(1 y),0 y 1
10
1、U e 2、6e 5 3、e 1 4、e 4 5、
（e 1）
二、 选择题：
三、计算题:
11、解：注意到U与1 U同分布， 从而log(U)与log( 1 U )同分布,
设log
(1 U)的分布为F1(u)，
于是
FQ)
P( log(1
U) u)
P(U 1
u \
e )
显然当
u 0时，有
F,u) Q
当u
0 时，有 F1(u) P(U
1 eu)
1 eu
从而
log( U)的分布函数也是
F(x) 1
x e .
12、(1)解：
令 X -2，
则
I
匸1
e2：2dy
I'厂
1
e 2 dy \
(2)令 y —，贝V dy y2dx，于是
1 x (1 x)
2 1 1 1 2
I 2 e xdx 2 2exp( ( 1)2)dy
0 0 y2 y 『
MATLAB程序如下：
N=5000; y=rand(N,1);(或 y=unifrnd(0,1,N,1))
for i=1:N
In t(i)=2*exp(-(1/y(i)-1)A2)/y(i)A2;
end
I=mea n(l nt);
13、解:令 Y为取值为1、2、3的离散均匀分布，则概率分布为
1
P(Y k) k 1,2,3.则 c=0.5/(1 ⑶=1.5
3
X的随机数产生的舍选抽样法算法步骤如下：
STEP1 :产生Y的随机数和均匀随机数 U；
STEP2:若 U P(X Y)/0.5，则令 X Y ;否则返回 STEP1。
MATLAB程序如下：
p=(0.3,0.5,0.2);
Y=floor(3*ra nd+1); U=ra nd;
while (U>p(Y)/0.5)
Y= floor(3*ra nd+1); U=ra nd;
end
P
P1 P Xn 1 1| Xn 1
X=Y;
14、解：令 U 1 exp( x ),可解得 x ( log(1 U)/ )
1
因为U与1 U同分布，则x ( log(U)/ 。
算法步骤为：
STEP1 :产生均匀随机数U ;
1 1
STEP2：令 X ( log(U)/ )或(log(1 U )/ )，则得到
X的随机数。
MATLAB 程序： alpha=5;beta=3; U=rand;
X=(-log(U)/alphaF(1/beta);
15、解：检验假设为
15、解：检验假设为 H0:P(X i) Pi
—,i 1,2,L ,6
6
n 63,使用卡方检验统计量
6 (M npj
6 (M npj2
1 npj
6 (叫
—1.6667 n
6
因 2
因 2 ~ 2(5),
计算得
2 2P( 1.6667) 1 P( 1.6667)1 0.1069 0.8931，
2 2
P( 1.6667) 1 P( 1.6667)
1 0.1069 0.8931，
由P值为0.8931，说明不能拒绝原假设，即不认为发生事故与星期几有关。
16、(1) 一步转移概率可用频率近似地表示为:
P)0 P Xm 0|Xn 08 _8_
P)0 P Xm 0|Xn 0
8 _8_
8 18 26
P)1 P Xm 0|Xn 1
18 18
8 18 26
P10 P Xm 1|Xn 0
18 18
18 52 70 '
52 52
52 52
18 52 70
8所以一步转移矩阵为：P 267018一2652一70(2)某一时段的状态为0,定义为初始状态,即X00 ,所求概率为:P(X1 1, X2 1,X3 1|X。0)P(X1
8
所以一步转移矩阵为：P 26
70
18一2652一70
(2)某一时段的状态为0,定义为初始状态,
即X0
0 ,所求概率为:
P(X1 1, X2 1,X3 1|X。0)
P(X1 1|X0 0)P(X2 1|X0 0, X1 1)P(X3
Fq1P11 P|1 0.382
1|X。
0,Xi
1,X2 1)
17、首先由C-K方程得两步转移矩阵为:
P2
~8
16
16
5
丄
3
16
2
16
3
9
1
5
5
1
16
16
4
0,X2
1,X4
1 Po
1~01
1,X4
1| Xq
0 1~01
2P11
0,X2
0,X3
0,X4
0| X
1%1 p1 R1 p0
P01 p2 P21P10
2
0
0
5
16
X2
X。
X1
2P112
5
16
5
32
5
96
丄
4 256
一、填空题：
TOC \o "1-5" \h \z 1、 若随机变量 X的概率密度为f(x) ce 5x,x 0,则X的方差为 。
2、 若X服从二项分布B(500,0.01),则由泊松定理知 P(X 1) 。
3、 若X服从失效率为0.05的指数分布，则P(X 200| X 100) 。
4、 设N(t)服从参数为0.5的泊松过程，则P(N(2) 0) 。
1
5、 设X的概率密度为f(x) 厂，x R ,则其分布函数的逆函数
(1 x )
为 。
、选择题:
TOC \o "1-5" \h \z 6、 能产生等可能取值为1,2,3,4中一个数的MATLAB^序是( )
(A) ceil(5*rand) (B) ceil(4*rand) (C)floor(4*rand) (D)randperm(4)
7、 在MATLA中,表示负二项分布的概率密度函数的是( )
(A) bin opdf (B) bin ocdf (C) nbin pdf (D) nbincdf
8、 能产生失效率为 5的指数分布随机数的 MATLAB^序是( )
(A) -5*l n(rand) (B) -log(ra nd)/5 (C) -5*log(ra nd) (D) 5*log(ra nd)
9、在MATLA中,不可能产生一个均匀分布 U (0,1)随机数的是哪个？( )
(A) unifrnd(0,1) (B) unidrnd(1,1,1) (C) unifrnd(0,1,1) (D) rand(1)
1 1 2
10、设时齐Markov链{Xn, n 1,2, },其一步转移概率矩阵为 P -
3 2 1
则该过:
程的
5步转;
移概率矩阵为(
)
1
1
1
1
(A)1
1
1
(B)!1
1
a5
— 111 …、
(C) — (D)
2
1
1
1
1
21
1
1
1
2 1 1
三、计算题:
0.证明：F(X)1 e X服从区11、设X的分布函数为 F(x) 1 e
0.证明：F(X)
1 e X服从区
12、(1)计算概率积分dxdy；
12、
(1)计算概率积分
dxdy；
⑵利用Monte Carlo方法编程计算积分
I 的 MATLAB
程序。
13、利用逆变换方法产生概率密度函数
13、利用逆变换方法产生概率密度函数
f (x) 邑，1 x 1的随机数
2
导过程和MATLAB程序。
14、利用舍选抽样法产生概率分布为
X
1
2
3
4
5
6
P
0.15
0.1
0.2
0.15
0.3
0.1
的随机数的算法步骤和 MATLAB程序。
15、考虑随机变量，其可能取值为 123,4,5，我们检验假设随机变量是等可能取
这些值，如果样本大小为 50,观测分别为12,5,19,7,7,利用检验方法说明该数据
是否来自离散均匀分布。(附表：其中2(y)表示自由度为n的2分布在点y的 分布函数值， 2(12.8) 0.9877,；(12.8) 0.9747))。
16、( 1)简述 Metropolis 准则；
若要产生密度p(x)的随机数，设当前状态为 x (x1, x2,L , xn)，从1L n 中等可能取一坐标，按分布函数P(X x) P(Xj x| Xj Xj,j i)产生随 机数x，则y 化丄,x 1, x, xi 1,L ,xn)为下一个状态，证明：吉布斯 (Gibbs) 抽样法的转移概率 (x, y) 1；
设随机变量 X和Y均在区间(0, B)。设在Y y下X的条件密度为
f(x| y) C( y)e xy,0 x B 及 X x下丫 的条件密度为 f(y| x)
答案：一、 填空题：1、2 2、5e二、 选择题：C(x)e xy
答案：
一、 填空题：
1、2 2、5e
二、 选择题：
5 1
3、e 4、1 e 5、tan(y ),0 y 1
2
11、记 丫F(X),当 y 0时，FY(y) 0;当 y
11、记 丫
F(X),当 y 0时，FY(y) 0;当 y 1 时，Fy(y)
0；
P(X
1 时，FY(y) P(Y y)
1
ln(1
P(1 e
X X
y) P(e 1
y)
丄 ln(1 y)
y)) 0
dx y,(8 分)
0,
所以 FY(y) y,0
1,
y 1,
y 1,故 Y
y 1.
F(X)服从 U(0,1).
12、( 1)令 x r cos , y rsin , D {( , r) | 0
2 ,0 r }.
6、B
7、C
8、C
9、B
10、A
、计算题:
2
2
(2)odrr2e rdrr2 2f)Matlabx2e 2 dxx 1,dyI12,其中l12 dx,dx (x 1)2dy,xx2e
(2)
odr
r2
e rdr
r2 2
f)
Matlab
x2
e 2 dx
x 1,dy
I12,其中l1
2 dx,dx (x 1)2
dy,x
x2
e 2dx.
1.
程序为：
N=10000;y=ra nd(N,1);
for i=1:N
I1(i)=exp(-(1/(y(i)-1)A2/2)*y(i)A2;
end
l=(mea n(I1)A2;
13、当 1 x 1 时，F(x)
1 3 1
2x 2,
1 .
令 F(x) u,即6x'
2
u,解得x
(2u
1
1)3
Matlab 程序：
X=(2*ra nd-1)A(1/3);
14、取 Py
P(Y j)
1,2,L ,6,则卫圣
Py
虫 1.8 c.
1/6
算法步骤为:
第一步：产生随机数
U1 和 U2;第二步：令 Y=lnt(6U1);
第三步：若
U2 P(X Y)
CPY
巳詁时，令X=Y；否则返回。
Matlab 程序：
P=[0.15,0.1,0.2,0.15,0.3,0.1];
Y=floor(6*ra nd+1);U=ra nd; while (U>P(Y)/0.3) Y=floor(6*ra nd+1); U=ra nd; end
X=Y;
15、原假设为：pi P(X
i)
1
-,j 1,2丄,5, n 50.
5
检验统计量为 2
5 (Ni nPi)2 12.8.
i 1 门口
由于 2?2(4),
2 2
则 P值为 P( 12.8) 1 P( 12.8) 0.0123,
16、(1)设马尔可夫链{Xn}, n1,2丄
16、(1)设马尔可夫链{Xn}, n
1,2丄,y是按照某概率原则产生的状态,
Xn的
下一步状态 xn ,以概率
接受状态，即 Xn , y ;以概率1
保持不变，即
1 Xn °
(2)采用H-M算法有
q(X, y)
1
-P(Xi X|Xj n
Xj, j i)
p(y)
n P(X
j Xj, j i)'
则转移概率为
p(y)
p(X)
(x, y) min
p(y)q(y,X) 1
min
n P(X
j Xj,j i) 1
P(X)q(X, y)
P(X)
p(y)
nP(Xj Xj,j i)
min P(y)P(X),1 1. (15分)
P(x)p(y)
(3) Matlab 程序为：
N=10000; B=50;
X=zeros(N,1);Y=zeros(N,1);
X(1)=u nifrnd(O,B); Y(1)=u ni frnd(O,B);
for i=2:N
X(i)=-log(ra nd)/Y(i-1);
Y(i)=-log(ra nd)/X(i);
end
或
X0=unifrnd(0,B); Y0=unifrnd(0,B);
X=-log(ra nd)/Y0;
Y=-log(ra nd)/X;
