大工15春应用统计开卷考试期末复习题x

大工15春《应用统计》开卷考试期末复习题

、单项选择题(本大题共 60小题，每小题2分，共120分)1、从一幅52张的扑克牌(去掉大小王)中，任意取5张，其中没有

、单项选择题(本大题共 60小题，每小题

2分，共120分)

1、从一幅52张的扑克牌(去掉大小王)

中，任意取

5张，其中没有 K字牌的概率为

C5

C48

C5

C52

2、事件A与B互不相容，P(A)

0.4, P(B)

0.3,则 P(AB) 0.3

3、设A、B为两个随机事件，则

A B不等于

AB

4、设A、B为两个随机事件，则

AB AB等于A

5、 已知事件 A与事件B互不相容，则下列结论中正确的是 P(A B) P(A) P(B)

6、 已知事件 A与B相互独立，则下列等式中不正确的是 P(A)=1-P(B)

7、 设电灯泡使用寿命在 2000小时以上的概率为 0.15，欲求12个灯泡在使用2000小时以后只有一个

不坏的概率，则只需用什么公式即可算出 贝努利概型计算公式

8、 随意地投掷一均匀骰子两次，则两次出现的点数之和为 8的概率为 —

36

9、 盒中有10个木质球，6个玻璃球，玻璃球中有 2个红色4个蓝色，木质球中有 3个红色7个蓝色,

4

现从盒中任取一球，用 A表示“取到蓝色球”，用B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)=-

11

10、 6本中文书和4本外文书，任意在书架上摆放，则 4本外文书放在一起的概率是 ■(4凹

10!

11、设随机变量 X的分布列为

X

0

1

2

3

P

0.1

0.3

0.4

0.2

F(x)为其分布函数，则 F(2) 0.8

12、 在相同条件下，相互独立地进行5次射击，每次射中的概率为 0.6，则击中目标的次数 X的概率分布

为二项分布 B(5,0.6)

13、 F(x, y), Fx(x), FY(y)分别是二维连续型随机变量 (X ,Y)的分布函数和边缘分布函数， f (x, y),

fx(x), fY(y)分别是(x,Y)的联合密度和边缘密度，则一定有 X与Y独立时，F(x,y) Fx(x)FY(y)

14、 设随机变量X对任意参数满足 D(X) [E(x)]2，则X服从指数分布

15、X服从参数为1的 泊松分布，则有( )

C、P{| X 1| } 1 ^2 ( 0)

i

i 1

16、设二维随机变量(X,Y)的分布列为

0

1

2

0

1

2

2

12

12

12

1

1

1

12

12

0

2

1

2

2

12

12

12

则 P{XY 0} 2

17、若E(X), E(Y),E(XJ, E(X2)都存在，则下面命题中错误的是 Cov(X,-Y) Cov(X,Y)

18、若D(X),D(Y)都存在，则下面命题中不一定成立的是 X与Y独立时，D(XY)=D(X)D(Y)

19、 设F(x) P(X x)是连续型随机变量 X的分布函数，则下列结论中不正确的是 F(x)是不增函数

1

20、 每张奖券中尾奖的概率为 ，某人购买了 20张奖券，则中尾奖的张数 X服从什么分布二项

10

21、 设？是未知参数 的一个估计量，若 E(?) ，则？是 的有偏估计

x - u

22、设总体X ~ N(u, 2), 2未知，通过样本X1, X2, ,Xn检验H°:u U0时，需要用统计量t —￡ s/V n

2未知，则下面的随机变量中，不是统

2未知，则下面的随机变量中，不是统

23、设X!,X2,X3,X4是来自总体N(u,)的样本，其中u已知,

1

计量的是—2(X1 X2 X4)

24、设总体X

24、设总体X服从参数为 的指数分布，其中

0为未知参数,

1

X1,X2, ,Xn为其样本，x —

n

F面说法中正确的是 x是E(x)的无偏估计

25、作假设检验时，在哪种情况下，采用t检验法对单个正态总体,未知总体方差，检验假设H 0:u u°26、设随机变量X「X2,,Xn

25、作假设检验时，在哪种情况下，采用t检验法对单个正态总体,

未知总体方差，

检验假设H 0:

u u°

26、设随机变量X「X2,

,Xn,相互独立，且Xi(i 1,2,

,n,

)都服从参数为

1的泊松分布,

则当n

充分大时，随机变量 X

Xi的概率分布近似于正态分布

1

N(1 -)

n

27、设x1, x2, , xn是来自总体

X的样本，X ~ N(0,1)，则

n

xi 2 服从 2 (n)

i 1

28、设总体X服从N(u, 2)，

X1,X2, ,Xn为其样本，x为其样本均值，则

(xi -x)2 服从

2(n-1)

2

2

2 229、设总体X服从N(u,

2 2

29、设总体X服从N(u, ) , X-X2， , xn为其样本，s

1

n-1

n (xi -x)2，则(n-1)s 服从 2(n-1)

i 1

30、X1, x2, , x1oo 是来自总体 X ~ N

2

(1,2 )的样本，

1 100 -

—x,y ax b ~ N(0,1)，则有

100 i 1

a 5,b -5

31、对任意事件 A,B

31、对任意事件 A,B，下面结论正确的是

P(AB) P(A)

P(AB)

32、 已知事件A与B相互独立，P(A) 0.5, P(B) 0.6，则P(A B)等于0.7

33、 盒中有8个木质球，6个玻璃球，玻璃球中有 2个红色4个蓝色，木质球中有 4个红色4个蓝色,

1

现从盒中任取一球，用 A表示“取到蓝色球”，用B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)-

34、 设4,人2,人3为任意的三事件，以下结论中正确的是若 4,人2,人3相互独立，则 4*2, A3两两独立

35、 若P(A B) [1 P(A)][1 P(B)]，则A与B应满足的条件是 A与B相互独立

36、 设A, B为随机事件，且 A B，则AB等于A

37、设A, B,C为随机事件，则事件“ 代B,C都不发生”可表示为 ABC

38、甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们每人译出的概率都是1/4

38、甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们每人译出的概率都是

1/4，则密码被译出的概率为

37

64

39、掷一颗骰子，观察出现的点数，则“出现偶数”的事件是随机事件

F4(X, y)(1 ex)(1 e y),x 0,y 0

F4(X, y)

(1 ex)(1 e y),x 0,y 0

0,其他

41、 下列函数中可以作为某个二维随机变量的分布函数的是

42、设(X,Y)的联合分布列为

Y"

-Ip

1“

p

卜 1+J

p

5

le1

J

10

则下面错误的是( )

43、下列函数中，可以作为某个二维连续型随机变量的密度函数的是

f2 (x, y)

e (x y), x 0,y 0

0,其他

2

Q+j

0.2

02如

44、设(X,Y)的联合分布列为

则关于X的边缘分布列为

45、

若随机变量 X服从

X

0

1

P

0.5

0.5

[0,2]上的均匀分布，则黔

46、

某人打靶的命中率为 0.8，

现独立地射击5次，那么5

次中有2次命中的概率为 Cf (0.8)2(0.2)3

47、

设a,b,c为常数，E(X)

a,E(X2) b，则 D(cX)

(b a2)

48、

2

设 Xi ~ N(u,)且 Xi 相互独立，i 1,2, ,n，

对任意

0,X

式为

P{| X u|

49、

若随机变量

X的方差存在，由切比雪夫不等式可得

P{| X

E(X)|

Xi所满足的切比雪夫不等

1

1}

D(X)

X服从二项分布 B(n,p)，且E(X)=6，

k

设总体X服从泊松分布，P{X k} e ,k

1 n k!

X的一个样本，x - xi，下面说法中错误的是 x是2的无偏估计

n i 1

52、总体X服从正态分布 N(u,1)，其中u为未知参数，x1,x2,x3为样本，下面四个关于 u的无偏估计中,

50、

51、

若随机变量

D(X)=3.6,

则有p=0.4

，n=15

0,1,2 ，其中 0为未知参数，x1, x2, ,xn为

2

1

有效性最好的是 xi

3

1 1

x2 x3

3 3

53、样本

X1,X2,

,xn取自总体X，且E(X) u,D(X)

2，则总体方差2的无偏估计是

x)2

54、对总体

2

X ~ N(u,)的均值u作区间估计，得到置信度为 0.95的置信区间，意义是指这个区间有

95%的机会含u的值

55、设Xi，X2， ,X36为来自总体X的一个样本，X ~ N(u,36)，则u的置信度为0.9的置信区间长度为

3.29

x u

56、 设总体X ~ N(u, 2), 2未知，通过样本X!, X2, ,Xn检验Ho：u Uo时，需要用统计量t

s/和n

57、 对假设检验问题 H ° : u U0, H1 : u U0，若给定显著水平 0.10，则该检验犯第一类错误的概率为 0.10

58、 从一批零件中随机抽出 100个测量其直径，测得的平均直径为 5.2cm，标准方差为1.6cm，若想知

这批零件的直径是否符合标准直径 5cm，因此采用了 t检验法，那么，在显著性水平 下，接受域为

|t| t (99)

59、 总体服从正态分布(U, 2)，其中 2已知，随机抽取20个样本得到的样本方差为 100，若要对其均

值u进行检验，则用u检验法

60、 下列说法中正确的是如果原假设是正确的，但作出接受备择假设结论，则犯了拒真错误

二、判断题(本大题共60小题，每小题2分，共120分)

1、 若事件A、B互不相容，则 P(A B) A。X

2、 设随机事件 代B及其和事件 A B的概率分别是0.4,0.3和0.6，若B表示B的对立事件，则

P(AB)0.4

P(AB)

0.4。X

3、从1,2,…,10这十个自然数中任取三个数，则这三个数中最大的为 3的概率是 ——。V

120

4、 在一次考试中，某班学生数学和外语的及格率都是 选一名学生，则该生数学和外语只有一门及格的概率为

4、 在一次考试中，某班学生数学和外语的及格率都是 选一名学生，则该生数学和外语只有一门及格的概率为

5、 从分别标有1,2,…,9号码的九件产品中随机取 三件，每次取一件，取后放回，则取得的三件产品

0.7，且这两门课是否及格相互独立，现从该班任

0.42。V

一 64

的标号都是偶数的概率是 。V

729

13

6、 袋中有5个白球和3个黑球，从中任取两球，则取得的两球颜色相同的概率为 。V

28

1

7、 把三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为 一。V

9

8、 将3只不同的球投到 4个不同的杯子中去，则每个杯中球的个数最多为 1个的概率是-。V

8

9、 设随机事件 A 与 B 互不相容，P(A)=0.2 , P(A U B)=0.5,则 P(B)=0.3。V

31

10、 投掷一枚硬币5次，记其中正面向上的次数为 X，贝U P{X 4} 。V

32

11、连续型随机变量 X的分布函数为F(x)

11、连续型随机变量 X的分布函数为F(x)

1-e-2X,x

0,x 0

0，设其概率密度为

2

f (X)，则 f (1) e。X

12、设随机变量X

12、设随机变量X的概率密度为f (x)

丄

君,-a x a，其中a 0。要使p{x

0,其他

1}-,则常数a 3。

　3

5A

5

A、正确 B、错误

24

24、已知某批材料的抗断强度 X ~ N(u,0.09)，现从中抽取容量为 9的样本，得样本均值 x 8.54，已

TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" k 1 5 2

\o "Current Document" 13、设随机变量X的分布列为P{X k} ,k 123,4,5，贝y P{- X } 。

　X

\o "Current Document" 15 2 2 5

则常数a 0.1 o V16、设(X,Y)的概率密度为f (

则常数a 0.1 o V

16、设(X,Y)的概率密度为f (x, y)

Ce-(x y),x 0,y

0,其他

0，则c

1o V

17、设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中

D {(x,y)|0 x 1,0

y 1}，则(X,Y)的密度函数

f (x, y)

1,0 x 1,0 y 1

0,其他

14、已知随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

5

P

2 a

0.1

0.3

a

0.3

18、 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则D凶 P。X

E(X)

1

TOC \o "1-5" \h \z 19、 X服从［1,4］上的均匀分布，则 P{ 3 X 5} -o V

3

\o "Current Document" 1 5

20、 设X与Y独立且同服从参数为 P —的0-1分布，则P{X Y} 。V

\o "Current Document" 3 9

u°,H

u°,H1： u u°在显著性水平

下，

21、总体X ~ N(u,)，其中 为已知，对于假设检验问题 H0: u

应取拒绝域 W u ||u | u 。V

~2

22、设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率， H。为原假设，则P{接受H0|H0为真}=0.05。X

23、设总体X ~ N(u,4), X1,X2,X3是总体的样本，1?,0是总体参数u的两个估计量，且

I?12x1

I?

1

2x1

^x2 取，?

4 4

1人-x2，其中较为有效的估计量是

3 3

知

u0.025 1.96，则置信度为0.95时U的置信区间长度是 0.392 。V

2 2

25、设总体X?N(u, 2)，其中 未知，现由来自总体 X的一个样本 0X2， X9算得样本均值

e ,X 0，由来自总0,x 0X 15，样本标准差s=3，已知 気25(8) 2.3，则u的置信度为0.95的置信区间是

e ,X 0，由来自总

0,x 0

26、设总体X服从参数为 ( 0)的指数分布，其概率密度为 f (x;)

体X的一个样本X1,X2, Xn算得样本均值X 5，则参数 的矩估计？ 1。

　V

5

27、设样本X1

27、设样本X1,X2,

Xn来自总体N(u,16)，假设检验问题为

H0： u u0, H1： u

U0，则检验采用的方法

是u

是u检验法。V

28、 当 0.01时，犯第一类错误的概率不超过 0.09。X

2

29、 若总体X分布未知，且E(X) u, D(X) ，x1, x2,

xn为X的一个样本，则当样本容量

大时，X-

大时，X

-xi近似服从

n i 1

2

N (u,——)。V

n

30、 某特效药的临床有效率为 0.95，今有100人服用，设X为100人中被治愈的人数，则 X近似服从

正态分布N(95,4.75)。V

1 — 2

31、 若 A与 B 相互独立，P(A) — ,P(AB)—，则 P(B) 。V

4 3

32、 若事件 代B互不相容，则 P(A B) 。X

33、 若事件 A、B互不相容，P(A)> 0,则P(B|A)=0 。V

34、 100件产品中，有10件次品，不放回地从中接连抽取两次，每次抽取一件，则第二次取到次品的概 率是1。

10

A、正确 B、错误

答案：A

TOC \o "1-5" \h \z 35、 设 A,B 为随机事件，且 P(A)=0.8，P(B)=0.4 ，P(B|A)=0.25 ，则 P(A|B)=0.5 。

A、正确 B、错误

答案：A

36、 某工厂的次品率为 5%，并且正品中有 80%为一等品，如果从该厂的产品中任取一件来检验，则检

验结果是一等品的概率为 19。

25

A、正确 B、错误

答案：A

37、 一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任取出 2只球，则这2只球恰有一红一黑的概率是 -。

A

A、正确 B、错误

答案：A

38、 电路由元件 A与两个并联的元件 B、C串联而成，若 A,B,C损坏与否是相互独立，且它们损坏的概

率依次为0.3,0.2,0.1 ，则电路断路的概率是 0.314 。

　V

39、 某市有50%住户订日报，有 65%住户订晚报，有 85%住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订

这两种报纸的住户的百分比是 30%。V

40、 甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为 0.3,0.4，则飞机

至少被击中一炮的概率为 0.58。V

41、 设X的分布列为

X

-1

0

1

2

P

0.1

0.2

0.3

0.4

令 Y=2X+1，贝U E(Y)=3。V

42、某人射击一次的命中率为 0.7，则他在10次射击中恰好命中7次的概率为 G70(O.7)7(O.3)3。V

43、某公司有5名顾问，每人贡献出正确意见的概率均为 0.6，若对某事征求顾问，并按多数人的意见决

5

策，则决策正确的概率是 C5(0.6)i (0.4)5 io X

i 1

2

TOC \o "1-5" \h \z 44、若已知 E(X) 2,D(X) 4，则 E(2X2) 16。V

\o "Current Document" 1 1

45、 随机变量X服从［a,b］上的均匀分布，若 E(X) 3,D(X)—,则P{1 X 3} —。V

3 2

\o "Current Document" 2 3

46、 若E(X) u,D(X) ( 0)，由切比雪夫不等式估计概率 P{u 2 X u 2 } —。V

4

47、 设X1,X2, Xn 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差

n

Xi nu

(x)。V TOC \o "1-5" \h \z E(Xi) u,D(Xi) 2 0(i 1,2,)，则对于任意实数 x, lim P i 1 x

(x)。V

\o "Current Document" n .. n

48、若X服从［a,b］上的均匀分布，则 Y=2X+1 服从U(2a+1,2b+1) 。V

49、 设 X 服从二项分布 B(n,p)，贝U D(X)-E(X)=-np 。X

1

50、 已知随机变量 X服从泊松分布，且 D(X)=1 ,则P{X 1} 。V

e

0是未知参数，记x51、X1,X2, ,Xn是总体X的样本，X服从

0是未知参数，记x

的无偏估计为—。V

2

52、总体X ~ N(u, 2), X1,X2, ,Xn为其样本，未知参数 u的矩估计为x。

B、错误B、错误55、X ~ N (u,),X1, X2 ,,Xn为其样本,2已知时，置信度为的U的置信区间为[x uA、正确 答案：AB、错误256、设总体 X ~ N(u,),X1 , X2 , X

B、错误

B、错误

55、X ~ N (u,

),X1, X2 ,

,Xn为其样本,

2已知时，置信度为

的U的置信区间为

[x u

A、正确 答案：A

B、错误

2

56、设总体 X ~ N(u,),

X1 , X2 , X3是来自

的样本，则当常数

1

时，u?

4

1

3X1

X2

5

衫X3是未知

参数u的无偏估计。

A、正确

答案：A

B、错误

57、设总体

X ~ N(u,1),

u ,X1, X2,X3为其样本，已知G,

1

5Xl

3

10 X2

1

2X3，

u2 1x1

3

A、正确

答案：B

1 x2 1 x3都是u的无偏估计，二者相比 u2更有效。

6 2

错误

2 2

58、样本来自正态总体 N(u,)，当 未知时，要检验

Ho: u

Uo采用的统计量是t

Uo

s/.n°

A、正确 答案：A

错误

59、设某个假设检验问题的拒绝域为 W，且当原假设H0成立时,

,Xn)落入W的概率为

0.15，则犯第一类错误的概率为

A、正确

答案：A

0.15。

B、错误

60、设总体X ~ N(0,0.04),X1, X2, X8为来自总体的一个样本，要使

8

2

Xi

i 1

2

(8)，则应取常数

答案：A

2 2 2

53、总体X ~ N(u, ), X1, X2, ,Xn为其样本，未知参数 的矩估计为Sn。

A、正确 答案：A

54、如果？，？都是未知参数 的无偏估计,

A、正确 答案：B

25。

B、错误A、正确 答案：

B、错误

三、填空题(本大题共20小题，每小题3分，共60 分)

8的概率为 1

8的概率为

答案：—

36

考点：事件之间的关系及运算规律 课件出处：第1章随机事件及其概率，第一节随机事件

2、假设盒中有10个木质球，6个玻璃球，玻璃球中有 2个红色4个蓝色，木质球中有3个红色7个蓝色，现

盒中任取一球，用 A表示“取到蓝色球”，用B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)=

答案：

4

11

考点：

运用条件概率进行概率计算

课件出处：第1章随机事件及其概率，第四节条件概率、概率乘法公式

3、假设6本中文书和4本外文书，任意在书架上摆放，则 4本外文书放在一起的概率是

(4!7!)

答案：

10!

考点：概率的古典定义

课件出处：

第1章随机事件及其概率，第三节古典概型

4、如果掷两枚均匀硬币，则出现“一正一反”的概率是

答案：1

2

考点：事件之间的关系及运算规律 课件出处：第1章随机事件及其概率，第一节随机事件

5、已知X,Y相互独立，且各自的分布列为

则 E(X+Y)=

答案:19

答案:

19

6

考点：数学期望的计算公式

课件出处：

第3章随机变量的数字特征，第一节数学期望

6、若E(X) ，D(X) 2( 0)，由切比雪夫不等式可估计 P{ 3 X 3 }

考点：用切贝雪夫不等式解题 课件出处：第3章随机变量的数字特征，第五节切比雪夫不等式与大数定律

7、如果?，?都是未知参数 的无偏估计量，并且 ?比?有效，则?和?2的期望与方差一定满足

E(?) E(?) ,D(?) D(?)。

答案：

考点：参数点估计的评选标准无偏性

课件出处：第6章参数估计，第二节判别估计量好坏的标准

8、总体 X ~ N(1,4),

8、总体 X ~ N(1,4), x1,X2,

,X25为其样本,

-1 25

X

25 i

Xi，记 y

；(Xi X)2，则 y~

i 1

答案： 2 (24)

考点：开方分布

课件出处：第5章数理统计的基本概念，第二节开方分布 t-分布F-分布

,X

,Xn为X的样本，记X

Xi，贝y D(x)

9、总体X服从参数p 1的0-1分布，即

3

X

0

1

P

2

1

3

3

答案：

9n

考点：样本方差 课件出处：第5章数理统计的基本概念，第一节基本概念

10、设总体X服从均匀分布U( ,2 ) , X1,X2, ,Xn是来自该总体的样本，则 的矩估计? 答案：-X

3

考点：矩估计 课件出处：第6章参数估计，第一节参数的点估计

11、设随机变量 X与Y相互独立，且 D(X)=D(Y)=1 ，则D(X-Y)=

考点：方差的性质

课件出处：

第3章随机变量的数字特征，第二节方差

答案：2

TOC \o "1-5" \h \z 12、 已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，E(X2) 。

考点：数学期望的应用

课件出处：第3章随机变量的数字特征，第一节数学期望

答案：6

\o "Current Document" 0,x 0

x

13、 已知随机变量 X的分布函数为F(x) —,0 x 4，贝U E(X)= 。

4

1,x 4

考点：数学期望的计算

课件出处：第3章随机变量的数字特征，第一节数学期望

答案：2

14、 设随机变量 X与Y相互独立，且 D(X)=2,D(Y)=1,贝U D(X-2Y+3)= 。

答案：6

考点：方差的性质

课件出处：第3章随机变量的数字特征，第二节方差

0,x 1

1

15、 设离散型随机变量 X的分布函数为F(x) a, 1 x 2，若已知P{X 2}—,则a

3

1,x 2

考点：随机变量的分布函数的概念及性质

课件出处：第2章随机变量及其分布，第六节随机变量的分布函数

2

答案：-

3

16、 设样本X1,X2, ,Xn来自总体N( ,25)，假设检验问题为 H。： 0,比： 0,则检验统计量

为 。

答案： (x 0)

5

考点：已知方差，关于数学期望的假设检验

课件出处：第7章假设检验，第二节单个正态总体的参数检验

17、 对假设检验问题 H。： 0,Hd 0，若给定显著水平 0.05，则该检验犯第一类错误的概率

为 。

答案：0.05

考点：假设检验的两类错误

课件出处：第7章假设检验，第一节假设检验的基本概念

18、设总体X~N(0,0.25) , Xl x2 , ,Xn为来自总体的一个样本，要使

2 2Xi

2 2

Xi ~ (7)，则应取常数 =

i 1

考点：开方分布

课件出处：第5章数理统计的基本概念，第二节开方分布 t-分布F-分布

19、 设总体X服从两点分布：P{X=1}=p，P{X=0}=1-p ( 0<p<1 )，X「X2, ,Xn为其样本，则样本均值 X

的数学期望E(X) 。

答案：p

考点：样本均值的数学期望

课件出处：第5章数理统计的基本概念，第一节基本概念

2 一 一

20、 设总体X~N(U, )， X1, X2 , , Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则 D(X) 。

2

答案： -

n

考点：样本方差

课件出处：第5章数理统计的基本概念，第一节基本概念

1、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)y二0x 1,y0，问X与Y是否相互独立，并说

1、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)

y

二0

x 1,y

0，问X与Y是否相互独立，并说

0,其他

明理由。

解：fx(X)

1,0 x 1

0 f(X,y)dy 0,其他(3 分)

fY(y)

1 1弓

0 f(x,y)dx 2 e ' y 0(3 分)

0,其他

因为f (x, y) fx(x) fY(y)，(2分)所以X与Y相互独立。(2 分) 考点：相互独立的随机变量的有关事件的概率的计算

课件出处：第2章随机变量及其分布，第八节随机变量的独立性

2

2

0,x 0

2、设连续型随机变量

2、设连续型随机变量 X的分布函数为F(x)

,0 x 8，求 E(X),D(X)。

8

1,x 8

解：f (x)

0,

x 8(2 分)

其他

8 1

E(X)

x dx 4

(3分)

0 8

2

8 2

1

64 八

E(X )

x

dx

(2 分)

0

8

3

D(X) E(X2) [E(X)]2 64 16 16 (3 分)

3 3

考点：计算随机变量函数的数学期望和方差

课件出处：

第3章随机变量的数字特征，第一节数学期望、第二节方差

50

3、 设Xi(i 1,2, ,50)是相互独立的随机变量，且都服从泊松分布 P(0.03)。令Z Xi，试用中心

i 1

极限定理计算 P{Z 3}。(附■. 1.5 1.2247, (1.225) 0.8907，结果保留小数点后三位 )

n

解：E(Xi) 0.03，(2 分)D(Xi) 0.03 2(i 1,2, ,50)，(2 分)记 Z Xi。由独

i 1

立同分布序列的中心极限定理，有P{Z 3} P{Z 50 0.03 3 50 0.03}(2 分)

V50 0.03 V50 0.03

Z 50 0.03

P{ 1.225}

J50 0.03

d nrZ 50 0.03 d “

1 P{ 1.225}

V50 0.03

1 (1.225) 0.1093( 4 分)

考点：应用中心极限定理计算有关事件的概率的近似值

课件出处：第4章正态分布，第五节中心极限定理

2

4、 随机变量 X ?N(10,2 )，求(1)P{X 13}；(2)P{| X 10| 2}。

(附 (1.5) 0.9332， (1) 0.8413)

X 10

解：由正态分布的定理可知，随机变量 ?N(0,1), ( 2分)因此

(1)P{X

13}

P{X

13}

1 P{X

13} 1

13 10、 d

F(13) 1 ( ) 1

2

(1.5)

0.0668

（4分）

X

10

X 10

(2)P{| X

10|

2}

P{|

2 |1}

P{ 1

1} (1) ( 1)

2

(1)

(1 (1))

2 （1） 1 2 0.8413 1 0.6826 （4 分）

考点：计算正态分布的分布函数

课件出处：第4章正态分布，第一节正态分布的概率密度与分布函数

五、应用题（本大题共4小题，每小题15分，共60分）

1、某型号元件的尺寸 X服从正态分布，且均值为 3.278cm ，标准差为0.002cm 。现用一种新工艺生产 此类元件，从中随机取 9个元件，测量其尺寸，算得均值 X 3.2795 cm，问用新工艺生产的原件尺寸均

值与以往有无显著差异。（显著性水平 0.05）（ U0.025 1.96, U0.05 1.645）

解：检验（ °.°5）假设H 0：

u 3.278, H1 : u 3.278 (4 分)

因方差已知，检验统计量为 U

x u° ~ N(0,1)( 4 分)

1、n

拒绝域W={|U|> u }

~2

这里由题设，总体 X ~ N（u,

2 2

2),n=9，x 3.2795，u0 彳278， O.O。2

|U | | 0.002 9 | 2.25

u u 0.025 1 .96

2 ( 4 分)

落在拒绝域内，故拒绝原假设 H。，则用新工艺生产的原件尺寸均值与以往有显著差异。 （3分）

考点：单个正态总体对均值与方差的假设检验

课件出处：第7章假设检验，第二节单个正态总体的参数检验

2、从一批零件中，抽取 9个零件，测得其平均直径（毫米）为 19.9。设零件直径服从正态分布

2

N（u,），且已知 0.21 （毫米），求这批零件直径的均值 U对应于置信度0.95的置信区间。（附

U0.025 1.96，结果保留小数点后两位）

解：当置信度1 0.95时， 0.05，U的置信度0.95的置信区间为

0.21 0.21

[x u “，x u ]（8 分） [19.99 1.96 ,19.99 1.96 ] [19.85,20.13]（7 分）

$ Jn $ln 3 3

考点：单个正态总体的均值的区间估计 课件出处：第6章参数估计，第三节正态总体参数的区间估计

3、 用传统工艺加工的某种水果罐头中，每瓶的平均维生素 C的含量为19 （单位：mg ）。现改变了加

工工艺，抽查了 16瓶罐头，测得维生素 C的含量的平均值X =20.8，样本标准差s=1.617。假定水果罐 头中维生素C的含量服从正态分布。问在使用新工艺后，维生素 C的含量是否有显著变化？（显著性水平

=0.01） （ to.o1（15） 2.947,to.o1（16） 2.921）

解：检验假设H0: u 19, H1 19 （ 4分）

x u

检验统计量为T ——县（4分），拒绝域 W={|T|> t （n 1）}

s/ n

这里 n=16, x=20.8,s=1.617, =0.01,

20.8 19

计算 |T | | | 4.45 t （n 1） t°°1（15） 2.947（4 分）

1.617/J16

故拒绝Ho，即认为新工艺下维生素 C的含量有显著变化。（3分）

考点：单个正态总体对均值与方差的假设检验

课件出处：第7章假设检验，第二节单个正态总体的参数检验

4、 某工厂生产的一种零件，其口径 X （单位：mm ）服从正态分布 N（u, 2），现从某日生产的零件中随

机抽取9个，测得其平均口径为14.9 （mm ），已知零件口径X的标准差 0.15，求u的置信度为0.95

的置信区间。（u0.025 1.96， u0.05 1.645）

解：u的置信度为0.95

解：u的置信度为0.95的置信区间是［x

U 0.025

（8 分）

而 0.15, n 9，uo.025 1.96，故所求置信区间为（14.802 ，14.998）（mm）。（ 7 分） 考点：单个正态总体的均值的区间估计

课件出处：第6章参数估计，第三节正态总体参数的区间估计